2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第六章6-3等比数列及其前n项和 18页

‎1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).‎ ‎2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.‎ ‎3.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.‎ ‎4.等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.‎ ‎(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列.‎ ‎5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎6.等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎【知识拓展】‎ 等比数列{an}的单调性 ‎(1)满足或时，{an}是递增数列.‎ ‎(2)满足或时，{an}是递减数列.‎ ‎(3)当时，{an}为常数列.‎ ‎(4)当q<0时，{an}为摆动数列.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(　×　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)‎ ‎(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(　×　)‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.(　×　)‎ ‎1.(教材改编)等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.‎ 答案　 解析　a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝，‎ ‎∴q3＝，∴q＝.‎ ‎2.(教材改编)下列关于“等比中项”的说法中，正确的是________(填序号).‎ ‎①任何两个实数都有等比中项；‎ ‎②两个正数的等比中项必是正数；‎ ‎③两个负数的等比中项不存在；‎ ‎④同号两数必存在互为相反数的两个等比中项.‎ 答案　④‎ 解析　①一正数、一负数没有等比中项；‎ ‎②两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负；‎ ‎③两个负数a，b的等比中项为±；‎ 所以①、②、③错误，易知④正确.‎ ‎3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.‎ 答案　63‎ 解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.‎ ‎4.(教材改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.‎ 答案　3‎ 解析　由S6＝4S3，‎ 所以＝4，‎ 所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)，‎ 所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.‎ ‎5.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.‎ 答案　－11‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.‎ ‎∴q3＋8＝0，∴q＝－2，‎ ‎∴＝· ‎＝＝＝－11.‎ 题型一　等比数列基本量的运算 例1　(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝________.‎ ‎(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.‎ 答案　(1)　(2)2n－1‎ 解析　(1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a，‎ 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，‎ 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，‎ 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，‎ 所以a2＝a1q＝.‎ ‎(2)∵∴ 由①除以②可得＝2，‎ 解得q＝，代入①得a1＝2，‎ ‎∴an＝2×()n－1＝，‎ ‎∴Sn＝＝4(1－)，‎ ‎∴＝＝2n－1.‎ 思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.‎ ‎　(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝________.‎ ‎(2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.‎ 答案　(1)　(2)3n－1‎ 解析　(1)显然公比q≠1，由题意得 解得或(舍去)，‎ ‎∴S5＝＝＝.‎ ‎(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，‎ 可得a3＝3a2，所以公比q＝3，‎ 故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.‎ 题型二　等比数列的判定与证明 例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，‎ 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.‎ ‎∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.‎ 又 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，‎ ‎∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).‎ ‎∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，‎ 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.‎ ‎(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，‎ ‎∴－＝，‎ 故{}是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎∴＝＋(n－1)·＝，‎ 故an＝(3n－1)·2n－2.‎ 引申探究 若将例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式.‎ 解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.‎ ‎∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，‎ ‎∴an＋1＝2an＋1，‎ ‎∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，(*)‎ 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，‎ 即a2＋1＝2(a1＋1)，‎ ‎∴当n＝1时(*)式也成立，‎ 故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.‎ 思维升华　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证.‎ ‎　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<.‎ 证明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋).‎ 又a1＋＝，‎ 所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列.‎ 所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ‎＝(1－)<，‎ 所以＋＋…＋<.‎ 题型三　等比数列性质的应用 例3　(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.‎ 答案　(1)50　(2) 解析　(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，‎ 所以a10a11＝e5.‎ 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20‎ ‎＝ln(a1a2…a20)‎ ‎＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]‎ ‎＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)‎ ‎＝10ln e5＝50ln e＝50.‎ ‎(2)方法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.‎ 由÷＝，得q3＝－，‎ ‎∴＝＝.‎ 方法二　∵{an}是等比数列，且＝，∴公比q≠－1，‎ ‎∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，‎ 将S6＝S3代入得＝.‎ 思维升华　等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：‎ ‎(1)通项公式的变形.‎ ‎(2)等比中项的变形.‎ ‎(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.‎ ‎　(1)已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lg an}的前4项和等于________.‎ ‎(2)(2016·南通一调) 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6的值为________.‎ 答案　(1)2　(2)63‎ 解析　(1)前4项和S4＝lg a1＋lg a2＋lg a3＋lg a4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比数列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，‎ ‎∴S4＝lg 100＝2.‎ ‎(2)方法一　由等比数列的性质得，q2＝＝4，所以q＝±2.‎ 由S2＝3，解得或 所以S6＝＝＝63或S6＝＝＝63.‎ 方法二　由S2，S4－S2，S6－S4成等比数列可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝63.‎ ‎13.