2020-2021学年高考数学（理）考点：抛物线 36页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：抛物线 ‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0)‎ 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ ‎－x0＋ y0＋ ‎－y0＋ 通径长 ‎2p 概念方法微思考 ‎1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？‎ 提示　过点F且与l垂直的直线．‎ ‎2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？‎ 提示　直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．‎ ‎1．（2020•新课标Ⅰ）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则　　‎ A．2 B．3 C．6 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，‎ 因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，‎ 故有：；‎ 故选．‎ ‎2．（2020•北京）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线　　‎ A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 ‎【答案】B ‎【解析】不妨设抛物线的方程为，则，准线为为，‎ 不妨设，‎ ‎，‎ 设准线为与轴交点为，则，‎ 可得四边形为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，‎ 故可得线段的垂直平分线，经过点，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•浙江）已知点，，．设点满足，且为函数图象上的点，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】点 ，， ．设点满足，‎ 可知的轨迹是双曲线的右支上的点，‎ 为函数图象上的点，即在第一象限的点，‎ 联立两个方程，解得，，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎4．（2019•天津）已知抛物线的焦点为，准线为．若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），则双曲线的离心率为　　‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点为，准线为．‎ ‎，准线的方程为，‎ 与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），‎ ‎，，，，‎ ‎，‎ 双曲线的离心率为．‎ 故选．‎ ‎5．（2019•新课标Ⅱ）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则　　‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：，解得．‎ 故选．‎ ‎6．（2018•全国）过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的焦点坐标是，，‎ 则过焦点且垂直轴的直线是，代入得，‎ 故，．‎ 故选．‎ ‎7．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则　　‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，‎ 联立直线与抛物线，消去可得：，‎ 解得，，不妨，，，．‎ 则，，．‎ 故选．‎ ‎8．（2017•新课标Ⅰ）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】方法一：如图，，直线与交于、两点，‎ 直线与交于、两点，由图象知要使最小，‎ 则与，与关于轴对称，即直线的斜率为1，‎ 又直线过点，‎ 则直线的方程为，‎ 联立方程组，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的最小值为，‎ 方法二：设直线的倾斜角为，则的倾斜角为，‎ 根据焦点弦长公式可得 ‎，‎ ‎，‎ 当时，的最小，最小为16，‎ 故选．‎ ‎9．（2020•海南）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得抛物线焦点，直线的方程为，‎ 代入并化简得，‎ 设，，，，则；‎ ‎，‎ 由抛物线的定义可得．‎ 故答案为：．‎ ‎10．（2019•上海）过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，，在上方，‎ 依题意：得到：，，，‎ 设点，‎ 所以：为抛物线上一点，，‎ 则：，，，，，‎ 代入，‎ 得到：．‎ 故答案为：3‎ ‎11．（2019•北京）设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ 抛物线的焦点为，‎ 所求圆的圆心，且与准线相切，圆的半径为2．‎ 则所求圆的方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎12．（2018•北京）已知直线过点且垂直于轴．若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线过点且垂直于轴，‎ ‎，‎ 代入到，可得，显然，‎ ‎，‎ 被抛物线截得的线段长为4，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ 抛物线的焦点坐标为，‎ 故答案为：．‎ ‎13．（2017•新课标Ⅱ）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交 轴于点．若为的中点，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，‎ 可知的横坐标为：1，则的纵坐标为：，‎ ‎．‎ 故答案为：6．‎ ‎14．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．‎ ‎（1）证明：直线过定点．‎ ‎（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．‎ ‎【解析】（1）设，，，则，‎ 由于，切线的斜率为，故，‎ 整理得：．‎ 设，，同理可得．‎ 故直线的方程为．‎ 直线过定点；‎ ‎（2）解：由（1）得直线的方程．‎ 由，可得．‎ 于是．