高考试题——数学文海南卷解析版 11页

‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）‎ 数学（文）试题解析 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 ‎ ‎2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ ‎3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合则的子集共有 ‎（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个 解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然P=，子集数为22=4‎ 故选B ‎（2）复数 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：本题考查复数的运算，属容易题。‎ 解法一：直接法，故选C 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i的积，正好等于5i的便是答案。‎ ‎（3）下列函数中，即是偶数又在单调递增的函数是 A. B. C. D. ‎ 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 可以直接判断：A是奇函数，B是偶函数，又是的增函数，故选B。‎ ‎(4).椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ 解析;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求e=,故选D。也可以用公式故选D。‎ ‎（5）执行右面得程序框图，如果输入的是6，‎ 那么输出的是 ‎（A）120‎ ‎（B）720‎ ‎（C）1440‎ ‎（D）5040‎ 解析：本题考查程序框图，属于容易题。‎ 可设,‎ 则 输出720.故选B ‎（6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ 解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为A,B,C.‎ 他们参加情况共一下9种情况，其中参加同一小组情况共3中，故概率为故选A。‎ ‎（7）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则=‎ ‎（A） （B） (C) (D) ‎ 解析：本题考查三角公式，属于容易题。‎ 易知tan=2，cos=.由cos2=2-1= 故选B ‎（8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，‎ 则相应的侧视图可以为 解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。‎ 由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选D ‎（9）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。l与C交于A,B两点，=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为 ‎（A）18 （B）24 （C）36 （D）48‎ 解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。‎ 易知2P=12，即AB=12，三角形的高是P=6，所以面积为36，故选C。‎ ‎（10）在下列区间中，函数的零点所在的区间为 A． B． C． D．‎ 解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选C。‎ ‎（11）设函数，则 ‎ A．在单调递增，其图象关于直线对称 ‎ B．在单调递增，其图象关于直线对称 ‎ C．在单调递减，其图象关于直线对称 ‎ D．在单调递减，其图象关于直线对称 解析：本题考查三角函数的性质。属于中等题。‎ 解法一：f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x) 在（0，）单调递减，其图像关于直线x = 对称。故选D。‎ 解法二：直接验证 由选项知（0，）不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然x = 不会是对称轴 故选D。‎ ‎(12) 已知函数y= f (x) 的周期为2，当x时 f (x) =x2,那么函数y = f (x)‎ ‎ 的图像与函数y =的图像的交点共有 ‎（A）10个 （B）9个 （C）8个 （D）1个 解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。‎ 本题可用图像法解。易知共10个交点 ‎1‎ ‎9‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须回答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= 解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。‎ 解法一：直接法 (a+b)(ka-b)=0展开易得k=1.‎ 解法二：凭经验 k=1时a+b, a-b数量积为0，易知k=1.‎ ‎（14）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 。‎ 解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。‎ 易得z=x+2y的最小值为-6。‎ ‎（15）△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 。 ‎ 解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。‎ 有余弦定理得 所以BC=3，有面积公式得S=‎ ‎（16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。‎ 解析：本题考查球内接圆锥问题，属于较难的题目。‎ 由圆锥底面面积是这个球面面积的 ‎ 得 所以，则小圆锥的高为大圆锥的高为，所以比值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分） ‎ 已知等比数列中，，公比。‎ ‎（I）为的前项和，证明：‎ ‎（II）设，求数列的通项公式。‎ 解析：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。‎ ‎（I）‎ ‎ ‎ ‎（II）‎ ‎=-（1+2+3++n）=-‎ 数列的通项公式为=-‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为平行四边形。 底面 。‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）设，求棱锥的高。‎ 解：（Ⅰ ）因为, 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故PABD ‎（Ⅱ）过D作DE⊥PB于E，由（I）知BC⊥BD,又PD⊥底面，所以BC⊥平面PBD，而DE平面PBD，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC 由题设知PD=1，则BD=,PB=2，‎ 由DE﹒PB=PD﹒BD得DE=,即棱锥的高为 ‎（19）（本小题12分）‎ ‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A分配方和B分配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 ‎ 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润。‎ 解：本题考查概率的基本知识，属于容易题。‎ ‎（Ⅰ）由实验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3所以用A配方生产的产品中优质品率的估计值为0.3。‎ 由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42，‎ 所以用B配方生产的产品中优质品率的估计值为0.42.‎ ‎（Ⅱ）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率当且仅当 t≥94,由试验结果知，t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.‎ 用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为 ‎=2.68（元）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上 ‎（Ⅰ）求圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值。‎ 解析：本题考查圆的方程和直线和圆的关系。‎ ‎（Ⅰ）曲线与坐标轴的交点为（0,1）（3‎ 故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有+‎ 解得t=1,则圆的半径为 所以圆的方程为 ‎（Ⅱ）设A( B(其坐标满足方程组 ‎2‎ 消去y得到方程 由已知可得判别式△=56-16a-4>0‎ 由韦达定理可得， ①‎ 由可得又。所以 ‎2 ② ‎ 由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1。‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为。‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当，且时，。‎ 解析：本题考查导数的基本概念和几何意义，‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=所以 考虑函数 则h′(x)=‎ 所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0故 x时h(x)>0可得 x h(x)<0可得 从而当，且时，。‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为m，的长为n，AD,的长是关于的方程的两个根。‎ ‎（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。‎ 解析：（Ⅰ）连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC 即,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE～△ACB 因此∠ADE=∠ACB,所以C,B,D,E四点共圆。‎ ‎（Ⅱ）m=4,n=6,方程的两根为2,12.即AD=2，AB=12‎ 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G,F作AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连结D,H,因为C,B,D,E四点共圆，所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=900‎ 故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5，DF=5，故半径为5.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 ‎（为参数）‎ M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程 ‎(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.‎ ‎ 解：‎ ‎（I）设P(x，y)，则由条件知M().由于M点在C1上，所以 ‎ 即 ‎ ‎ 从而的参数方程为 ‎ （为参数）‎ ‎ （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。‎ 射线与的交点的极径为，‎ ‎ 射线与的交点的极径为。‎ ‎ 所以.‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数,其中。‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集 ‎（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值 ‎ 解：‎ ‎ （Ⅰ）当时，可化为 ‎。‎ ‎ 由此可得 或。‎ ‎ 故不等式的解集为 或。‎ ‎ (Ⅱ) 由 得 ‎ ‎ ‎ 此不等式化为不等式组 ‎ 或 ‎ 即 或 ‎ 因为，所以不等式组的解集为 ‎ 由题设可得= ，故 ‎ ‎ 高≒考!试[题 ω库www.gkstk.com