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- 2021-05-13 发布
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1（2017 海淀二模）对于无穷数列 ，记 ，若数列 满足：
“存在 ，使得只要 （ 且 ），必有 ”，则
称数列 具有性质 .
（Ⅰ）若数列 满足 判断数列 是否具有性质 ？是否具有性
质 ？
（Ⅱ）求证：“ 是有限集”是“数列 具有性质 ”的必要不充分条件；
（Ⅲ）已知 是各项为正整数的数列，且 既具有性质 ，又具有性质 ，求
证：存在整数 ，使得 是等差数列.
2（2017 海淀一模）已知含有 个元素的正整数集
具有性质 ：对任意不大于 (其中 )的正整数 存在数集 的
一个子集，使得该子集所有元素的和等于 .
（Ⅰ）写出 的值；
（Ⅱ）证明：“ 成等差数列”的充要条件是“ ”；
（Ⅲ）若 ，求当 取最小值时， 的最大值.
3（2017 西城二模）设集合 ．如果对于 的每一个含有
个元素的子集 ， 中必有 个元素的和等于 ，称正整数 为集合
的一个“相关数”．
{ }na { | , }j iT x x a a i j= = − < { }na
t T∈ m ka a t− = *,m k ∈N m k> 1 1m ka a t+ +− =
{ }na ( )P t
{ }na 2 , 2,
2 5, 3,n
n na n n
≤= − ≥ { }na (2)P
(4)P
T { }na (0)P
{ }na { }na (2)P (5)P
N 1 2, , , , ,N N N N ka a a a+ + +
n 1 2{ , , , }nA a a a= ⋅⋅⋅ 1 2( , 3)na a a n< < ⋅⋅⋅ < ≥
P ( )S A 1 2( ) nS A a a a= + + ⋅⋅⋅ + ,k A
k
1 2,a a
1 2, , , na a a
( 1)( ) 2
n nS A
+=
( ) 2017S A = n na
*
2 {1,2,3, ,2 } ( , 2)nA n n n= ∈N ≥ 2nA
( 4)m m≥ P P 4 4 1n + m
2nA
（Ⅰ）当 时，判断 5 和 6 是否为集合 的“相关数”，说明理由；
（Ⅱ）若 为集合 的“相关数”，证明： ；
（Ⅲ）给定正整数 ．求集合 的“相关数” 的最小值．
4（2017 西城一模）如图，将数字 全部填入一个 行 列的表格中，每
格填一个数字．第一行填入的数字依次为 ，第二行填入的数字依次为 ．
记 ．
（Ⅰ）当 时，若 ， ， ，写出 的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数 ．试给出 的一组取值，使得无论 填写的顺
序如何， 都只有一个取值，并求出此时 的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的 以及满足条件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相
同．
5（2017 东城二模）对于 维向量 ，若对任意 均有
或 ，则称 为 维 向量.对于两个 维 向量 ，定义
.
（Ⅰ）若 ， ，求 的值.
（ Ⅱ ） 现 有 一 个 维 向 量 序 列 ： ， 若 且 满 足 ：
， .求证：该序列中不存在 维 向量 .
（ Ⅲ ） 现 有 一 个 维 向 量 序 列 ： ， 若 且 满 足 ：
， ， ， 若 存 在 正 整 数 使 得
， 为 维 向量序列中的项，求出所有的 .
6（2017 东城一模）已知集合 ，并且 ．定义
1 2 3, , ,A A A
1 2 3, , ,A A A
3n = 6A
m 2nA 3 0m n− − ≥
n 2nA m
1,2,3, ,2 ( 3)n n ≥ 2 n
1 2, , , na a a 1 2, , , nb b b
1 1 2 2
1
| | | | | | | |
n
n i i n n
i
S a b a b a b a b
=
= − = − + − + + −∑
3n = 1 1a = 2 3a = 3 5a = 3S
n 1 2, , , na a a 1 2, , , nb b b
nS nS
n nS
n 1 2( , , , )nA a a a= {1,2, , }i nÎ
0ia = 1ia = A n T n T ,A B
1
( , ) | |
n
i i
i
d A B a b
=
= -å
(1,0,1,0,1)A = (0,1,1,1,0)B = ( , )d A B
5 T 1 (1,1,1,1,1)A =
1( , ) 2i id A A + = *iÎ N 5 T (0,0,0,0,0)
12 T 1
12
(1,1, ,1)A 个
=
1( , )i id A A m+ = *mÎ N 1,2,3,i = j
12
(0,0, ,0)jA 个
= jA 12 T m
1 2{ , , , }, 1,2, ,n iA a a a a ,i nR= ∈ = 2n ≥
（ 例 如 ：
）．
（ Ⅰ ） 若 ， ， 集 合 的 子 集 满 足 ：
，且 ，求出一个符合条件的 ；
（Ⅱ）对于任意给定的常数 以及给定的集合 ，求证：存在集合
，使得 ，且 .