‎ 设为线段的中点，则，‎ 由于，而，与向量平行，‎ ‎，解得或．‎ 当时，，所求圆的方程为；‎ 当时，，所求圆的方程为．‎ ‎15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．‎ ‎（1）证明：直线过定点；‎ ‎（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）证明：的导数为，‎ 设切点，，，，即有，，‎ 切线的方程为，即为，‎ 切线的方程为，‎ 联立两切线方程可得，‎ 可得，即，‎ 直线的方程为，‎ 即为，‎ 可化为，‎ 可得恒过定点；‎ ‎（2）法一：设直线的方程为，‎ 由（1）可得，，‎ 中点，‎ 由为切点可得到直线的距离即为，‎ 可得，‎ 解得或，‎ 即有直线的方程为或，‎ 由可得，四边形的面积为；‎ 由，可得，‎ 此时到直线的距离为；‎ 到直线的距离为，‎ 则四边形的面积为；‎ 法二：‎ ‎（2）由（1）得直线的方程为．‎ 由，可得．‎ 于是，，，‎ ‎．‎ 设，分别为点，到直线的距离，则，．‎ 因此，四边形的面积．‎ 设为线段的中点，则．‎ 由于，而，与向量平行，所以．解得或．‎ 当时，；当时，．‎ 综上，四边形的面积为3或．‎ ‎16．（2019•北京）已知椭圆的右焦点为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，直线与椭圆交于两个不同点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点．若，求证：直线经过定点．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）椭圆的右焦点为，且经过点．‎ 可得，，‎ 则椭圆方程为；‎ ‎（Ⅱ）证明：与椭圆方程联立，可得，‎ 设，，，，‎ ‎△，，，‎ 的方程为，令，可得，即，；‎ 的方程为，令，可得．即，．‎ ‎，‎ ‎，即为，‎ 即有，由，解得，满足△，‎ 即有直线方程为，恒过原点．‎ ‎17．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．‎ ‎（1）若，求的方程；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）设直线的方程为，将其代入抛物线得：，‎ 设，，，，‎ 则，①，②，‎ 由抛物线的定义可得：，解得，‎ 直线的方程为．‎ ‎（2）若，则，，化简得，③‎ 由①②③解得，，，‎ ‎．‎ ‎18．（2019•上海）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）证明：存在常数，使得；‎ ‎（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）抛物线方程的焦点，，‎ ‎，的方程为，代入抛物线的方程，解得，‎ 抛物线的准线方程为，可得，‎ ‎，；‎ ‎（2）证明：当时，，‎ 设，，，则，‎ 联立和，可得，，‎ ‎，‎ 则存在常数，使得；‎ 另解：，‎ 可得．‎ ‎（3）设，，，则 ‎，‎ 由，‎ ‎，‎ 则．‎ ‎19．（2018•天津）设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点．若为原点），求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，‎ 由椭圆的离心率为，‎ ‎；‎ 又，‎ ‎，‎ 由，，且；‎ 可得，‎ 从而解得，，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标为，，点的坐标为，，由已知；‎ ‎；‎ 又，且，‎ ‎，‎ 由，可得；‎ 由方程组，消去，可得，‎ 由（Ⅰ）知直线的方程为；‎ 由方程组，消去，可得；‎ 由，可得，‎ 两边平方，整理得，‎ 解得或；‎ 的值为或．‎ ‎20．（2017•北京）已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线、交于点，，其中为原点．‎ ‎（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：为线段的中点．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）过点，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ 焦点坐标为，，准线为，‎ ‎（2）证明：设过点的直线方程为 ‎，，，，，‎ 直线为，直线为：，‎ 由题意知，，，，‎ 由，可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 为线段的中点．‎ ‎21．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，曲线与轴交于、两点，点的坐标为，当变化时，解答下列问题：‎ ‎（1）能否出现的情况？说明理由；‎ ‎（2）证明过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）曲线与轴交于、两点，‎ 可设，，，，‎ 由韦达定理可得，‎ 若，则，‎ 即有，‎ 即为这与矛盾，‎ 故不出现的情况；‎ ‎（2）证明：设过、、三点的圆的方程为，‎ 由题意可得时，与等价，‎ 可得，，‎ 圆的方程即为，‎ 由圆过，可得，可得，‎ 则圆的方程即为，‎ 另解：设过、、三点的圆在轴上的交点为，‎ 则由相交弦定理可得，‎ 即有，‎ 再令，可得，‎ 解得或．‎ 即有圆与轴的交点为，，‎ 则过、、三点的圆在轴上截得的弦长为定值3．‎ ‎22．（2017•浙江）如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．‎ ‎（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可知，，‎ 所以，‎ 故直线斜率的取值范围是：；‎ ‎（Ⅱ）由知，，‎ 所以，，‎ 设直线的斜率为，则，即，‎ 则，，‎ 联立直线、方程可知，，‎ 故，，‎ 又因为，‎ 故，‎ 所以，‎ 令，，‎ 则，‎ 由于当时，当时，‎ 故，即的最大值为．‎ 强化训练 ‎1．（2020•汉阳区校级模拟）设抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上第一象限上的点，为上一点，满足，则直线的斜率为　　‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出图形，过点作直线，垂足为，由抛物线的定义可知，，设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设直线的倾斜角为，则，‎ 直线的斜率为．