2017年度高考数学（理）二模试题（上海市三区） 10页

上海市徐汇、松江、金山三区2014届高三学习能力诊断（二模）‎ 数学（理）试题 一、填空题：(本题满分56分，每小题4分)‎ ‎1．已知集合，，则____________． ‎ ‎2．直线的倾斜角的大小是____________．‎ ‎3．函数的单调递减区间是____________． ‎ ‎4．函数的值域是____________． ‎ ‎5．设复数满足，则＝____________．‎ ‎6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生.‎ ‎7．函数的最小正周期=____________．‎ ‎8．已知函数，则____________． ‎ ‎9．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________．‎ ‎10．若的展开式中的系数为，‎ 则=____________．‎ ‎11．在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，则点A和点B间的最短距离为____________．‎ ‎12．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，‎ 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示) ‎ ‎13．如图所示，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数），则的最大值为____________．‎ ‎14．对于集合（，定义集合，记集合中的元素个数为．若是公差大于零的等差数列，则=____________．‎ 二、选择题：（本题满分20分，每小题5分）‎ ‎15．已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是-------------( )‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③‎ ‎16．在中，角的对边分别是，且，则等于-------（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎17．函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下 不可能成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎18．设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）‎ A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③‎ 三、解答题：（本大题共5题，满分74分）‎ ‎19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分）‎ 如图，△中，，，‎ ‎，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体．‎ ‎（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；‎ ‎（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．‎ ‎20．（本题满分14分）‎ A C B D 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知，，（千米），（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时‎1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．‎ ‎（即从B点出发到达C点）‎ ‎21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）‎ 已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）‎ 定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距．‎ ‎（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；‎ ‎（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；‎ ‎（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值．‎ ‎23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分）‎ 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．‎ （1） 求第2行和第3行的通项公式和；‎ （2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于（）的表达式；‎ ‎（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数 ，当时，都有．‎ 参考答案 一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分)‎ ‎１．　　 ２．　　3． 4．　 ‎ ‎ 5．　　　6．40 7．　 　8．　 9．　　10．2　　　‎ ‎11． 12． 　　13．5 14．‎ 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）‎ ‎15．Ｃ　　　16．Ｄ　　　17．Ｂ　　　18．Ｃ 三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）‎ ‎19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）‎ 解：（1）连接，则，‎ 设，则，‎ 在中，，‎ 所以，--------------------------（4分）‎ 所以．-----------------（6分）‎ ‎（2）中，，,，‎ ‎，-------------------------------（8分）‎ ‎．（12分）‎ ‎20．（本题满分14分）‎ 解：由知，‎ 由正弦定理得，所以，．---------------------------------------（4分）‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 即，即，‎ 解得（千米）， -----------------------------------------------（10分）‎ ‎（千米），--------------------------------------------------------------------（12分）‎ 由于，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14分）‎ ‎21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）‎ 解：（1）设椭圆的短半轴为，半焦距为，‎ 则，由得，‎ 由解得,则椭圆方程为. ----------（6分）‎ ‎（2）由得 ‎ 设由韦达定理得： ‎ ‎=‎ ‎==，----------------（10分）‎ 当，即时，为定值，所以，存在点 使得为定值（14分）．‎ ‎22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）‎ 解：（1），‎ ‎，（非零常数）‎ ‎ 所以函数是广义周期函数，它的周距为2．-----（4分）‎ ‎（2）设，则 ‎（非零常数） 所以是广义周期函数，且．-----------------（ 9分）‎ ‎（3），‎ 所以是广义周期函数，且 ．------------------------------------------（10分）‎ 设满足，‎ 由得：‎ ‎，‎ 又知道在区间上的最小值是在上获得的，而，所以在上的最小值为．--------------------（ 13分）‎ 由得得：‎ ‎，‎ 又知道在区间上的最大值是在上获得的，‎ 而，所以在上的最大值为23．-----------------------（16分）‎ ‎23．（本题满分18分；第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分．）‎ 解：（1）‎ ‎．--------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）‎ ‎（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，‎ 则由 ‎（常数）知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；------------（7分）‎ 由于，所以，所以 ‎，由，‎ 得， （9分）‎ 于是 ， ‎ 即，又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）． （12分）‎ ‎（3） ，‎ ‎，‎ 令，-----------------（14分）‎ ‎． ---------------------------------------------------------------------------------------------------------（15分）‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，则当时，都有，‎ 适合题设的一个等比数列为．-------------------------------------------------------（18分）‎