（ Ⅲ ） 已 知 集 合 满 足 ： ， ， ，
，其中 为给定的常数，求 的取值范围．
7（2017 朝阳二模）各项均为非负整数的数列 同时满足下列条件：
① ； ② ； ③ 是 的 因 数
（ ）．
（Ⅰ）当 时，写出数列 的前五项；
（Ⅱ）若数列 的前三项互不相等，且 时， 为常数，求 的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 时， 为常数．
8（2017 朝阳一模）对于正整数集合 （ ， ），如果去掉其
中任意一个元素 （ ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集
为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 为“和谐集”.
（Ⅰ）判断集合 是否是“和谐集”（不必写过程）；
（Ⅱ）求证：若集合 是“和谐集”，则集合 中元素个数为奇数；
（Ⅲ）若集合 是“和谐集”，求集合 中元素个数的最小值.
9（2017 丰台二模）若无穷数列 满足： ，对于 ，都有
（其中 为常数），则称 具有性质“ ”.
（Ⅰ）若 具有性质“ ”，且 ， ， ，求 ；
1
( ) | |j i
i j n
T A a a
≤ < ≤
= −∑
2 1 3 1 3 2
1 3
| | | | | | | |j i
i j
a a a a a a a a
£ < £
- = - + - + -å
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = {1,2,3,4,5}M = A N
N M¹ ( ) ( )T M T N= N
C 1 2{ , , , }nA a a a=
1 2{ , , , }nB b b b= ( ) ( )T B T A=
1
n
i
i
b C
=
=∑
1 2 2{ , , , }mA a a a= 1i ia a +< 1,2, ,2 1i m= − 2m ³
1 2, ma a a b= = ,a bÎ R ( )T A
}{ na
ma =1 ( )Nm∈ * 1na n≤ − ( 2)n ≥ n 1 2 na a a+ + +
1n ≥
5=m }{ na
}{ na 3≥n na m
m M n M≥ na
1 2{ , , , }nA a a a= n ∗∈N 3n ³
ia 1,2, ,i n=
A
{1,2,3,4,5}
A A
A A
{ }na k∃ ∈ *N 0 0( )n n n∀ ≥ ∈ *N
n k na a d+ − = d { }na 0( )P k n d, ,
{ }na (3 2 0)P , , 2 3a = 4 5a = 6 7 8 18a a a+ + = 3a
（Ⅱ）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列，
， ， ，判断 是否具有性质“ ”，并说明理由；
（Ⅲ）设 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，其中 ，
， 互质，求证： 具有性质“ ”.
10（2017 丰台一模）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“K
数列”．
（Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2 是“K 数列”，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在首项为-1 的等差数列 为“K 数列”，且其前 n 项和 满足
？若存在，求出 的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列 是“K 数列”，数列 不是“K 数
列”，若 ，试判断数列 是否为“K 数列”，并说明理由．
11（2017 昌平二模）设集合 ， .对数列 ，规定：
① 若 ,则 ；
② 若 ，则 .
例如：当 ， 时， .
(I)已知等比数列 ， ，且当 时， ，求数列 的通
项公式；
(II) 已 知 数 列 ， 证 明 ： 对 于 任 意 的 ， 且 ， 存 在
，使 ；
(III)已知集合 , ， ．设 中最大元素为
， 中最大元素为 ，求证： .
{ }1,2, 100U = … ， T U⊆ { }( )na n ∈ *N
T = ∅ 0TS =
{ }1 2 kT n ,n , n= … ， 1 2
+ kT n n nS a a a= + +
2na n= { }= 1,3,5T 1 3 5 2 6 10 18= + + = + + =TS a a a
{ }( )na n ∈ *N 1 1a = ={2, 3}T =12TS { }na
1
2, 1,
2 , 2n n
na
n−
== ≥ 1 100≤ ≤k ∈ *Nk
⊆T U 1T kS a +=
, ,A U B U A B⊆ ⊆ = ∅ 13n
na −= A BS S≥ A
m B r 1m r≥ +
{ }nb { }nc
1 3 2b c= = 3 1 8b c= = n n na b c= + { }na (2 1 0)P , ,
{ }na 1( 2 )P i d, , 2( 2 )P j d, , i j∈ *N，
i j< i j, { }na 1( 2 )j iP j i i di
−− +, ,
*N∀ ∈n { }nx 1 1+ − >n nx x
m
{ }na nS
2 *1 ( N )2
< − ∈nS n n n { }na
{ }na 1
2 na
1
1
n
n
ab n
+= + { }nb
12（2017.1 石景山期末）集合 的若干个子集的集合称为集合 的一个子集族．对于集
合 的一个子集族 满足如下条件：若 ，则 ，则称
子集族 是“向下封闭”的．
（Ⅰ）写出一个含有集合 的“向下封闭”的子集族 并计算此时 的值（其
中 表示集合 中元素的个数，约定 ； 表示对子集族 中所有成员
求和）；
（Ⅱ） 是集合 的任一“向下封闭的”子集族，对 ,记 ，
（其中 max 表示最大值），
（ⅰ）求 ； （ⅱ）若 是偶数，求 ．
1（2017 海淀二模）（Ⅰ）数列 不具有性质 ；具有性质 .
