（新课标）天津市2020年高考数学二轮复习 题型练5 大题专项（三）统计与概率问题 理 9页

题型练5　大题专项(三)统计与概率问题 ‎1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ ‎2.(2018北京,理17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 9‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ 假设所有电影是否获得好评相互独立.‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;‎ ‎(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=‎1”‎表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=‎0”‎表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.‎ ‎3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:‎ 一年内出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 概率 ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;‎ ‎(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.‎ 9‎ ‎4.(2018天津,理16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?‎ ‎(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.‎ ‎①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;‎ ‎②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.‎ ‎5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;‎ ‎(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?‎ ‎(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ 9‎ ‎6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).‎ ‎(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过‎505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;‎ ‎(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过‎505 g的概率.‎ 9‎ 题型练5　大题专项(三)‎ 统计与概率问题 ‎1.解 (1)由已知,有P(A)=‎ 所以,事件A发生的概率为 ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X=k)=(k=1,2,3,4).‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+4‎ ‎2.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,‎ 第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).‎ P(A)==0.025.‎ ‎(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.‎ ‎(3)由题意可知,定义随机变量如下:‎ ξk=‎ 则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:‎ 第一类电影:‎ ξ1‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎0.4‎ ‎0.6‎ 9‎ D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;‎ 第二类电影:‎ ξ2‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;‎ 第三类电影:‎ ξ3‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎0.15‎ ‎0.85‎ D(ξ3)=0.15×0.85=0.127 5;‎ 第四类电影:‎ ξ4‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎0.25‎ ‎0.75‎ D(ξ4)=0.25×0.75=0.187 5;‎ 第五类电影:‎ ξ5‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎0.2‎ ‎0.8‎ D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;‎ 第六类电影:‎ ξ6‎ ‎1‎ ‎0‎ P ‎0.1‎ ‎0.9‎ 9‎ D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.‎ 综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).‎ ‎3.解 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.‎ ‎(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.‎ 又P(AB)=P(B),‎ 故P(B|A)=‎ 因此所求概率为 ‎(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为 X ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a P ‎0.30‎ ‎0.15‎ ‎0.20‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ E(X)=‎0.85a×0.30+a×0.15+‎1.25a×0.20+‎1.5a×0.20+‎1.75a×0.10+‎2a×0.05=‎1.23a.‎ 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.‎ ‎4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X=k)=(k=0,1,2,3).‎ 所以,随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3‎ ‎②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由①‎ 9‎ 知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为 ‎5.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.‎ 根据题意,‎ P(X=10)=;‎ P(X=20)=;‎ P(X=100)=;‎ P(X=-200)=‎ 所以X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎-200‎ P ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=‎ 所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 ‎1-P(A‎1A2A3)=1-=1-‎ 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 ‎(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-‎ 这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.‎ ‎6.解 (1)根据频率分布直方图可知,质量超过‎505 g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.‎ 由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X=0)=;‎ P(X=1)=;‎ 9‎ P(X=2)=‎ 则随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(2)由题意得该流水线上产品的质量超过‎505 g的概率为=0.3.‎ 设Y为该流水线上任取5件产品质量超过‎505 g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.308 7.‎ 9‎