备考高考数列专题 43页

数列专题 一、同步来源 3‎ 二、高考考纲要求 3‎ 三、数列在高考中的地位 3‎ 四、数列复习建议 3‎ 五、数列知识罗列 4‎ 4.1数列的概念与简单表示法 5‎ 4.1.1考点解析 6‎ 1、数列的概念 6‎ 2、数列的递推公式 6‎ 3、an和Sn的关系 6‎ 4.1.2求通项公式的方法题型 7‎ 1、公式法 7‎ 2、累加法 7‎ 3、累乘法 9‎ 4、待定系数法 10‎ 5、对数变换法 12‎ 6、迭代法 14‎ 7、数学归纳法 14‎ 8、换元法 16‎ 9、不动点法 16‎ 10、不动点法 17‎ 4.2等差数列及前n项和 18‎ 4.2.1考点解析 19‎ 1、等差数列的概念 19‎ 2、等差中项 19‎ 3、等差数列的通项公式及其变形 19‎ 4、等差数列和一次函数的关系 19‎ 5、相关公式 20‎ 6、等比数列的一些性质 20‎ 7、等比数列中最值问题 21‎ 4.2.2考试题型 21‎ 1、等差数列的判定与证明 21‎ 2、等差数列基本量的计算 22‎ 3、等差数列及前n项和性质的应用 22‎ 4、前n项和的最值 22‎ 4.3等比数列及前n项和 23‎ 4.3.1考点解析 23‎ 1、等比数列的定义 23‎ 2、等比数列的通项公式 23‎ 3、等比数列的前n项和公式 24‎ 4、等比数列及其前n项和的性质 24‎ 5、相关公式 24‎ 6、等比数列的一些性质 24‎ 4.3.2考试题型 25‎ 1、等比数列的判定与证明 25‎ 2、等比数列基本量的求解 25‎ 3、等比数列的性质及应用 26‎ 4.4数列前n项和的求法 26‎ 1、利用常用求和公式求和 26‎ 2、分组法求和 27‎ 3、错位相减法求和 28‎ 4、裂项法求和 29‎ 5、倒序相加法求和 31‎ 6、合并法求和 32‎ 7、利用数列的通项求和 33‎ 六、高考中的题型 34‎ 类型1：考查等差、等比数列的基本问题 34‎ 类型2：考查递推数列的通项公式问题 38‎ 类型3：考查数列与不等式的综合问题 40‎ 类型4：数列与函数的交汇 41‎ 类型5：数列与新增知识的交汇 41‎ 类型6：数列与解析几何的联系 42‎ 类型7：考查存在性和探索性问题 43‎ 类型8：数列在实际生活的应用 44‎ 一、同步来源 数列出现在《高中必修5-第二章》 ，公校一般是在高二下学期的时候讲解.‎ 二、高考考纲要求 ‎（1）数列的概念和简单表示法 ‎①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）。‎ ‎②了解数列是自变量为正整数的一类函数。‎ ‎（2）等差数列、等比数列 ‎①理解等差数列、等比数列的概念。‎ ‎②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。‎ ‎③能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。‎ ‎④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。‎ ‎（3）等差、等比数列的综合运用；灵活运用数列知识、解决有关数列的综合问题.‎ 三、数列在高考中的地位 数列是高中代数的主要内容，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考试卷中也占有重要地位.‎ ‎ 试题大致分为两类：‎ 一类是纯数列知识的基本题，多采用选择或填空题型；另一类是中等以上难度的综合题.‎ ‎1、等差、等比数列的定义、通项公式以及性质一直是考查的重点. 这方面的考题多以选择题、填空题出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，掌握了一定的技巧，就可以又快又准地完成它，有利于区分出不同层次的考生.‎ ‎2、数列出现在解答题中，通常与函数、方程、不等式、解析几何等综合在一起，或者以应用题的形式出现，一般属于中、高档难度题.‎ ‎3、探索性问题是近几年的高考热点，而探索性问题出现在数列中的频率又最高. 近几年的高考卷中，有关本章知识点的分数约占全卷150分的16分左右，通常有小题和大题各一个.‎ 四、数列复习建议 ‎1.基础题要确保，难题要有所为有所不为 基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和等内容，对基本的计算技能要求不是很高，建议要强化方程思想在解题中的作用，巧用性质、减少运算量”，知道前n项和与通项的关系.‎ ‎2.关于递推数列问题 能熟练地求一些特殊递推数列的通项和前n项的和, 对于递推数列最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”， 这也是递推数列教学的难点。要突破这个难点学生要用到的是 “观察、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”.‎ ‎3.重视数列的实际应用 这里主要是指递推思想方法在解题中的应用。数列是一类特殊的函数，其递推思想是解决问题的一种重要的思想和方法，利用递推思想解题能体现深刻独特、简洁明快的特点，而且许多考题均涉及到这一点。因此，我们在复习过程中要重视这一点，努力培养学生的递推意识.‎ ‎4.数列与其它知识的交汇 数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.‎ 五、数列知识罗列 ‎4.1数列的概念与简单表示法 ‎ 高考中，本节容会这样考：‎ ‎1．考查已知数列的通项公式或递推关系，求数列的某项．‎ ‎ 2．考查由数列的递推关系求数列的通项公式．‎ 命题研究：‎ 已知an与Sn的关系式求通项公式是高考中的常见题型，既可以考选择、填空题，也可以考解答题．就考查形式来看，有些题目很容易看出an与Sn的关系式，但有时可能需要我们去抽象出一个新数列的和与项之间的关系，比如a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝n2，此时我们可以把上式看成数列{nan}的前n项和为n2来求解．‎ ‎4.1.1‎考点解析 ‎1、数列的概念 ‎(1)定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项.‎ ‎(2)数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．‎ 反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….‎ ‎(3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ ‎2、数列的递推公式 如果已知数列{an}的__第1项___(或第n项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．