（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列 ， 是有限集，但是由于
，
所以不具有性质 ；
（必要性）因为数列 具有性质 ，
所以一定存在一组最小的 且 ，满足 ，即
由性质 的含义可得
所以数列 中，从第 k 项开始的各项呈现周期性规律： 为一个周期
中的各项，
所以数列 中最多有 个不同的项，
M M
{1,2,3 }n D ,A D B A∈ ⊆ B D∈
D
{1,2} D ( 1) A
A D∈
−∑
A A 0φ =
A D∈
∑ D A
D {1,2,3 }n A D∀ ∈ maxk A=
( ) max ( 1) A
A D
f k
∈
= −∑
(2)f k ( )f k
{ }na (2)P (4)P
1,1,2,2,1,1,2,2,L { 1,0,1}T = −
2 1 3 20, 1a a a a− = − =
(0)P
{ }na (0)P
*,m k ∈N m k> 0m ka a− = m ka a=
(0)P 1 1 2 2 2 1 1 2, , , , ,m k m k m k m m k ma a a a a a a a+ + + + − − − −= = = =L L
{ }na 1 1, , ,k k ma a a+ −L
{ }na 1m −
所以 最多有 个元素，即 是有限集.
（Ⅲ）因为数列 具有性质 ，数列 具有性质 ，
所以存在 ，使得 ， ，其中 分别是满足上述
关系式的最小的正整数，
由性质 的含义可得 ， ，
若 ，则取 ，可得 ；
若 ，则取 ，可得 .
记 ， 则 对 于 ， 有 ， ， 显 然
，
由性质 的含义可得 ， ，
所以
所以 .所以 ，
又 是满足 ， 的最小的正整数，
所以 ，
，
所以 ， ，
所 以 ， ，
，
取 ，则 ，
所以，若 是偶数，则 ；
若 是奇数，则 ，
所以 ，
T 2
1mC − T
{ }na (2)P { }na (5)P
*', 'M N ∈N ' ' 2M p Ma a+ − = ' ' 5N q Na a+ − = ,p q
(2), (5)P P k∀ ∈N ' ' ' '2, 5M p k M k N q k N ka a a a+ + + + + +− = − =
' 'M N< ' 'k N M= − ' ' 2N p Na a+ − =
' 'M N> ' 'k M N= − ' ' 5M q Ma a+ − =
max{ ', '}M M N= Ma 2M p Ma a+ − = 5M q Ma a+ − =
p q≠
(2), (5)P P k∀ ∈N 2, 5M p k M k N q k N ka a a a+ + + + + +− = − =
( 1) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) 2M qp M M qp M q p M q p M q p M p Ma a a a a a a a q+ + + − + − + − +− = − + − + + − =L
( 1) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) 5M qp M M pq M p q M p q M p q M q Ma a a a a a a a p+ + + − + − + − +− = − + − + + − =L
2 5M qp M Ma a q a p+ = + = + 2 5q p=
,p q 2M p Ma a+ − = 5M q Ma a+ − =
5, 2q p= =
2 52, 5M M M Ma a a a+ +− = − =
k∀ ∈N 2 52, 5M k M k M k M ka a a a+ + + + + +− = − =
k∀ ∈N 2 2( 1) 2 2M k M k Ma a a k+ + −= + = = +L
5 5( 1) 5 5M k M k Ma a a k+ + −= + = = +L
5N M= + k∀ ∈N
k N k Na a k+ = +
k 5 ( 5) 5 ( 5) 5 ( 5)N k N k N N Na a a k a k a k+ + + − += = + − = + + − = +
k∀ ∈N N k Na a k+ = +
所以 是公差为 1 的等差数列.
2（2017 海淀一模）解：（Ⅰ） .
（Ⅱ）先证必要性
因为 ，又 成等差数列，故 ，所以 ；
再证充分性
因为 ， 为正整数数列，故有
,
所以 ,
又 ，故 ，故 为等差数列.
（Ⅲ）先证明 .
假设存在 ，且 为最小的正整数.
依题意 ,则
，又因为 ,
故当 时， 不能等于集合 的任何一个子集所有元素的和.
故假设不成立，即 成立.
因此 ,
即 ，所以 .
因为 ，则 ，
若 时，则当 时，集合 中不可能存在若干不同元
素的和为 ，
故 ，即 .
此时可构造集合 .