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•滨州三模）已知抛物线与圆相交于，两点，点为劣弧上不同，的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围为　　‎ A． B． C． D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，可得圆心也是抛物线的焦点，‎ 过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得 故的周长，‎ 由可得，，‎ 点到准线的距离为，‎ 的取值范围为 的周长的取值范围为 故选．‎ ‎3．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与抛物线在第一象限内的交点为，若，则抛物线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点为，，过点且垂直于轴的直线与抛物线在第一象限内的交点为，‎ 因为，所以，‎ 解得．‎ 抛物线的方程为．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•杨浦区校级模拟）已知为抛物线的焦点，，、，是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，若，，三点共线，‎ 设直线的方程为：，‎ 代入可得：，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，‎ 设关于轴的对称点为，，显然，，满足条件，且，‎ 但此时，，三点不共线，故，错误；‎ 若，则，解得或，故错误，‎ 故选．‎ ‎5．（2020•庐阳区校级模拟）已知为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设点的坐标为，，圆的圆心坐标，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是圆上任意一点，‎ 的最小值为，‎ 故选．‎ ‎6．（2020•宝鸡三模）已知抛物线，是直线上的动点，过点向曲线引切线，切点分别为，，则的重心　　‎ A．恒在轴上方 B．恒在轴上 C．恒在轴下方 D．位置不确定 ‎【答案】A ‎【解析】在直线上，设，，‎ ‎，在上，设，‎ ‎，，‎ 点的切线方程为，‎ 点在上，，即，‎ 同理，点的切线方程有，‎ ‎，是方程的两根，‎ ‎，‎ 的重心恒在轴上方．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•宝鸡三模）已知，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上任意一点，是线段的中点，则以为直径的圆与圆的位置关系是　　‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】在双曲线右支上，，‎ 是线段的中点，，‎ 是线段的中点，，‎ ‎，‎ 即圆心距等于两圆的半径之差，‎ 以线段为直径的圆与圆的位置关系是相内切．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•泸州四模）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上，在中，，则的值是　　‎ A． B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】过轴上方）作准线的垂线，垂足为，‎ 则由抛物线的定义可得，由，‎ 则中由正弦定理可知：则，‎ ‎，‎ 设的倾斜角为，则，‎ ‎，四边形是正方形，‎ 所以：．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•和平区校级一模）已知双曲线的右焦点到其中一条新近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，‎ 右焦点，到其一条渐近线的距离等于，‎ 可得，‎ 解得，‎ 即有，‎ 由题意可得，解得，‎ 即有抛物线的方程为，‎ 如图，过点作于点，‎ 作准线于点，‎ 连接，根据抛物线的定义得，‎ 设到的距离为，到直线的距离为，‎ ‎，‎ 根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．‎ 到直线的距离为．‎ 的最小值是2，‎ 由此可得所求距离和的最小值为2．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•梅河口市校级模拟）已知第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点的坐标为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线的方程可得准线方程为，设的横坐标为，‎ 第四象限内抛物线上的一点到轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，‎ 则，所以，‎ 所以，所以．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•雨花区校级模拟）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为　　‎ A．6 B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】拋物线的焦点为，‎ 圆的圆心为，半径，‎ 到圆上点的距离的最大值为．‎ 故选．‎ ‎12．（2020•鼓楼区校级模拟）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，直线与抛物线的准线交于点，于，若△的面积等于，则　　‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点，，准线方程为，‎ 设，由，可得，，‎ 过作于，可得，‎ 又，‎ 在△中，，‎ 即为，可得，‎ 在中，，即为，‎ 解得，‎ 又△的面积等于，可得，解得，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•眉山模拟）点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），过、分别作抛物线的准线的垂线段，垂足分别为、，若，，则直线的斜率为　　‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线方程，可得直线方程为，，，‎ 设，，，，则，，，‎ ‎，得，①‎ ‎，得，②‎ 又直线过焦点，，③‎ 联立①②③得，，解得．‎ 设抛物线准线交轴于，则．‎ 在中，可得，‎ 由抛物线的性质，可得，则，‎ ‎，则，‎ ‎，则．‎ 直线的斜率为．‎ 故选．‎ ‎14．