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- 2021-05-13 发布
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2020-2021 学年高考数学（理）考点：指数与指数函数
1．分数指数幂
(1) ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)； ＝ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；0 的正分数指数幂
等于 0；0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax a>1 00 时，y>1；
当 x<0 时，00 时，01
性质
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数
概念方法微思考
1.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 之间的大
小关系为 c>d>1>a>b>0.
2．结合指数函数 y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明 a x>1(a>0，a≠1)的解集是否与 a 的取值有
关．
提示 当 a>1 时，ax>1 的解集为{x|x>0}；当 01 的解集为{x|x<0}．
1．（2015•四川）某食品保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： 满足函数关系
为自然对数的底数， ， 为常数）．若该食品在 的保鲜时间是 192 小时，
m
na -m
na 1
m
na
y x C)°
( 2.718kx by e e+= = … k b 0 C°
在 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 的保鲜时间是
A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．28 小时
【答案】C
【解析】 为自然对数的底数， ， 为常数）．
当 时， ，
当 时 ，
当 时，
故选 ．
2．（2016•全国）若函数 ， 且 的最大值与最小值之和为 3，则
A．9 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【解析】 函数 且 在 ， 上单调，
当 时， ；当 时， ．则 ，
两边同时平方得： ， ．
故选 ．
1．（2020•雨花区校级模拟）设 ，则与 最接近的整数
为
A．18 B．20 C．24 D．25
【答案】D
【解析】
22 C° 33 C° ( )
kx by e += ( 2.718e = … k b
0x = 192be =
22x = 22 48k be + =
22 48 1
192 4
ke∴ = =
11 1
2
ke =
192be =
33x = 33 11 3 31( ) ( ) ( ) 192 242
k b k be e e+ = = × =
C
( [ 1xy a x= ∈ − 1])( 0a > 1)a ≠ 2 2 (a a−+ =
)
( 0xy a a= > 1)a ≠ [ 1− 1]
∴ 1x = − 1y a−= 1x = y a= 1 3a a− + =
2 22 9a a− + + = 2 2 7a a−∴ + =
B
2 2 2 2
1 1 1 148( )3 4 4 4 5 4 100 4M = + + +…+− − − − M
( )
2 2 2 2
1 1 1 148( )3 4 4 4 5 4 100 4M = + + +…+− − − −
1 1 148[ ](3 2)(3 2) (4 2)(4 2) (100 2)(100 2)
= + +…+− + − + − +
．
因为 ．
故与 最接近的整数为 25．
故选 ．
2．（2020•九江二模）已知 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于选项 ：由指数函数 为减函数，且 ，所以 ，故选项
错误；
对于选项 ：由幂函数 在 上为增函数，且 ，所以 ，故选项
正确；
对于选项 ：由指数函数 为减函数，且 ，所以 ，故选项 错误；
对于选项 ：由幂函数 在 上为增函数，且 ，所以 ，故选项
错误；
故选 ．
3．（2020•泉州一模）已知函数 ， ， ， ，则 ， ，
的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，
所以 是定义域 上的单调增函数，
又 ，
1 1 1 148( )1 5 2 6 3 7 98 102
= + + +…+× × × ×
1 1 1 1 1 1 1 1 1 112[( ) ( ) ( ) ( ) ( )]1 5 2 6 3 7 97 101 98 102
= − + − + − +…+ − + −
1 1 1 1 1 1 112(1 )2 3 4 99 100 101 102
= + + + − − − −
1 1 1 125 12( )99 100 101 102
= − + + +
1 1 1 1 4 10 12( ) 1299 100 101 102 99 2
< + + + < × <
M
D