因为当 时， 可以等于集合 中若干个元素的和，
1 2, , , , ,N N N N ka a a a+ + +
1 21, 2a a= =
1 21, 2a a= = 1 2, , , na a a na n= ( 1)( ) 2
n nS A
+=
1 2 na a a< < ⋅⋅⋅ < 1 2, , , na a a
1 2 3 41, 2, 3, 4, , na a a a a n= = ≥ ≥ ⋅⋅⋅ ≥
1 2( ) nS A a a a= + + ⋅⋅⋅ + (1 )1 2 2
n nn
+≥ + + ⋅⋅⋅ + =
( 1)( ) 2
n nS A
+= ma m= ( 1,2, , )m n= 1 2, , , na a a
12 ( 1,2, , )m
ma m n−∀ ≤ = ⋅⋅⋅
12 p
pa −> p
3p ≥
2 1
1 2 1 1 2 2 2 1p p
pa a a − −
−+ + ⋅⋅⋅ + ≤ + + ⋅⋅⋅ + = − 1 2 na a a< < <
1(2 1, )p
pk a−∈ − k A
12 ( 1,2, , )m
ma m n−∀ ≤ = ⋅⋅⋅
1
1 22017 1 2 2 2 1n n
na a a −= + +⋅⋅⋅+ ≤ + +⋅⋅⋅+ = −
2 2018n ≥ 11n ≥
2017S = 1 2 1 2017n na a a a−+ + ⋅⋅⋅ = −
2017 1n na a− < − (2017 , )n nk a a∈ − A
k
2017 1n na a− ≥ − 1009na ≤
{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =
{2,2 1}k ∈ + k {1,2}
故当 时， 可以等于集合 中若干不同元素的和，
……
故当 时， 可以等于集合 中若干不同元
素的和，
故当 时， 可以等于集合 中若干
不同元素的和，
故 当 时 ， 可 以 等 于 集 合
中若干不同元素的和，
所以集合 满足题设，
所以当 取最小值 11 时， 的最大值为 1009.
3（2017 西城二模）解：（Ⅰ）当 时， ， ．[ 1 分]
①对于 的含有 个元素的子集 ，
因为 ，
所以 不是集合 的“相关数”．……[ 2 分]
② 的含有 个元素的子集只有 ，
因为 ，
所以 是集合 的“相关数”．……[ 3 分]
（Ⅱ）考察集合 的含有 个元素的子集 ．[ 4 分]
中任意 个元素之和一定不小于 ．
所以 一定不是集合 的“相关数”．……[ 6 分]
所以当 时， 一定不是集合 的“相关数”．……[ 7 分]
因此若 为集合 的“相关数”，必有 ．
即若 为集合 的“相关数”，必有 ．……[ 8 分]
2 2 2 2{2 ,2 1,2 2,2 3}k ∈ + + + k 2{1,2,2 }
8 8 8 8{2 ,2 1,2 2, ,2 255}k ∈ + + + k 8{1,2, ,2 }
{497 3,497 4, ,497 511}k ∈ + + + k 8{1,2, ,2 ,497}
{1009,1009 1,1009 2, ,1009 1008}k ∈ + + + k
8{1,2, ,2 ,497,1009}
{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =
n na
3n = 6 {1,2,3,4,5,6}A = 4 1 13n + =
6A 5 {2,3,4,5,6}
2 3 4 5 13+ + + >
5 6A
6A 6 {1,2,3,4,5,6}
1 3 4 5 13+ + + =
6 6A
2nA 2n + { 1, , 1, ,2 }B n n n n= − +
B 4 ( 1) ( 1) ( 2) 4 2n n n n n− + + + + + = +
2n + 2nA
2m n +≤ m 2nA
m 2nA 3m n +≥
m 2nA 3 0m n− − ≥
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 ．
先将集合 的元素分成如下 组：
．
对 的任意一个含有 个元素的子集 ，必有三组 同属于集合 ．
⋯⋯[10 分]
再将集合 的元素剔除 和 后，分成如下 组：
．
对于 的任意一个含有 个元素的子集 ，必有一组 属于集合 ．⋯⋯ [11 分]
这一组 与上述三组 中至少一组无相同元素，
不妨设 与 无相同元素．
此时这 个元素之和为 ．[12 分]
所以集合 的“相关数” 的最
4（2017 西城一模）解：（Ⅰ） 的所有可能的取值为 3，5，7，9. [ 3
分]
（Ⅱ） 令 ，则无论 填写的顺序如何，都有 ．
[ 5 分]
因为 ，
所以 ， ． [ 6 分]
因为 ，
所以 ． [ 8 分]
注： ，或 均满足条
件．
3m n +≥
2nA n
( ,2 1 ) (1 )i i nC i n i= + − ≤ ≤
2nA 3n + P 1 2 3
, ,i i iC C C P
2nA n 2n 1n −
1( ,2 ) (1 )j j nD j n j −= − ≤ ≤
2nA 3n + P 4jD P
4jD 1 2 3
, ,i i iC C C
4jD 1iC
4 1 1 4 4[ (2 1 ) [ (2 )] 4 1i n i j n j n+ + − + + − = +
2nA m
3S
ia i= ( 1,2, , )i n= 1 2, , , nb b b 2
nS n=
ia i=
{ 1, 2, ,2 }ib n n n∈ + + ( 1,2, , )i n=
i ia b< ( 1,2, , )i n=
2
2
1 1 1 1 1 1
| | ( )
n n n n n n
n i i i i i i
i i i i i n i
S a b b a b a i i n
= = = = = + =
= − = − = − = − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
1 2{ , , , } {1,2, , }na a a n= 1 2{ , , , } { 1, 2, ,2 }na a a n n n= + +
（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的 的值不变．
不妨设 ，记 ， ，其中 ．
则 ． [ 9 分]
因为 ，
所以 与 具有相同的奇偶性． [11 分]
又因为 与 具有相同的奇偶性，
所以 与 的奇偶性相同，
所以 的所有可能取值的奇偶性相同． [13 分]
解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的 的值不变．
考虑如下表所示的任意两种不同的填法， ， ，不
妨设 ， ，其中 ． [ 9 分]
．
对于任意 ，
① 若在两种填法中 都位于同一行，
则 在 的 表 达 式 中 或 者 只 出 现 在 中 ， 或 只 出 现 在
中，且出现两次，
则对 而言，在 的结果中得到 ． [11 分]
nS
i ia b>
1
n
i
i
A a
=
= ∑
1
n
i
i
B b
=
= ∑ 1,2, ,i n=
1 1 1 1
| | ( )
n n n n
n i i i i i i
i i i i
S a b a b a b A B
= = = =
= − = − = − = −∑ ∑ ∑ ∑
2
1
2 (2 1) (2 1)2
n
i
n nA B i n n
=
++ = = = +∑
A B+ n
A B+ A B−
nS A B= − n
nS
nS
1
| |
n
n i i
i
S a b
=
= −∑
1
| |
n
n i i
i
S a b
=
′ ′ ′= −∑
i ia b< i ia b′ ′< 1,2, ,i n=
1a 2a na 1a ′
2a ′ na ′
1b 2b nb 1b ′
2b ′ nb ′
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n n n n n
n n i i i i i i i i
i i i i i i
S S b a b a b b a a
= = = = = =
′ ′ ′ ′ ′+ = − + − = + − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
{1,2, ,2 }k n∈
k
k n nS S′+
1 1
n n
i i
i i
b b
= =
′+∑ ∑
1 1
n n
i i
i i
a a
= =
′+∑ ∑
k n nS S′+ 2k±
② 若在两种填法中 位于不同行，
则 在 的表达式中在 与 中各出现一次，
则对 而言，在 的结果中得到 ．
由 ① ② 得，对于任意 ， 必为偶数．
所以，对于表格的所有不同的填法， 所有可能取值的奇偶性相同． [13 分]
5 （ 2017 东 城 二 模 ） 解 ： （ Ⅰ ） 由 于 ， ， 由 定 义
，可得 . …………4 分
（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含 维 向量序列 ，
使得 ， .
因为向量 的每一个分量变为 ，都需要奇数次变化，
不妨设 的第 个分量 变化了 次之后变成 ，
所以将 中所有分量 变为 共需要
次，此数为奇数.
又因为 ，说明 中的分量有 个数值发生改变，
进而变化到 ，所以共需要改变数值 次，此数为偶数，所以矛盾.
所以该序列中不存在 维 向量 . ……………9 分
（Ⅲ）此时 . ……………13 分
易见当 为 12 的因子 时，给 (1 分).
答出 给(1 分).
答出 中任一个给(1 分)，都对给(2 分)
6（2017 东城一模）解：（Ⅰ）由于 ， ，
所以 ， ，
， ，回答其中之一即可 ………3 分
（Ⅱ）若集合 ，如果集合 中每个元素加上同一个常数 ，形成新
T 1 2 3, , , , mA A A A
iA 2
1iA + 2( 1)m −
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =
m 1,2,3,4,6,12
5,8,10m =
7,9,11m =
k
k n nS S′+
1 1
n n
i i
i i
b b
= =
′+∑ ∑
1 1
n n
i i
i i
a a
= =
′+∑ ∑
k n nS S′+ 0
{1,2, ,2 }k n∈ n nS S′+
nS
(1,0,1,0,1)A = (0,1,1,1,0)B =
1
( , ) | |
n
i i
i
d A B a b
=
= -å ( , ) 4d A B =
5
1 (1,1,1,1,1)A = (0,0,0,0,0)mA =
1 (1,1,1,1,1)A = 0
1A ( 1,2,3,4,5)i i = 1 2 1in - 0
1A 1 0
1 2 3 4 5(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)n n n n n- + - + - + - + -
1 2 3 4 52( 2) 1n n n n n= + + + + - -
*
1( , ) 2,i id A A i+ = Î N
5 T (0,0,0,0,0)
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = {1,2,3,4,5}M =
{6,7,8,9,10}N = {5,6,7,8,9}N = {4,5,6,7,8}N =
{3,4,5,6,7}N = {2,3,4,5,6}N =
1 2{ , , , }nA a a a= A t
的集合 . ……………5 分
根据 定义可以验证： . ……………6 分
取 ，此时 .