‎ ‎3、an和Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝‎ ‎4.1.2‎求通项公式的方法题型 ‎1、公式法 ‎【例1】已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。‎ ‎2、累加法 ‎【例2】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ ‎【例3】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由得则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ ‎【例4】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：两边除以，得，‎ 则，故 因此，‎ 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列 的通项公式。‎ ‎3、累乘法 ‎【例5】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。‎ ‎【例6】（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。‎ 解：因为 ①‎ 所以 ②‎ 用②式－①式得 则 故 所以 ③‎ 由，，则，又知，则，代入③得。‎ 所以，的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。‎ ‎4、待定系数法 ‎【例7】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ④‎ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤‎ 由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ ‎【例8】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ⑥‎ 将代入⑥式，得 整理得。‎ 令，则，代入⑥式得 ‎ ⑦‎ 由及⑦式，‎ 得，则，‎ 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。‎ ‎【例9】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：设 ⑧‎ 将代入⑧式，得 ‎，则 等式两边消去，得，‎ 解方程组，则，代入⑧式，得 ‎ ⑨‎ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。‎ 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ ‎5、对数变换法 ‎【例10】已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩‎ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ‎，故 代入式，得 由及式，‎ 得，‎ 则，‎ 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。‎ 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ ‎6、迭代法 ‎【例11】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。‎ 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。‎ ‎7、数学归纳法 ‎【例12】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。‎ ‎（1）当时，，所以等式成立。‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，则当时，‎ 由此可知，当时等式也成立。‎ 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。‎ 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。‎ ‎8、换元法 ‎【例13】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，则 故，代入得 即 因为，故 则，即，可化为，‎ 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 ‎。‎ 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ ‎9、不动点法 ‎【例14】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ ‎【例15】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的不动点。‎ 因为，所以 ‎。‎ 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。‎ ‎10、不动点法 ‎【例14】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 ‎。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。‎ 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。‎ ‎【例15】已知数列满足，求数列的通项公式。‎ 解：令，得，则是函数的不动点。‎ 因为，所以 ‎4.2等差数列及前n项和 ‎ 高考中，本节容会这样考：‎ ‎1．考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题．‎ ‎2．在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题．‎ 命题研究：‎ 通过近三年的高考试题分析，考查等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式，其中常常将求和公式Sn＝与等差数列的性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”结合来命题，考查形式主要是选择题、填空题，难度为中等．‎ ‎4.2.1‎考点解析 ‎1、等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。