0 1a b< < < ( )
a bb b< b ba b< a ba a< a ab a<
A (0 1)xy b b= < < a b< a bb b> A
B (0 1)by x b= < < (0, )+∞ a b< b ba b< B
C (0 1)xy a a= < < a b< a ba a> C
D (0 1)ay x a= < < (0, )+∞ a b< a aa b< D
B
1( ) 1
x
x
ef x e
−= +
0.3(2 )a f= 0.3(0.2 )b f= 0.3(log 2)c f= a b
c ( )
b a c< < c b a< < b c a< < c a b< <
1 2( ) 11 1
x
x x
ef x e e
−= = −+ +
( )f x R
0.3 0.3
0.32 1 0.2 0 log 2> > > >
所以 ，
所以 ，即 ．
故选 ．
4．（2020•永州三模）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，即 ，而 ，即 ，
，
故选 ．
5．（2020•临汾模拟）若 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，
且 是定义域 上的单调增函数，
所以 ，即 ；
又 ，
所以 ，
即 ；
所以 ．
故选 ．
6．（2020•涪城区校级模拟）若 ， ， ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
又 ， ，
0.3 0.3
0.3(2 ) (0.2 ) (log 2)f f f> >
a b c> > c b a< <
B
0.30.4a = 0.30.3b = 0.40.3c = ( )
a c b> > a b c> > c a b> > b c a> >
0.3 0.40.3 0.3> 0b c> > 0.3 0.30.4 4( ) ( ) 10.3 3
a
b
= = > a b>
a b c∴ > >
B
0m n> > 2
m n
a e
+
= 1 ( )2
m nb e e= + mnc e= ( )
b a c> > a c b> > c b a> > b c a> >
0m n> >
2
m nm n mn
++ > >
xy e= R
2
m n
mne e
+
> a c>
22 2 2
m n
m n m n m ne e e e e e
+
++ > = =
21 ( )2
m n
m ne e e
+
+ >
b a>
b a c> >
A
0.60.5a = 0.50.6b = 0.52c = ( )
b c a> > c a b> > a b c> > c b a> >
0.6 0.5 0.5 00 0.5 0.5 0.6 0.6 1< < < < =
0 1a b∴ < < <
0.5 02 2 1> = 1c∴ >
，
故选 ．
7．（2020•市中区校级模拟）已知实数 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由指数函数的单调性可得： ，则：
， 与 的大小无法确定．
故选 ．
8 ．（ 2020 • 平 谷 区 二 模 ） 如 图 ， 点 为 坐 标 原 点 ， 点 ， 若 函 数 及
的图象与线段 分别交于点 ， ，且 ， 恰好是线段 的两个三等分
点，则 ， 满足
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知，函数均为减函数，所以 ， ，
因为点 为坐标原点，点 ，
所以直线 为 ，
因为 经过点 ，则它的反函数 也经过点 ，
又因为 的图象经过点 ，
根据对数函数的图象和性质，
，
故选 ．
c b a∴ > >
D
a b 1 1( ) ( ) 12 2
a b< < ( )
1 1
a b
> 2 2log loga b> a b< sin sina b>
0a b> >
2 2
1 1 ,log log ,a b a ba b
< > > sin a sinb
B
O (1,1)A ( 0, 1)xy a a a= > ≠
log ( 0, 1)b x b b> ≠ OA M N M N OA
a b ( )
1a b< < 1b a< < 1b a> > 1a b> >
0 1a< < 0 1b< <
O (1,1)A
OA y x=
xy a= M logay x= M
log ( 0, 1)b x b b> ≠ N
a b∴ <
1a b∴ < <
A
9．（2020•东城区模拟）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积
是前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷
叶已生长了
A．10 天 B．15 天 C．19 天 D．2 天
【答案】C
【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为 ，则 天后荷叶覆盖水面的面积 ，
根据题意，令 ，解得 ，
故选 ．
10．（2020•广西二模）函数 的图象为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由于函数 是偶函数，图象关于 轴对称，故排除 、 ．
再由 时，函数值 ，可得图象过点 ，故排除 ，