通过验证，此时 ，且 . ……………8 分
（Ⅲ）由于
………11 分
由于 ，
，
，
.
所以 .………13 分
7（2017 朝阳二模）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3 分
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
又数列 的前 3 项互不相等，
（1）当 时，
1 2{ , , , }nM a t a t a t= + + +
1
( ) | |j i
i j n
T A a a
≤ < ≤
= −∑ ( ) ( )T M T A=
1
n
i
i
C a
t n
=
−
=
∑
1 1 1
1 2{ , , , }
n n n
i i i
i i i
n
C a C a C a
B a a an n n
= = =
− − −
= − − −
∑ ∑ ∑
( ) ( )T B T A=
1
n
i
i
b C
=
=∑
2m ³
2 1 3 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )mT A a a a a a a a a= − + − + − + + −
3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )ma a a a a a+ − + − + + −
4 3 2 3( ) ( )ma a a a+ − + + −
2 2 1( )m ma a −+ −
1 2 1 2 1 2= (2 1) (2 3) (2 3) (2 1)m m m mm a m a a a m a m a+ −− − − − − − + + + − + −
2 1 2 1 2 1=(2 1)( ) (2 3)( ) ( )m m m mm a a m a a a a− +− − + − − + + −
2 1 2 1=(2 1)( ) (2 3)( ) ( )m m mm b a m a a a a− +− − + − − + + −
2 1 20 ma a b a−< − < −
2 2 30 ma a b a−< − < −
2 3 40 ma a b a−< − < −
10 m ma a b a+< − < −
2(2 1)( ) ( ) ( )m b a T A m b a− − < < −
10 −≤≤ nan 20,10 32 ≤≤≤≤ aa
}{ na
02 =a
若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，所以 ；
若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，所以 ；
（2）当 时，
若 ，则 ，且对 ， 都为整
数，所以 ，不符合题意；
若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，所以 ；
综上， 的值为 . ………8 分
（Ⅲ）对于 ，令 ，
则 .
又对每一个 ， 都为正整数，所以 ，其中“ ”至
多出现 个.故存在正整数 ，当 时，必有 成立.
当 时，则 .
从而 .
由题设知 ，又 及 均为整数，
所以 ，故 常数.
从而 常数.
13 =a 3 4 5 1a a a= = = =
3≥n 12)2(0 +−=−++
n
m
n
nm 2=m
23 =a 3 4 5 2a a a= = = =
3≥n 24)2(20 +−=−++
n
m
n
nm 4=m
12 =a
03 =a 3 4 5 0a a a= = = = 3≥n n
m
n
nm 1)2(01 +=−⋅++
1−=m
23 =a 3 4 5 2a a a= = = =
3≥n 23)2(21 +−=−++
n
m
n
nm 3=m
m 2,3,4
1≥n 1 2n nS a a a= + + +
11
111 +=+≤+=<+
+++
n
S
n
nS
n
aS
n
S
n
S nnnnnn
n n
Sn
1
1
+
+
n
Sn mS
n
Sn =≤≤≤
1... 1 <
1−m M m> n M>
n
S
n
S nn =+
+
1
1
n
S
n
S nn =+
+
1
1
n
SSn
SnSSa n
n
n
nnn =−+=−= ++
)1(
11
22
)1(
22
12
1
12122
+
−+=+
++=+
++=+
++
+
+++++
n
aaan
ana
n
Saa
n
S nn
n
nnnnnn
12
1
2
|| 12 <+
+≤+
− ++
n
n
n
aa nn
2
2
+
+
n
Sn
1+na
=+
+
2
2
n
Sn =+1na 1
1
+= +
n
S
n
S nn 1 2
1 2
n n nS S S
n n n
+ += = = =+ +
==−+=−= ++ n
SSn
SnSSa n
n
n
nnn
)1(
11
故存在正整数 ，使得 时， 为常数. ………13 分
8（2017 朝阳一模）解：（Ⅰ）集合 不是“和谐集”. ……………3 分
（Ⅱ）设集合 所有元素之和为 .
由题可知， （ ）均为偶数，
因此 （ ）的奇偶性相同.
（ⅰ）如果 为奇数，则 （ ）也均为奇数，
由于 ，所以 为奇数.