定义的表达式为为常数。‎ ‎2、等差中项 若a、A、b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且。‎ ‎3、等差数列的通项公式及其变形 通项公式：an＝，其中是首项，是公差。‎ 通项公式的变形：‎ 注意：等差数列通项公式的应用：‎ ‎（1）由等差数列的通项公式，可知：‎ ① 已知等差数列的首项和公差，可以求得这个数列的任何一项；‎ ② 已知,这四个量中的任意三个，可以求得另一个量；‎ ‎（2）由等差数列通项公式变形可知，已知等差数列中的任意两项就可以确定等差数列中的任何一项。‎ ‎4、等差数列和一次函数的关系 ‎ 由等差数列的通项公式，可得：，‎ 如果设，那么，其中p，q是常数。‎ 当p≠0时，（n，a）在一次函数y=px+q的图像上，即公差不为零的等差数列的图像是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。‎ ‎ 当p=0时，，等差数列为常数列，此时数列的图像是平行于x轴的直线（或x轴）上的均匀排开的一群孤立的点。‎ ‎ 等差数列的单调性：当＞0时，数列为递增数列；当＜0时，数列为递减数列；当=0时，数列 为常数列；‎ ‎5、相关公式 ‎（1）定义： （2）通项公式：‎ ‎（3）前n项和公式： （4）通项公式推广：‎ ‎6、等比数列的一些性质 ‎（1）对于任意正整数n，都有 （2）的通项公式 （3）对于任意的整数，如果，那么 ‎ （4）对于任意的正整数，如果，则 （5）对于任意的正整数n>1，有 （6）对于任意的非零实数b，数列是等差数列，则是等差数列 （7）已知是等差数列，则也是等差数列 （8）等都是等差数列 （9）是等差数列的前n项和，则 仍成等差数列，即 （10）若，则 （11）若，则 （12），反之也成立 ‎7、等比数列中最值问题 在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：  ‎ ‎(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.‎ ‎(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。‎ 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.‎ ‎4.2.2‎考试题型 ‎1、等差数列的判定与证明 ‎ 等差数列的判定：等差数列有以下四种判定方法：‎ ‎（1）定义法：或 为等差数列；‎ ‎（2）等差中项法： 为等差数列；‎ ‎（3）通项公式法： 为等差数列；‎ ‎（4）前n项和公式法、： 为等差数列；‎ ‎【例1】(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的公比；‎ ‎(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．‎ ‎【训练1】已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．‎ ‎2、等差数列基本量的计算 ‎ ‎【例2】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.‎ ‎(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．‎ 训练2：(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. ‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．‎ ‎3、等差数列及前n项和性质的应用 ‎ ‎【例3】在等差数列{an}中:(1)若a4＋a17＝20,求S20；(2)若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，‎ 前n项和Sn＝286，求n.‎ 训练3：(1)已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝____.‎ ‎(2)已知等差数列{an}中，a‎3a7＝－16，a4＋a6＝0，则其n项和Sn＝____.‎ ‎4、前n项和的最值 求数列前n项和的最值的方法有：‎ ‎1、运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；‎ ‎2、通项公式法：求使成立时最大的n值即可。‎ 一般地，等差数列中，若，且，则①若p+q为偶数，则当时，最大；②若p+q为奇数，则当或时，最大；‎ ‎【例4】已知等差数列中，，问数列前多少项之和最大，并求出最大值。‎ 解析：∵ ∴，解得：‎ ‎∴。‎ ‎∴当n=15时，取得最大，故数列的前15项之和最大，最大值为225‎ ‎【例5】等差数列的首项，设其前n项和为，且，则当n为何值时，有最大值？‎ 解析：方法一、设等差数列的公差为，由得：。‎ ‎∴，‎ 因为，所以当n=8或n=9时，有最大值。‎ 方法二、设等差数列的公差为，同方法一得，‎ 设此数列的前n项和最大，则即，解得。‎ 又，所以当n=8或n=9时，有最大值。‎ ‎4.3等比数列及前n项和 ‎ 高考中，本节容会这样考：‎ 考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等比中项的性质与证明．‎ 命题研究：‎ 通过近三年的高考试题分析，对等差(比)数列的性质考查每年必考，有的以选择题、填空题出现，难度中等偏下，有的在解答题中出现，常与求通项an及前n项和Sn结合命题，题目难度中等．‎ ‎4.3.1‎考点解析 ‎1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q≠0)表示．‎ 数学语言表达式为，q为常数．‎ ‎2、等比数列的通项公式 如设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.‎ ‎3、等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝；‎ 当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎4、等比数列及其前n项和的性质 ‎(1)等比中项 如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒.‎ ‎(2)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N*)．‎ ‎(3)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.‎ ‎(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.