2020版高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 专题对点练7 导数与不等式及参数范围 文 4页

专题对点练7　导数与不等式及参数范围 ‎1.已知函数f(x)= x2+(1-a)x-aln x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)设a<0,若对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.‎ ‎2.设函数f(x)=(1-x2)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.‎ ‎3.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(‎3a+1)x+‎3a+2]ex.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;‎ ‎(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.‎ ‎4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(‎2a+1)x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.‎ 4‎ 专题对点练7答案 ‎1.解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x+1-a-,‎ 若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;‎ 若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0a时,f'(x)>0,‎ 此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.‎ ‎(2)不妨设x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),‎ ‎|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),‎ 令g(x)=4x-f(x),则g(x)在(0,+∞)内单调递减,‎ ‎∵g'(x)=4-f'(x)=4--x+3+a,‎ ‎∴g'(x)= -x+3+a≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立,‎ ‎∴a≤对∀x∈(0,+∞)恒成立,‎ ‎∴a≤.‎ 又=x+1+-5‎ ‎≥2-5=-1,‎ 当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.‎ ‎∴a≤-1,‎ 故a的取值范围为(-∞,-1].‎ ‎2.解 (1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.‎ 令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.‎ 当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;‎ 当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;‎ 当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.‎ 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.‎ ‎(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.‎ 当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),‎ 因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,‎ 而h(0)=1,故h(x)≤1,‎ 所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.‎ 当00(x>0),‎ 所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,‎ 而g(0)=0,‎ 故ex≥x+1.‎ 当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,‎ 故f(x0)>ax0+1.‎ 当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.‎ 综上,a的取值范围是[1,+∞).‎ ‎3.解 (1)因为f(x)=[ax2-(‎3a+1)x+‎3a+2]ex,‎ 所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.‎ 所以f'(2)=(‎2a-1)e2.‎ 由题设知f'(2)=0,即 (‎2a-1)e2=0,解得a=.‎ ‎(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.‎ 4‎ 若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;‎ 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.‎ 所以f(x)在x=1处取得极小值.‎ 若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.‎ 所以1不是f(x)的极小值点.‎ 综上可知,a的取值范围是(1,+∞).‎ ‎(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.‎ 当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.‎ f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.‎ 当a>0时,令f'(x)=0,‎ 得x1=,x2=1.‎ ‎①当x1=x2,即a=1时,‎ f'(x)=(x-1)2ex≥0,‎ ‎∴f(x)在R上单调递增,‎ ‎∴f(x)无极值,不合题意.‎ ‎②当x1>x2,即01时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.‎ 当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.‎ f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ x ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.‎ 综上所述,a的取值范围为(1,+∞).‎ ‎4.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+‎2a+1=.‎ 若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.‎ 若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;‎ 当x∈时,f'(x) <0.‎ 4‎ 故f(x)在单调递增,在单调递减.‎ ‎(2)证明 由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.‎ 所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,‎ 即ln+1≤0.‎ 设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= -1.‎ 当x∈(0,1)时,g'(x)>0;‎ 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.‎ 所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.‎ 故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.‎ 所以当x>0时,g(x)≤0.‎ 从而当a<0时,ln+1≤0,‎ 即f(x)≤--2.‎ 4‎