2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章5-2平面向量基本定理及坐标表示 16页

第 2 讲　平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标 表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向 量共线的条件． 知 识 梳 理 1．平面向量的基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，存在 唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x21＋y21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→ ＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→ |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　 精彩 PPT 展示 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　) (3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝ λ2，μ1＝μ2.(　　) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成x1 x2 ＝y1 y2.(　　) (5)在△ABC 中，设AB→ ＝a，BC→ ＝b，则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC.(　　) 解析　(1)共线向量不可以作为基底． (2)同一向量在不同基底下的表示不相同． (4)若 b＝(0,0)，则x1 x2 ＝y1 y2 无意义． (5)向量 a 与 b 的夹角为∠ABC 的补角． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．(2017·福建三明月考)已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则 2a＋b 等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析　2a＋b＝2(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选 D. 答案　D 3．(2015·全国Ⅰ卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→ ＝(－4，－3)，则向量BC→ ＝(　　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 解析　根据题意得AB→ ＝(3,1)，∴BC→ ＝AC→ －AB→ ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选 A. 答案　A 4．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. 解析　因为 a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得 m＝－6. 答案　－6 5．(必修 4P88 例 3 改编)已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析　设 D(x，y)，则由AB→ ＝DC→ ，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即Error!解得Error! 答案　(1,5) 考点一　平面向量基本定理及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例 1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则 EB→ ＋FC→ ＝(　　) A.AD→ B.1 2AD→ C.1 2BC→ D.BC→ (2) (2017·西安调研)如图，在△ABC 中， AN→ ＝1 3NC→ ，P 是 BN 上的一点，若AP→ ＝mAB→ ＋ 2 11 AC→ ，则实数 m 的值为________． 解析　(1)如图所示，EB→ ＋FC→ ＝(EC→ －BC→ )＋(FB→ ＋BC→ ) ＝EC→ ＋FB→ ＝1 2AC→ ＋1 2AB→ ＝1 2(AC→ ＋AB→ )＝AD→ . (2)设BP→ ＝kBN→ ，k∈R. 因为AP→ ＝AB→ ＋BP→ ＝AB→ ＋kBN→ ＝AB→ ＋k(AN→ －AB→ ) ＝AB→ ＋k(1 4AC→ －AB→ )＝(1－k)AB→ ＋k 4AC→ ， 且AP→ ＝mAB→ ＋ 2 11AC→ ， 所以 1－k＝m，k 4 ＝ 2 11 ，解得 k＝ 8 11 ，m＝ 3 11. 答案　(1)A　(2) 3 11 规律方法　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形 法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件 和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 【训练 1】 (1)如图，已知 AB→ ＝a， AC→ ＝b， BD→ ＝3DC→ ，用 a，b 表示 AD→ ，则AD→ ＝ ________. (2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O， E 为线段 AO 的中点．若BE→ ＝λBA→ ＋μBD→ (λ，μ∈R)，则 λ＋μ＝________. 解析　(1)AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋3 4BC→ ＝AB→ ＋3 4(AC→ －AB→ )＝1 4AB→ ＋3 4AC→ ＝1 4a＋3 4b. (2)由题意可得BE→ ＝1 2BA→ ＋1 2BO→ ＝1 2BA→ ＋1 4BD→ ，由平面向量基本定理可得 λ＝1 2 ，μ＝1 4 ，所 以 λ＋μ＝3 4. 答案　(1)1 4a＋3 4b　(2)3 4 考点二　平面向量的坐标运算 【例 2】 (1)已知向量 a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若 3a－2b＋c＝0，则 c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) (2)(2017·北京西城模拟)向量 a，b，c 在正方形网格中，如图所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈ R)，则λ μ ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　(1)3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故 x＝－23，y＝－12，故选 A. (2)以向量 a，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为 1)， A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，所以 a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋ μb，∴Error!解之得 λ＝－2 且 μ＝－1 2 ，因此，λ μ ＝－2 －1 2 ＝4，故选 D. 答案　(1)A　(2)D 规律方法　(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标， 解题过程中注意方程思想的应用． (2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现 了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题． 【训练 2】 (1)已知点 A(－1,5)和向量 a＝(2,3)，若AB→ ＝3a，则点 B 的坐标为(　　) A．(7,4) B．(7,14) C．(5,4) D．(5,14) (2)(2015·江苏卷)已知向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若 ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________． 解析　(1)设点 B 的坐标为(x，y)，则AB→ ＝(x＋1，y－5)． 由AB→ ＝3a，得Error!解得Error! (2)由向量 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得 ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则Error!解 得Error!故 m－n＝－3. 答案　(1)D　(2)－3 考点三　平面向量共线的坐标表示 【例 3】 (1)已知平面向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥b，则 2a＋3b＝________. (2)(教材改编)已知 A(2,3)，B(4，－3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且|AP|＝3 2|BP|，则 点 P 的坐标为________． 解析　(1)由 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且 a∥b， 得 1×m－2×(－2)＝0，即 m＝－4. 从而 b＝(－2，－4)， 那么 2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上， 则AP→ ＝3 2BP→ ，得(x－2，y－3)＝3 2(x－4，y＋3)， 即Error! 解得Error! 所以点 P 的坐标为(8，－15)． 答案　(1)(－4，－8)　(2)(8，－15) 规律方法　(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若 a＝(x 1，y1)，b＝(x 2，y2)， 则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0；②若 a∥b(b≠0)，则 a＝λb.(2)向量共线的坐标表 示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利 用坐标对应成比例来求解． 【训练 3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与AB→ 同方向的单位向 量是(　　) A.(3 5 ，－4 5) B.(4 5 ，－3 5) C.(－3 5 ，4 5) D.(－4 5 ，3 5) (2)若三点 A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数 a 的值为________． 解析　(1)AB→ ＝OB→ －OA→ ＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与AB→ 同方向的单位向量为 AB→ |AB→ | ＝(3 5 ，－4 5). (2)AB→ ＝(a－1,3)，AC→ ＝(－3,4)，根据题意AB→ ∥AC→ ， ∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即 4a＝－5，∴a＝－5 4. 答案　(1)A　(2)－5 4 [思想方法] 1．对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据， 也是向量的坐标表示的基础． (2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式． 2．向量共线的作用 向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表 示为 x1y2－x2y1＝0. [易错防范] 1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量 坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．. 2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向 量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题 1．(教材改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(1 2 ，－3 4) 解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. 答案　B 2．(2016·上饶质监)已知在▱ABCD 中，AD→ ＝(2,8)，AB→ ＝(－3,4)，则AC→ ＝(　　) A．(－1，－12) B．(－1,12) C．(1，－12) D．(1,12) 解析　因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以AC→ ＝AB→ ＋AD→ ＝(－1,12)，故选 B. 答案　B 3．已知向量 a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　) A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意得 a＋b＝(2,2＋m)，由 a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以 m＝－6， 则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选 A. 答案　A 4．如右图，向量 e1，e2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 a 可用基底 e1，e2 表示为(　　) A．e1＋e2 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　以 e1 的起点为坐标原点，e1 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，由题意可得 e1 ＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)， 因为 a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)，＝(x－y，y)，则Error! 解得Error!故 a＝－2e1＋e2. 答案　B 5．已知向量OA→ ＝(k,12)，OB→ ＝(4,5)，OC→ ＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值 是(　　) A．