从而得到应选 ，
故选 ．
11．（2020•山东模拟）已知集合 ， ， ，则
A． ， B． C． D． ，
【答案】B
【解析】 ， ，
( )
a x 2 ( )xy a x N+= ∈
202( 2 ) 2xa a= 19x =
C
| | 22 ( )xy x x R= − ∈ ( )
| | 22 ( )xy x x R= − ∈ y B D
0x = 1y = (0,1) C
A
A
{ | 2 xA y y −= = 0}x <
1
2{ | }B x y x= = (A B = )
[1 )+∞ (1, )+∞ (0, )+∞ [0 )+∞
{ | 2 xA y y −= = 0} { | 1}x y y< = >
1
2{ | } { | 0}B x y x x x= = =
(1, )A B∴ = +∞
故选 ．
12．（2019•镇海区校级模拟）若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若 ， ， ，故 正确；
而当 ， 时，检验可得， 、 、 都不正确，
故选 ．
13．（2019•西湖区校级模拟）函数 的图象过定点
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数 ，令 ，求得 ， ，
故函数的图象经过定点 ，
故选 ．
14．（2019•西湖区校级模拟）化简 得
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 有意义，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选 ．
15．（2019•西湖区校级模拟）函数 且 的图象恒过定点
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，由 得， ，
B
2 2 1m n> > ( )
1 1
m n
> 1m nπ − >
( ) 0ln m n− > 1 1
2 2
log logm n>
02 2 1 2m n> > = 0m n∴ > > 0 1m nπ π−∴ > = B
1
2m = 1
4n = A C D
B
1 2( 1)xy a a−= − > ( )
( 1, 1)− − ( 1,1)− (1, 1)− (1,1)
1 2( 1)xy a a−= − > 1 0x − = 1x = 1y = −
(1, 1)−
C
1a a
− ( )
a− a− − a− a
1
a
− 0a <
2a a= −
2 21 1 1( )a a a aa a a
− = − × − = − × − = − −
B
1( ) 3 ( 0xf x a a+= − > 1)a ≠ ( )
( 1,2)− (1,2) ( 1,1)− (0,2)
1 0x + = 1x = −
将 代入 得， ，
所以函数 且 的图象恒过定点 ，
故选 ．
16．（2019•呼伦贝尔模拟）已知 ，则 ， 不可能满足的关系是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
， ，
， ，
，
（6） ，
，
则有 ，
，
，
，
，
，故 错误
故选 ．
17．（2019•天津一模）已知函数 ，若 ， （2）， ，则 ， ，
的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数 ，则 在 上为减函数，
又由 ，
1x = − 1( ) 3 xf x a += − 0( ) 3 2f x a= − =
1( ) 3 ( 0xf x a a+= − > 1)a ≠ ( 1.2)−
A
2 3 6a b= = a b ( )
a b ab+ = 4a b+ >
2 2( 1) ( 1) 2a b− + − < 2 2 8a b+ >
2 3 6a b= =
(2 ) 6a b b∴ = (3 ) 6b a a=
2 6ab b∴ = 3 6ba a=
2 3 6 6ab ba b a∴ =
∴ 6ab a b+=
ab a b∴ = +
2ab a b ab= +
a b≠
2ab ab∴ >
4a b ab∴ + = >
2 2 2 2( 1) ( 1) 2( ) 2 2 2( ) 2 2a b a b a b ab a b∴ − + − = + − + + > − + + >
2 2 2 8a b ab+ > > C
C
1( ) ( )2
xf x = 0.3(2 )a f= b f= 2(log 5)c f= a b
c ( )
c b a> > a b c> > c a b> > b c a> >
1( ) ( )2
xf x = ( )f x R
0.3 1
22 2 2 log 5< < <
则 ；
故选 ．
18．（2019•宜宾模拟）若函数 的图象恒过点 ，则
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】 函数 的图象恒过点 ， ，且 ，
解得 ， ， ，
故选 ．
19．（2019•山东模拟）若 ，则有
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：取特殊值排除；
当 ， 时， ，成立，排除 ， ．当 ， ， 成立，排除
．
法二：构造函数利用单调性：令 ，则 是增函数，
，
（a） ，
即 ．
故选 ．
