高考二轮复习数学学案11解三角形 13页

解三角形 ‎【学法导航】高考资源网 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 ‎1.三角形中的边角关系 三角形内角和等于180°；高考资源网 三角形中任意两边之和大小第三边，任意两边之差小于第三边；‎ 三角形中大边对大角，小边对小角；‎ 正弦定理中,a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC，其中R是△ABC外接圆半径.‎ 在余弦定理中:2bccosA=.高考资源网 三角形的面积公式有:S=ah,S=absinC,S=其中，h是BC边上高，P是半周长.‎ ‎2.利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.‎ 已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.‎ 已知三边，求三个角，常选用余弦定理. 高考资源网 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.‎ 已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.‎ ‎3.利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边.‎ ‎4.解斜三角形在实际中的运用高考资源网 ‎5．三角形的面积公式：‎ ‎（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；‎ ‎（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；‎ ‎（3）△＝＝＝；‎ ‎（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）高考资源网 ‎（5）△＝；‎ ‎（6）△＝；；‎ ‎（7）△＝r·s。高考资源网 ‎6.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。‎ ‎（1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；高考资源网 ‎（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。‎ r为三角形内切圆半径，p为周长之半高考资源网 ‎（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=‎ ‎60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列 ‎【专题综合】‎ 1. 正弦定理与余弦定理高考资源网 例1．已知ABC中，A，,求 分析：可通过设一参数k(k>0)使,‎ 证明出 解：设 则有，，‎ 从而==高考资源网 又，所以=2‎ 小结： ABC中，等式恒成立。‎ ‎[补充练习]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）‎ ‎（归纳总结）：‎ ‎（1）定理的表示形式：；‎ 或，，高考资源网 ‎（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；‎ ‎②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 例2．在ABC中，已知，，，求b及A 解：∵高考资源网 ‎=cos ‎== 8 ∴‎ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：高考资源网 解法一：∵cos ∴‎ 解法二：∵sin又∵＞‎ ‎＜∴＜， 即＜＜ ∴‎ 评述：解法二应注意确定A的取值范围。高考资源网 例3．在ABC中，已知，，，解三角形 解：由余弦定理的推论得：‎ cos ；‎ cos ；‎ 高考资源网 小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；‎ ‎（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。‎ ‎2. 三角形中的几何计算 例4.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.‎ ‎(1)求角A的度数；高考资源网 ‎(2)若a=，b+c=3，求b和c的值. 高考资源网 解析：‎ 小结：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 高考资源网 例5.在△ABC中,已知=a,b=,B=45°,求A、C及c.‎ 分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC是否有解，有几解，亦可用余弦定理求解.‎ 解： ∵B=45°<90°,且b