（ⅱ）如果 为偶数，则 （ ）均为偶数，
此时设 ，则 也是“和谐集”.
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数，集合 中元素个数为奇数.
综上所述，集合 中元素个数为奇数. …………………8 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合 中元素个数为奇数，
当 时，显然任意集合 不是“和谐集”.
当 时，不妨设 ，
将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ①，或者 ②；
将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ③，或者 ④.
由①、③，得 ，矛盾；由①、④，得 ，矛盾；
由②、③，得 ，矛盾；由②、④，得 ，矛盾.
因此当 时，集合 一定不是“和谐集”.
M n M≥ na
{1,2,3,4,5}
1 2{ , , , }nA a a a= M
iM a- 1,2, ,i n=
ia 1,2, ,i n=
M ia 1,2, ,i n=
1 2 nM a a a= + + + n
M ia 1,2, ,i n=
2i ia b= 1 2{ , , , }nb b b
A
A
A
3n = 1 2 3{ , , }a a a
5n = 1 2 3 4 5a a a a a< < < <
1 3 4 5{ , , , }a a a a
1 5 3 4a a a a+ = + 5 1 3 4a a a a= + +
2 3 4 5{ , , , }a a a a
2 5 3 4a a a a+ = + 5 2 3 4a a a a= + +
1 2a a= 1 2a a=-
1 2a a=- 1 2a a=
5n = A
当 时，设 ，
因为 ， ，
， ，
， ，
所以集合 是“和谐集”.
集合 中元素个数 的最小值是 7. ………………13 分
9（2017 丰台二模）解 ：（Ⅰ）因为 具有性质“ ”，所以 ，
.
由 ，得 ，由 ，得 . …………2 分
因为 ，所以 ，即 . …………4 分
（Ⅱ） 不具有性质“ ”. …………5 分
设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
得 ，所以 ，故 . …………6 分
设等比数列 的公比为 ，由 ， ，
得 ，又 ，所以 ，故 ， …………7 分
所以 .
若 具有性质“ ”，则 ， .
因为 ， ，所以 ，故 不具有性质“ ”. ……8 分
（Ⅲ）因为 具有性质“ ”，所以 ， .①
因为 具有性质“ ”，所以 ， .②
因为 ， ， 互质，
所以由①得 ；由②，得 ， …………9 分
7n = {1,3,5,7,9,11,13}A =
3 5 7 9 11 13+ + + = + 1 9 13 5 7 11+ + = + +
9 13 1 3 7 11+ = + + + 1 3 5 11 7 13+ + + = + 1 9 11 3 5 13,+ + = + +
3 7 9 1 5 13+ + = + + 1 3 5 9 7 11+ + + = +
{1,3,5,7,9,11,13}A =
A n
{ }na (3,2,0)P 3 0n na a+ − =
2n ≥
2 3a = 5 8 3a a= = 4 5a = 7 5a =
6 7 8 18a a a+ + = 6 10a = 3 10a =
{ }na (2,1,0)P
{ }nb d 1 2b = 3 8b =
2 8 2 6d = − = 3d = 3 1nb n= −
{ }nc q 3 2c = 1 8c =
2 1
4q = 0q > 1
2q = 42 n
nc −=
43 1 2 n
na n −= − +
{ }na (2,1,0)P 2 0n na a+ − = 1n ≥
2 9a = 4 12a = 2 4a a≠ { }na (2,1,0)P
{ }na 1( ,2, )P i d 1n i na a d+ − = 2n ≥
{ }na 2( ,2, )P j d 2n j na a d+ − = 2n ≥
*Ni j∈, i j< i j,
1m ji ma a jd+ = + 2m ij ma a id+ = +
所以 ，即 . …………10 分
②-①，得 ， ， …………11 分
所以 ， ， ……………12 分
所以 具有性质“ ”. ………13 分
10（2017 丰台一模）解：（Ⅰ）由题意得 ，①
，②
解①得 ；
解②得 或 ．
所以 ，故实数 的取值范围是 ． …………4 分
（Ⅱ）假设存在等差数列 符合要求，设公差为 ，则 ，
由 ，得 ，
由题意，得 对 均成立，即
①当 时， ;
②当 时， ，
因为 ，所以 ，与 矛盾，故这样的等差数列 不存
在． …………8 分
（Ⅲ）设数列 的公比为 ，则 ，
因为 的每一项均为正整数，且 ，
所以 ，且 .
