全国统一高考数学试卷文科新课标1 21页

‎2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2015•新课标I）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎2．（5分）（2015•新课标I）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）‎ A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）‎ ‎3．（5分）（2015•新课标I）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i ‎4．（5分）（2015•新课标I）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）（2015•新课标I）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎6．（5分）（2015•河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎7．（5分）（2015•新课标I）已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ A． B． C．10 D．12‎ ‎8．（5分）（2015•河北）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）‎ A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z ‎9．（5分）（2015•河北）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．12‎ ‎10．（5分）（2015•新课标I）已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎11．（5分）（2015•河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎12．（5分）（2015•新课标I）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．4‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）（2015•新课标I）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　　　　　　．‎ ‎14．（5分）（2015•新课标I）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=　　　　　　．‎ ‎15．（5分）（2015•新课标I）若x，y满足约束条件，则z=3x+3y的最大值为　　　　　　．‎ ‎16．（5分）（2015•新课标I）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．‎ ‎（Ⅰ）若a=b，求cosB；‎ ‎（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）（2015•新课标I）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ ‎19．（12分）（2015•河北）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（wi﹣）2‎ ‎（xi﹣）（yi﹣）‎ ‎（wi﹣）（yi﹣）‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=1，=‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．‎ ‎20．（12分）（2015•新课标I）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．‎ ‎21．（12分）（2015•新课标I）设函数f（x）=e2x﹣alnx．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）（2015•河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．‎ ‎　‎ 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎　‎ 六、【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．（2015•河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2015•新课标I）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】根据集合的基本运算进行求解．‎ ‎【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，‎ 则A∩B={8，14}，‎ 故集合A∩B中元素的个数为2个，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2015•新课标I）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）‎ A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）‎ ‎【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之．‎ ‎【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），‎ 则向量==（﹣7，﹣4）；‎ 故答案为：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2015•新课标I）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i ‎【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．‎ ‎【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，‎ ‎∴z=2﹣i．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2015•新课标I）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，‎ 其中只有（3，4，5）为勾股数，‎ 故这3个数构成一组勾股数的概率为．‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．（5分）（2015•新课标I）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．‎ ‎【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，‎ 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，‎ 抛物线的准线方程为：x=﹣2，‎ 由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．‎ ‎|AB|=6．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2015•河北）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，‎ 解得r=，‎ 故米堆的体积为××π×（）2×5≈，‎ ‎∵1斛米的体积约为1.62立方，‎ ‎∴÷1.62≈22，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015•新课标I）已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ A． B． C．10 D．12‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，‎ ‎∴=4×（4a1+），‎ 解得a1=．‎ 则a10==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2015•河北）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）‎ A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z ‎【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．‎ 再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．‎ 由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2015•河北）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．12‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；‎ 故输出的n值为7，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．（5分）（2015•新课标I）已知函数f（x）=，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．‎ ‎【解答】解：由题意，α≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；‎ α＞1时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，‎ ‎∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015•河北）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．‎ ‎【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，‎ 截圆柱的平面过圆柱的轴线，‎ 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，‎ ‎∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，‎ 又∵该几何体的表面积为16+20π，‎ ‎∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•新课标I）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．2 D．4‎ ‎【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，‎ y=log2x﹣a（x＞0），‎ 即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．‎ ‎∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，‎ ‎∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，‎ ‎∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，‎ ‎∴﹣log22+a﹣log24+a=1，‎ 解得，a=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（5分）（2015•新课标I）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　6　．‎ ‎【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵an+1=2an，‎ ‎∴，‎ ‎∵a1=2，‎ ‎∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴Sn===2n+1﹣2=126，‎ ‎∴2n+1=128，‎ ‎∴n+1=7，‎ ‎∴n=6．‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2015•新课标I）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=　1　．