‎ ‎5、相关公式 ‎（1）定义： （2）通项公式：‎ ‎ （3）前n项和公式： （4）通项公式推广：‎ ‎6、等比数列的一些性质 ‎（1）对于任意的正整数n，均有 （2）对于任意的正整数,如果，则 ‎（3）对于任意的正整数，如果，则 （4）对于任意的正整数n>1,有 （5）对于任意的非零实数b，也是等比数列 （6）已知是等比数列，则也是等比数列 （7）如果，则是等差数列 （8）数列是等差数列，则是等比数列 （9）等都是等比数列 ‎(10)是等比数列的前n项和，‎ ‎①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列 ‎②当q≠－1或k为奇数时，仍成等比数列 ‎4.3.2‎考试题型 ‎1、等比数列的判定与证明 ‎ ‎【例1】(2012·宁波十校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－2n(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：数列{1＋an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 训练1：(2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*. ‎ ‎ (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．‎ ‎2、等比数列基本量的求解 ‎【例2】(1)已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是{an}的前n项和，若a1＝1,5S2＝S4，则a5＝________.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，则数列{an}的通项公式为________．‎ 训练2：(2012·浙江)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝‎3a2＋2，S4＝‎3a4＋2，则q＝________.‎ ‎3、等比数列的性质及应用 ‎ ‎【例3】(1)等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，则公比q＝________.‎ ‎(2)等比数列{an}中，q＝2，S99＝77，则a3＋a6＋…＋a99＝________.‎ 训练3：(2012·北京东城区一模)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为(　　)．‎ A．－3 B．±‎3 C．－3 D．±3 ‎4.4数列前n项和的求法 ‎1、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. ‎ 1、 等差数列求和公式： ‎ ‎2、等比数列求和公式：‎ 3、 ‎ 4、‎ 5、 ‎【例1】已知，求的前n项和.‎ 解：由 ‎ 由等比数列求和公式得 （利用常用公式）‎ ‎ ＝＝＝1－‎ ‎ ‎ ‎【例2】设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.‎ ‎ 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）‎ ‎ ∴ ＝‎ ‎ ＝＝‎ ‎ ∴ 当 ，即n＝8时，‎ ‎2、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ ‎【例3】 求数列的前n项和：，…‎ 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎ （分组）‎ 当a＝1时，＝ （分组求和）‎ 当时，＝‎ ‎【例4】求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.‎ 解：设 ‎ ∴ ＝‎ 将其每一项拆开再重新组合得 ‎ Sn＝ （分组）‎ ‎＝ ‎ ‎ ＝ （分组求和）‎ ‎ ＝‎ 练习：求数列的前n项和。‎ 解： ‎ ‎3、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ ‎【例5】 求和：………………………①‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积 设………………………. ② （设制错位）‎ ‎①－②得 （错位相减）‎ 再利用等比数列的求和公式得：‎ ‎ ∴ ‎ ‎【例6】求数列前n项的和.‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎………………………………② （设制错位）‎ ‎①－②得 （错位相减）‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ 练习：‎ 求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1‎ ‎ 解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ①‎ ‎ ①两边同乘以x，得 ‎ x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ②‎ ‎ ①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ ）-（4n-3）xn ‎ 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n ‎ 当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]‎ ‎4、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）‎ ‎(6) ‎ ‎【例7】求数列的前n项和.‎ 解：设 （裂项）‎ 则 （裂项求和）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎【例8】在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.‎ 解： 　 ∵ ‎ ‎ 　 ∴ （裂项）‎ ‎∴ 数列{bn}的前n项和 ‎ （裂项求和）‎ ‎ ＝ ＝ ‎ ‎【例9】求证：‎ 解：设 ‎∵ （裂项）‎ ‎ ∴ （裂项求和）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝＝＝‎ ‎ ∴　原等式成立 ‎ 练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。