因为 ，
所以在 中，“ ”为最小项．
同理，在 中，“ ”为最小项．
由 为“K 数列”，只需 ， 即 ，
又因为 不是“K 数列”， 且“ ”为最小项，所以 ，
1 2m ma jd a id+ = + 2 1
jd di
=
2 1 1n j n i
j ia a d d di+ +
−− = − = 2n ≥
1n j i n
j ia a di+ −
−− = 2n i≥ +
{ }na 1( , 2, )j iP j i i di
−− +
( 1) 1 1m + − >
2 ( 1) 1m m− + >
1m >
1m < − 2>m
2>m m 2>m
{ }na d 1>d
1 1= −a ( 1)
2
−= − +n
n nS n d
2( 1) 1
2 2
−− + < −n nn d n n ∗∈n N ( 1)n d n− <
1n = d R∈
1n >
1
< −
nd n
1=1+ 11 1
n
n n
>− − 1d ≤ 1d > { }na
{ }na q 1
1
−= n
na a q
{ }na 1 ( 1) 1 0+ − = − = − > >n n n n na a a q a a q
1 0>a 1>q
1 1 1( )+ − −− = − > −n n n n n na a q a a a a
1{ }−−n na a 2 1
−a a
1
1 1{ }2 2n na a −− 2 1
1 1
2 2a a−
{ }na 2 1 1− >a a 1( 1) 1− >a q
1{ }2 na 2 1
1 1
2 2a a− 2 1
1 1 12 2a a− ≤
即 ，
由数列 的每一项均为正整数，可得 ，
所以 或 .
① 当 时， ， 则 ，
令 ，则 ，
又 ，
所以 为递增数列，即 ，
所以 ．
因为 ，
所以对任意的 ，都有 ，即数列 为“K 数列”．
② 当 时， ，则 ．因为 ，
所以数列 不是“K 数列”．
综上：当 时，数列 为“K 数列”，
当 时，数列 不是“K 数列” ． …………13 分
11（2017 昌平二模）
解：（I） 设 ，
由题意 ，化简得 ，即 ，或 ．
所以数列 的通项公式为 ，或 ．
………………4 分
（II）当 时， ，令 ，有 ；
当 ， 时， ，
令 ，则 ．
所以 ， ， ，使 ．
………8 分
（III）当 时，
因为 中最大元素为 ，得 ，
中最大元素为 ，得
1n
na q −=
2 3 12a a+ = 2 12 0q q+ − = 4= −q 3=q
{ }na 1( 4)n
na −= − 13n
na −=
1k = 2 2=a {1}T = 1 22= = =TS a a
2 100≤ ≤k ∈ *Nk 1 2+ = k
ka
{ }1,2,T k= … ， 1 2 1( + ) 2 += + + = =k
T k kS a a a a
k∀ ∈ *N 1 100k≤ ≤ ∃ ⊆T U 1T kS a +=
1≥ +m r
A m 13 −≥ = m
A mS a
B r
1( 1) 2− ≤a q
{ }na 1( 1) 2− =a q
1 1, 3= =a q 1 2, 2= =a q
1 1, 3= =a q 13 −= n
na 3
1
n
nb n
= +
*
1 ( )n n nc b b n N+= − ∈
13 3 2 132 1 ( 1)( 2)
n n
n
n
nc n n n n
+ += − = ⋅+ + + +
1 2 3 2 13 3( 2)( 3) ( 1)( 2)
n nn n
n n n n
+ + +⋅ − ⋅+ + + +
23 4 8 6 02 ( 1)( 3)
+ += ⋅ >+ + +
n n n
n n n
{ }nc 1 2 1n n nc c c c− −> > > >
1 1 1 2 2 1n n n n n nb b b b b b b b+ − − −− > − > − > > −
2 1
3 33 12 2b b− = − = >
*∈n N 1 1n nb b+ − > { }nc
1 2, 2= =a q 2= n
na
12
1
n
nb n
+
= + 2 1
2 13b b− = ≤
{ }nb
13 −= n
na { }nb
2= n
na { }nb
，
所以 ，即 符合题意.
当 ， 时,即
又 ，所以 即 时.
，
，
所以 ，与已知矛盾，故 不合题意．
综上， ．
………………13 分
12（2017.1 石景山期末）解：（Ⅰ）含有集合 的“向下封闭”的子集族
……2 分
此时 …………4 分
（Ⅱ）设 的所有不超过 个元素的子集族为
（ⅰ）易知当 时， 达到最大值，
所以 …6 分
（ⅱ）设 是使得 的任一个“向下封闭”的子集族，记 ，
其中 为不超过 元的子集族， 为 元或 元的子集
则 = ………8 分
现设 有 （ ）个 的 元子集，由于一个 元子集至多出
现在 个 的 元子集中，而一个 元子集中有 个 元子集，
1 1
1 2 3
1+ 1 3 9 +3 (3 1) 3 32
− −≤ + + + = + + + = − < ≤r r r m
B rS a a a a
≥A BS S 1≥ +m r
1< +m r ∈ *Nm
.m r≤
= ∅A B
.m r≠
1≤ −m r
1 1
1 2 3
1+ 1 3 9 +3 (3 1) 3 32
− −≤ + + + = + + + = − < ≤m m m r
A mS a a a a
13 −≥ = r
B rS a
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