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，‎ 切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），‎ 所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2015•新课标I）若x，y满足约束条件，则z=3x+3y的最大值为　6　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=3x+3y为，‎ 由图可知，当直线与线段BC所在直线重合时，直线在y轴上的截距最大，‎ 此时z有最大值为3×0+3×2=6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2015•新课标I）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　12　．‎ ‎【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积．‎ ‎【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2‎ ‎≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），‎ 直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，‎ ‎∴P的纵坐标为2，‎ ‎∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．‎ ‎（Ⅰ）若a=b，求cosB；‎ ‎（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．‎ ‎（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，‎ 由正弦定理可得：＞0，‎ 代入可得（bk）2=2ak•ck，‎ ‎∴b2=2ac，‎ ‎∵a=b，∴a=2c，‎ 由余弦定理可得：cosB===．‎ ‎（II）由（I）可得：b2=2ac，‎ ‎∵B=90°，且a=，‎ ‎∴a2+c2=2ac，解得a=c=．‎ ‎∴S△ABC==1．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•新课标I）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵BE⊥平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥BE，‎ 则AC⊥平面BED，‎ ‎∵AC⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面BED；‎ 解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，‎ ‎∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，‎ ‎∴BE=x，‎ ‎∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，‎ 解得x=2，即AB=2，‎ ‎∵∠ABC=120°，‎ ‎∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12，‎ 即AC=，‎ 在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，‎ ‎∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，‎ 则AE2+EC2=AC2=12，‎ 即2AE2=12，‎ ‎∴AE2=6，‎ 则AE=，‎ ‎∴从而得AE=EC=ED=，‎ ‎∴△EAC的面积S==3，‎ 在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，‎ 则AE=，AF==，‎ 则EF=，‎ ‎∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，‎ 故该三棱锥的侧面积为3+2．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•河北）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（wi﹣）2‎ ‎（xi﹣）（yi﹣）‎ ‎（wi﹣）（yi﹣）‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=1，=‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，‎ ‎（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；‎ ‎（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，‎ ‎（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；‎ ‎（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，‎ ‎=﹣=563﹣68×6.8=100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68，‎ ‎（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，‎ ‎（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，‎ 当==6.8时，即，x=46.24年利润的预报值最大．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•新课标I）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．‎ ‎【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．‎ ‎（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．‎ ‎【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，‎ 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．‎ 故由=1，解得：k1=，k2=．‎ 故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．‎ ‎（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），‎ 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，‎ 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1‎ ‎=•k2+k•+1=，‎ 由•=x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，‎ 故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．‎ 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．‎ 所以|MN|=2．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•新课标I）设函数f（x）=e2x﹣alnx．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a＞0时，根据零点存在定理，即可求出；‎ ‎（Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln，问题得以证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴f′（x）=2e2x﹣．‎ 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点，‎ 当a＞0时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣单调递增，‎ ‎∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，‎ 又f′（a）＞0，‎ 假设存在b满足0＜b＜时，且b＜，f′（b）＜0，‎ 故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，‎ 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，‎ 当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增，‎ 所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），‎ 由于﹣=0，‎ 所以f（x0）=+2ax0+aln≥2a+aln．‎ 故当a＞0时，f（x）≥2a+aln．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（10分）（2015•河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，‎ 在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，‎ 连接OE，则∠OBE=∠OEB，‎ 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，‎ ‎∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=x，‎ 由已知得AB=2，BE=，‎ 由射影定理可得AE2=CE•BE，‎ ‎∴x2=，即x4+x2﹣12=0，‎ 解方程可得x=‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎　‎ 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，‎ 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：‎ ‎（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，‎ 化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．‎ ‎（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入 圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，‎ 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，‎ 求得ρ1=2，ρ2=，‎ ‎∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，‎ ‎△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=． ρ ‎　‎ 六、【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．（2015•河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，‎ 即 ①，或 ②，‎ 或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．‎ 综上可得，原不等式的解集为（，2）．‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，‎ 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），‎ B（2a+1，0），‎ 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），‎ 由△ABC的面积大于6，‎ 可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．‎ 故要求的a的范围为（2，+∞）．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：maths；changq；sxs123；whgcn；qiss；沂蒙松；caoqz；翔宇老师；刘长柏；cst；吕静；lincy（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年5月19日