20．（2019•西湖区校级模拟）函数 的图象恒过定点
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，求得 ， ，可得函数 的图象恒过定点
，
故选 ．
21 ．（ 2019 • 西 湖 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 恒 过 定 点 ， 则 函 数
a b c> >
B
( ) 2 ( 0, 1)x mf x a n a a+= × − > ≠ ( 1,4)− (m n+ = )
1− 2−
( ) 2 ( 0, 1)x mf x a n a a+= × − > ≠ ( 1,4)− 1 0m∴ − = 12 4ma n− − =
1m = 2n = − 1m n∴ + = −
C
a b b ae eπ π− −+ + ( )
0a b+ 0a b− 0a b− 0a b+
0a = 1b = 11 1e
π+ + A B 1a = 0b = 11 1e π+ +
C
( ) x xf x e π −= − ( )f x
a a b be eπ π− −− −
f∴ ( )f b−
0a b+
D
2( ) 3( 0, 1)xf x a a a−= − > ≠ ( )
(2, 3)− (3, 3)− (2, 2)− (3, 2)−
2 0x − = 2x = 2y = − 2( ) 3( 0, 1)xf x a a a−= − > ≠
(2, 2)−
C
2( ) 1( 0, 1)xf x a a a−= + > ≠ ( , )M m n
不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】 恒过定点 ，
，
，
为减函数，且过点 ，
的函数图象不经过第三象限．
故选 ．
22．（2019•西湖区校级模拟）函数 且 的图象恒过的定点是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
当 时， ，
此时 ，
即函数过定点 ．
故选 ．
23．（2019•道里区校级一模）函数 的图象恒过点 ，则下列函数中图象不经
过点 的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的图象恒过点 ，
即 ，可得 ，
那么： ．
( ) xg x n m= − ( )
2( ) 1( 0, 1)xf x a a a−= + > ≠ (2,2)
2m n∴ = =
( ) 2 2xg x∴ = −
( )g x∴ (0,1)
( )g x∴
C
2 1( 0xy a a+= + > 1)a ≠ ( )
( 2,0)− ( 1,0)− (0,1) ( 2,2)−
2 1xy a += +
∴ 2 0x + = 2x = −
1 1 2y = + =
( 2,2)−
D
1( ) ( 0, 1)xf x a a a−= > ≠ A
A ( )
1y x= − | 2 |y x= − 2 1xy = − 2log (2 )y x=
1( ) ( 0, 1)xf x y a a a−= = > ≠ A
1 0x − = 1x =
1y =
恒过点 ．
把 ， 带入各选项，
经考查各选项，只有 没有经过 点．
故选 ．
24．（2019•西湖区校级模拟）已知 ，则 值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
．
故选 ．
25．（2019•西湖区校级模拟）函数 在 ， 上最大值与最小值的和为 3，则
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】根据题意，由 的单调性，
可知其在 ， 上是单调函数，即当 和 1 时，取得最值，
即 ，可得 ，
则 ，
即 ，
故选 ．
26．（2019•西湖区校级模拟）用分数指数幂的形式表示 为
A． B． C． D．
∴ (1,1)A
1x = 1y =
A A
A
1 3x x−+ =
3 3
2 2x x
−+ ( )
3 3 2 5 4 5 4 5−
1 3x x−+ =
∴
1 1 1 1
22 2 2 2 1( ) 2 5x x x x x x
− −+ = + = + + =
∴
3 3 1 1
12 2 2 2( )( 1)x x x x x x
− − −+ = + + −
5 (3 1)= × −
2 5=
B
xy a= [0 1] (a = )
1
2
1
4
xy a=
[0 1] 0x =
0 1 3a a+ = 0 1a =
1 2a =
2a =
A
a a− ( )
3
2a−
3
2( )a− −
2
3( )a− −
3
2a−
【答案】B
【解析】 有意义，可得 ，解得 ．
．
故选 ．
27．（2019•西湖区校级模拟）当 且 时，函数 的图象一定经过点
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 且 ，
当 ，即 时， ，
函数 且 的图象过定点 ．
故选 ．
28．（2019•西湖区校级模拟）函数 的图象必经过点
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数 的图象恒过 点
而要得到函数 ， 的图象，
可将指数函数 的图象向右平移两个单位，再向上平移两个单位．
则 点平移后得到 点
故选 ．
29．（2019•西湖区校级模拟）函数 的值域为