分类讨论思想在等比数列中的应用 典例　(14分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：Sn＋≤(n∈N*).‎ 思想方法指导　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式.‎ ‎(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明.‎ 规范解答 ‎(1)解　设等比数列{an}的公比为q，‎ 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，‎ 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，‎ 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. [2分]‎ 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为 an＝×n－1＝(－1)n－1·. [4分]‎ ‎(2)证明　由(1)知，Sn＝1－n，‎ Sn＋＝1－n＋ ‎＝ [8分]‎ 当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S1＋＝. [10分]‎ 当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，‎ 所以Sn＋≤S2＋＝. [12分]‎ 故对于n∈N*，有Sn＋≤. [14分]‎ ‎1.(教材改编){an}，{bn}都是等比数列，那么下列正确的序号是________.‎ ‎①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列；‎ ‎②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列；‎ ‎③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列；‎ ‎④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列.‎ 答案　③‎ 解析　{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1，因为an＋bn＝0，所以{an＋bn ‎}不是等比数列.设{an}，{bn}的公比分别为p，q，因为＝·＝pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列.‎ ‎2.(2016·江苏东海中学月考)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为________.‎ 答案　 解析　∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，‎ 解得∵a1a9＝a2a8＝a，‎ ‎∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3a1a2a8a9‎ ‎3.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.‎ 答案　14‎ 解析　设数列{an}的公比为q，‎ 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，‎ 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，‎ 因此q3n－6＝81＝34＝q36，‎ 所以n＝14.‎ ‎*4.(2015·福建改编)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________.‎ 答案　9‎ 解析　由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b ‎，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a.‎ ‎∴或解得或 ‎∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.‎ ‎5.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则(a5＋a7＋a9)的值是________.‎ 答案　－5‎ 解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，‎ 得log3an＋1－log3an＝1，即log3＝1，‎ 解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列.‎ 因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，‎ 所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.‎ 所以 ‎6.(2017·盐城检测)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为________.‎ 答案　 解析　因为a3a4a5＝3π＝a，所以 log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)‎ 所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.‎ ‎7.设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝________.‎ 答案　4‎ 解析　因为 由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，‎ 则q＝＝4.‎ ‎8.(2016·南京调研)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝________.‎ 答案　19‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1S4，从而(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得2a1d－d2＝0，因为d≠0，所以d＝2a1，又因为S3＝a，所以3a1＋3d＝(a1＋d)2，将d＝2a1代入上式得3a1＋6a1＝(a1＋2a1)2，即9a1＝9a，解之得a1＝1(a1＝0舍)，从而d＝2，所以a10＝1＋9×2＝19.‎ ‎*9.已知正项等比数列{an}满足a2 015＝2a2 013＋a2 014，若存在两项am，an，使得＝4a1，则的最小值为________.‎ 答案　 解析　设{an}的公比为q(q>0)，由正项等比数列{an}满足a2 015＝2a2 013＋a2 014，‎ 可得a2 013·q2＝2a2 013＋a2 013·q，‎ ‎∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2.‎ ‎∵＝4a1，∴qm＋n－2＝16，∴m＋n＝6.‎ ‎∴＝(m＋n)＝≥，‎ 当且仅当＝，即m＝2，n＝4时取等号.‎ 故的最小值为.‎ ‎10.(2016·苏锡常镇一调)设数列{an}是首项为1，公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则数列{an}的公差为________.‎ 答案　2‎ 解析　设公差为d，其中d≠0，则S1，S2，S4分别为1,2＋d,4＋6d.由S1，S2，S4成等比数列，得(2＋d)2＝4＋6d，即d2＝2d.因为d≠0，所以d＝2.‎ ‎*11.(2016·苏北四市期末)已知各项均为正数的数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*).‎ ‎(1)若a1，a2，a3成等比数列，求实数λ的值；‎ ‎(2)若λ＝，求Sn.‎ 解　(1) 令n＝1，得a2＝.‎ 令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，‎ 所以a3＝.‎ 由a＝a1a3，‎ 得()2＝，‎ 因为λ≠0，所以λ＝1. ‎ ‎(2)当λ＝时，‎ anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，‎ 所以－＋－＝，‎ 即－＝，‎ 所以数列{}是以2为首项，为公差的等差数列，‎ 所以＝2＋(n－1)·，‎ 即Sn＋1＝(＋)an， ①‎ 当n≥2时，Sn－1＋1＝(＋1)an－1， ②‎ ‎①－②得，an＝an－an－1，‎ 即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，‎ 所以{}是常数列，且为，所以an＝(n＋2).‎ 代入①得Sn＝(＋)an－1＝.‎ ‎12.已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ 解　(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.‎ 故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)‎ ‎＝＝＝n2.‎ ‎(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.‎ 因为q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，‎ 所以(q－4)2＝0，从而q＝4.‎ 又因为b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，‎ 所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.‎ 从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1).‎ ‎13.(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ 解　(1)由题意，得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得 ‎2an＋1(an＋1)＝an(an＋1).‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 因此an＝.‎ ‎14.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.‎ ‎(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；‎ ‎(2)求T2n.‎ 解　(1)∵an·an＋1＝n，‎ ‎∴an＋1·an＋2＝n＋1，‎ ‎∴＝，即an＋2＝an.‎ ‎∵bn＝a2n＋a2n－1，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∵a1＝1，a1·a2＝，‎ ‎∴a2＝⇒b1＝a1＋a2＝.‎ ‎∴{bn}是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎∴bn＝×n－1＝.‎ ‎(2)由(1)可知，an＋2＝an，‎ ‎∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝＋ ‎＝3－.‎