－2 3 B.4 3 C.1 2 D.1 3 解析　AB→ ＝OB→ －OA→ ＝(4－k，－7)，AC→ ＝OC→ －OA→ ＝(－2k，－2)，因为 A，B，C 三点 共线，所以AB→ ，AC→ 共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－2 3. 答案　A 6．(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD→ ＝2DB→ ，CD→ ＝rAB→ ＋ sAC→ ，则 r＋s 等于(　　) A.2 3 B.4 3 C．－3 D．0 解析　因为CD→ ＝2DB→ ，所以CD→ ＝2 3CB→ ＝2 3(AB→ －AC→ )＝2 3AB→ －2 3AC→ ，则 r＋s＝2 3 ＋(－2 3 )＝ 0，故选 D. 答案　D 7．在△ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP→ ＝2PC→ ，点 Q 是 AC 的中点，若PA→ ＝(4,3)，PQ→ ＝ (1,5)，则BC→ 等于(　　) A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21) 解析　AQ→ ＝PQ→ －PA→ ＝(－3,2)，∵Q 是 AC 的中点， ∴AC→ ＝2AQ→ ＝(－6,4)，PC→ ＝PA→ ＋AC→ ＝(－2,7)， ∵BP→ ＝2PC→ ，∴BC→ ＝3PC→ ＝(－6,21)． 答案　B 8．(2017·河南八市质检)已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC→ ＝ 2AE→ ，则向量EM→ ＝(　　) A.1 2AC→ ＋1 3AB→ B.1 2AC→ ＋1 6AB→ C.1 6AC→ ＋1 2AB→ D.1 6AC→ ＋3 2AB→ 解析　如图， ∵EC→ ＝2AE→ ， ∴EM→ ＝EC→ ＋CM→ ＝2 3AC→ ＋ 1 2CB→ ＝2 3AC→ ＋1 2(AB→ －AC→ )＝1 2AB→ ＋1 6AC→ . 答案　C 二、填空题 9．(2017·广州综测)已知向量 a＝(x,1)，b＝(2，y)，若 a＋b＝(1，－1)，则 x＋y＝ ________. 解析　因为(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以Error!解得Error!所以 x＋y＝－3. 答案　－3 10．若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1 a ＋1 b 的值为________． 解析　AB→ ＝(a－2，－2)，AC→ ＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即 ab－2a －2b＝0，所以1 a ＋1 b ＝1 2. 答案　1 2 11．已知向量 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且 u∥v，则实数 x 的值为 ________． 解析　因为 a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以 u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋ 1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为 u∥v，所以 3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即 10x＝ 5，解得 x＝1 2. 答案　1 2 12．在平行四边形 ABCD 中， AB→ ＝e 1 ，AC→ ＝e 2 ，NC→ ＝1 4AC→ ，BM→ ＝1 2MC→ ，则MN→ ＝ ________(用 e1，e2)表示． 解析　如图， MN→ ＝CN→ －CM→ ＝CN→ ＋2BM→ ＝CN→ ＋2 3BC→ ＝－1 4AC→ ＋2 3(AC→ －AB→ ) ＝－1 4e2＋2 3(e2－e1) ＝－2 3e1＋ 5 12e2. 答案　－2 3e1＋ 5 12e2 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13．(2017·合肥调研)如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ ，且 B P→ ＝2 P A→ ，则(　　) A．x＝2 3 ，y＝1 3 B．x＝1 3 ，y＝2 3 C．x＝1 4 ，y＝3 4 D．x＝3 4 ，y＝1 4 解析　由题意知 O P→ ＝O B→ ＋B P→ ，又 B P→ ＝2P A→ ，所以 O P→ ＝O B→ ＋2 3B A→ ＝O B→ ＋2 3(O A→ －O B→ )＝2 3O A→ ＋1 3O B→ ，所以 x＝2 3 ，y＝1 3. 答案　A 14．已知|OA→ |＝1，|OB→ |＝ 3，OA→ ·OB→ ＝0，点 C 在∠AOB 内，且OC→ 与OA→ 的夹角为 30°， 设OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ (m，n∈R)，则m n 的值为(　　) A．2 B.5 2 C．3 D．4 解析　∵OA→ ·OB→ ＝0，∴OA→ ⊥OB→ ， 以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系， OA→ ＝(1,0)，OB→ ＝(0， 3)，OC→ ＝mOA→ ＋nOB→ ＝(m， 3n)． ∵tan 30°＝ 3n m ＝ 3 3 ， ∴m＝3n，即m n ＝3，故选 C. 答案　C 15．已知点 A(－1,2)，B(2,8)，AC→ ＝1 3AB→ ，DA→ ＝－1 3BA→ ，则CD→ 的坐标为________． 解析　设点 C，D 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 由题意得AC→ ＝(x1＋1，y1－2)，AB→ ＝(3,6)， DA→ ＝(－1－x2,2－y2)，BA→ ＝(－3，－6)． 因为AC→ ＝1 3AB→ ，DA→ ＝－1 3BA→ ， 所以有Error!和Error! 解得Error!和Error! 所以点 C，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD→ ＝(－2，－4)． 答案　(－2，－4) 16．(2016·四川卷改编)已知正△ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP→ |＝1，PM→ ＝MC→ ，则|BM→ |2 的最大值是________． 解析　建立平面直角坐标系如图所示， 则 B(－ 3，0)，C( 3，0)，A(0,3)，则点 P 的轨迹方程为 x2＋(y－3)2＝1.设 P(x，y)， M(x0，y0)，则 x＝2x0－ 3，y＝2y0，代入圆的方程得 (x0－ 3 2 )2＋(y0－3 2)2＝1 4 ，所以点 M 的轨迹方程为 (x－ 3 2 )2＋(y－3 2)2＝1 4 ，它表示以( 3 2 ，3 2)为圆心，以1 2 为半径的圆，所以| BM→ |max＝ ( 3 2 ＋ 3)2＋(3 2 －0)2＋1 2 ＝7 2 ，所以|BM→ | 2max＝49 4 . 答案　49 4 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计·高考总复习》光盘中内容.