（2020•碑林区校级模拟）已知抛物线，为抛物线的焦点，为坐标原点，，，，为抛物线上的两点，的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为，则　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的焦点，，准线方程为，‎ 因为的中点到抛物线准线的距离为5，所以，①‎ 又因为的重心为，所以，②‎ 联立①②可得，‎ 解得，‎ 故选．‎ ‎15．（2020•运城模拟）圆与抛物线交于，三点，若的面积为，则抛物线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将代入，得，则或，‎ 将代入，得，‎ 所以，，，，‎ 由的面积为，得，‎ 所以，所以抛物线的方程为．‎ 故选．‎ ‎16．（2020•靖远县四模）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，且，则抛物线的方程是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，解得，‎ 则抛物线的方程是．‎ 故选．‎ ‎17．（2020•新乡三模）若抛物线的准线与抛物线相切，则　　‎ A．8 B． C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的准线为，抛物线的顶点坐标，‎ 抛物线的准线与抛物线相切，‎ 可得：，解得．‎ 故选．‎ ‎18．（2020•河南模拟）顶点在坐标原点，准线为的抛物线的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】顶点在坐标原点，准线为的抛物线的方程为．‎ 故选．‎ ‎19．（2020•黄州区校级二模）若点为抛物线上一点，是抛物线的焦点，，点为直线上的动点，则的最小值为　　‎ A．8 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知，，，由抛物线的定义可知，，‎ ‎，代入抛物线方程，得，不妨取点为，‎ 设点关于的对称点为，则，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎20．（2020•金安区校级模拟）已知抛物线的焦点为，是第一象限上一点，以为圆心的圆过点且与直线相切，若圆的面积为，则圆的方程为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由圆的面积为，得，可得圆的半径，‎ 以为圆心的圆过点且与直线相切，‎ 可得，，即，‎ 由抛物线的定义可得，解得，‎ 则抛物线的方程为，，‎ 可得的坐标为，‎ 则圆的方程为，‎ 故选．‎ ‎21．（2020•吉林模拟）已知抛物线恰好经过等腰梯形的四个顶点，，的延长线与抛物线的准线的交点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）证明：经过抛物线的焦点．‎ ‎【解析】（1）根据题意，为抛物线的准线与对称轴的交点，‎ ‎，则，‎ 抛物线的方程为；‎ ‎（2）证明：设，，，，，，‎ 设直线的方程为，‎ 联立方程组，得，‎ 且，．‎ 设与轴的交点坐标为，，直线的方程为，‎ 与方程联立，得．‎ 解得，，即．‎ 故经过抛物线的焦点．‎ ‎22．（2020•道里区校级模拟）已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设，，为抛物线上的不同三点，点，且．求证：直线过定点．‎ ‎【解析】（1）依题意椭圆的一个焦点，‎ 抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．‎ 可得，所以，所以，‎ ‎（2）设，，，，‎ 设直线的方程为，与抛物线联立得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由得，，．‎ 化简得，‎ 解得或（舍，‎ 所以直线过定点．‎ ‎23．（2020•让胡路区校级三模）已知抛物线，过点的直线交于，两点，过点，分别作的切线，两切线相交于点．‎ ‎（1）记直线，的斜率分别为，，证明，为定值；‎ ‎（2）记的面积为，求的最小值．‎ ‎【解析】（1）因为，两点在曲线上，故设，的坐标分别为，．‎ 因为，所以，则，．‎ 设直线的斜率为，则其方程为，由得，△，，，‎ 所以，所以为定值．‎ ‎（2）设点坐标为，‎ 由（1）知切线的方程为①‎ 切线的方程为②，‎ ‎①②得；‎ ‎①②得．‎ 由（1）知，，所以点坐标为，‎ 所以．‎ 因为点到直线的距离．‎ 所以．‎ 因为，所以当时，的最小值为．‎ ‎24．（2020•河南模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为．为抛物线 的焦点，点为直线上任意一点，以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线交于，两点，过，分别作准线的垂线交抛物线于点，．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）证明：直线过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【解析】（1）由题意可得，解得，则抛物线的方程为；‎ ‎（2）证明：由抛物线的方程为得，设，则，，‎ 于是圆的方程为，‎ 令，可得，①‎ 设，，，，由①可得，②，‎ 注意到，‎ 则直线的方程为，‎ 即为，代入②有，即，‎ 因为上式对恒成立，‎ 故，即，‎ 即直线恒过定点，．‎ ‎25．（2020•临汾模拟）已知抛物线，与圆有且只有两个公共点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）经过的动直线与抛物线交于，两点，试问在直线上是否存在定点，使得直线，的斜率之和为直线斜率的2倍？若存在，求出定点；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）联立方程，得，‎ 抛物线与圆有且只有两个公共点，‎ 则△，解得或（舍去）．‎ 抛物线的方程为；‎ ‎（2）假设直线上存在定点，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ 由题知，即恒成立．‎ 当直线的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，，，，，‎ 联立，得，‎ 则，，‎ 由题知，‎ ‎．‎ 整理得：．‎ 上式对任意成立，，解得．‎ 故所求定点为．‎ ‎26．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线，直线经过点，且与相交于，两点，为坐标原点．‎ ‎（1）判断的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若，且的面积为5，求的方程．‎ ‎【解析】设直线的方程为；，代入，‎ 化简得：，△，设，，，，‎ 则，，‎ ‎（1）因为，所以．‎ 故是直角三角形，斜边为．‎ ‎（2）由（1）可得为的斜边，所以，‎ 因为，①‎ 的面积，②‎ 由①②可得：，．‎ 故直线的方程为：或．‎