A． B． C． ， D． ，
【答案】A
【解析】令
单调递减
a− 0a− 0a
∴
3
2( )a a a− = − −
B
0a > 1a ≠ 1 3xy a −= + ( )
(4,1) (1,4) (1,3) ( 1,3)−
1 3( 0xy a a−= + > 1)a ≠
∴ 1 0x − = 1x = 4y =
∴ 1 3( 0xy a a−= + > 1)a ≠ (1,4)
B
2 2( 0, 1)xy a a a−= + > ≠ ( )
(0,1) (1,1) (2,2) (2,3)
( 0, 1)xy a a a= > ≠ (0,1)
2 2xy a −= + ( 0, 1)a a> ≠
( 0, 1)xy a a a= > ≠
(0,1) (2,3)
D
221( )2
x xy −= ( )
1[ , )2
+∞ 1( , ]2
−∞ (0 1]2 (0 2]
2 2( ) 2 ( 1) 1 1t x x x x= − = − − +
1( )2
ty =
即
故选 ．
30．（2019•西湖区校级模拟）设 且 ，则
A． B． C． （2） D． （2）
【答案】C
【解析】当 时， ，
，
当 时， ，
，
综上所述： （2）
故选 ．
31．（2020•泸州模拟）设函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且 ，
则 __________．
【答案】3
【解析】因为函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且 ；
故 在 的图象上，
故有： ；
故答案为：3．
32 ．（ 2020 • 江 苏 模 拟 ） 若 函 数 且 在 定 义 域 ， 上 的 值 域 是 ，
，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若函数 ， 且 的定义域 ， ，
值域 ， ，
即有 ， ，
方程 有两个不等实根，即有 ，
∴ 21 21 1( ) ( )2 2
x x−
1
2y
A
| |( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ ( )
( 1) (0)f a f− > ( 1) (0)f a f− < ( 1)f a f+ > ( 1)f a f+ <
1a > | 1| 2a + >
| 1| 2aa a+∴ >
0 1a< < | 1| 2a + <
| 1| 2aa a+∴ >
( 1)f a f+ >
C
( )y f x= 2x ay += y x= − ( 4) 1f − =
a =
( )y f x= 2x ay += y x= − ( 4) 1f − =
( 1,4)− 2x ay +=
14 2 3a a− += ⇒ =
( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ [m ]n 2[m
2 ](1 )n m n< < a
2
(1, )ee
( ) xf x a= ( 0a > 1)a ≠ [m ]n
2[m 2 ](1 )n m n< <
2ma m= 2na n=
∴ 2xa x= 2xlna lnx=
，有两个不等实根．
令 ，则 的导数 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
即有 时取得最大值 ，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围 ．
33．（2020•黄冈模拟）已知 ， ，则 的值是__________．
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
．
故答案为： ．
34．（2020•龙凤区校级一模）函数 ， 的图象恒过定点 ，则 点坐标为
__________．
【答案】
【解析】由于函数 经过定点 ，令 ，可得 ，求得 ，
故函数 ，则它的图象恒过定点的坐标为 ，
故答案为
35．（2020•陇南模拟）函数 的值域是__________．
【答案】
【解析】令 ，因为 单调递增，
2lnxlna x
∴ =
2( ) lnxg x x
= ( )g x 2
2 2( ) lnxg x x
−′ =
( ) 0g x′ = x e=
∴ 0 x e< < ( ) 0g x′ > ( )g x
x e> ( ) 0g x′ < ( )g x
x e= 2
e
20 lna e
< <
2
1 ea e< <
a
2
(1, )ee
2 3a = 9 8b = ab
3
2
2 3a = 9 8b =
2log 3a∴ = 9log 8b =
2 9
3 8 3log 3 log 8 2 9 2
lg lgab lg lg
∴ = = × =
3
2
1( ) 1xf x a += + ( 0, 1)a a> ≠ P P
xy a= (0,1) 1 0x + = 1x = − ( 1) 2f − =
1( ) 1( 0, 1)xf x a a a+= + > ≠ ( 1,2)−
( 1,2)−
( ) 3 5xf x = +
(5, )+∞
3xt = 3xy =
所以则 ，
函数 的值域是
故答案为： ．
0t >
( ) 3 5xf x = +
(5, )+∞
(5, )+∞
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