‎ ‎ 解： ‎ ‎5、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.‎ ‎ 【例10】求的值 解：设…………. ①‎ 将①式右边反序得 ‎ …………..② （反序） ‎ ‎ 又因为 ‎ ‎ ①+②得 （反序相加）‎ ‎＝89 ‎ ‎∴ S＝44.5‎ ‎6、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.‎ ‎【例11】求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.‎ 解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°‎ ‎∵ （找特殊性质项）‎ ‎∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···‎ ‎+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）‎ ‎ ＝ 0‎ ‎【例12】数列{an}：，求S2002.‎ 解：设S2002＝‎ 由可得 ‎……‎ ‎∵ （找特殊性质项）‎ ‎∴　S2002＝ （合并求和）‎ ‎ ＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝5‎ ‎【例13】在各项均为正数的等比数列中，若的值.‎ 解：设 由等比数列的性质 （找特殊性质项）‎ 和对数的运算性质 得 ‎ （合并求和）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝10‎ ‎7、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.‎ ‎【例14】求之和.‎ 解：由于 （找通项及特征）‎ ‎∴ ‎ ‎＝ （分组求和）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎【例15】已知数列{an}：的值.‎ 解：∵ （找通项及特征）‎ ‎ ＝ （设制分组）‎ ‎ ＝ （裂项）‎ ‎∴ （分组、裂项求和）‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ 练习：求5，55，555，…，的前n项和。‎ 解：∵an= 5 9(10n-1)‎ ‎∴Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1)‎ ‎ = 5 9[（10+102+103+……+10n）-n]‎ ‎ = （10n＋1-9n-10）‎ 以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。‎ 六、高考中的题型 类型1：考查等差、等比数列的基本问题 等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差、等比数列的定义、通项公式、前n项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上.‎ ‎1、（2014福建，本小题满分5分）等差数列的前项和，若，则( )‎ ‎ ‎ ‎2、（2014广东，本小题满分5分）若等比数列的各项均为正数，且，则 。‎ ‎3、(2014江苏，本小题满分5分)在各项均为正数的等比数列中，若，，‎ 则的值是 ．【答案】4‎ ‎4、 (2014辽宁，本小题满分5分）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、（2014上海，本题满分5分）设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= .‎ ‎6、（2014天津，本小题满分5分）‎ 设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.‎ ‎7、（2014重庆，本小题满分5分）对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）‎ 成等比数列 成等比数列 成等比数列 成等比数列 ‎8、（2014安徽，本小题满分5分）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则________。‎ ‎9、（2014北京，本小题满分5分）设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）‎ 充分且不必要条件 必要且不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 ‎10、（2012年理）已知{an}为等比数列， a4+a1=‎2 a5a6＝-8 则a1+a10 =D A.7 B‎.5 C-5 D.-7‎ ‎11、（2012年理）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12、(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)．‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎13、(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，‎ n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝‎2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　B　)．‎ A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 ‎ ‎ D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 ‎14、（2013文）设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎15、（2014北京，本小题满分5分）若等差数列满足，，则当________时 的前项和最大.‎ ‎16、（2014大纲，本小题满分5分）等比数列中，，则数列的前8项和等于（ ）‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3 【答案】C．‎ ‎17. （2014大纲，本小题满分12分）‎ 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.‎ ‎（I）求的通项公式； （II）设，求数列的前n项和.‎ ‎18、（2014湖南，本小题满分13分）‎ 已知数列{}满足 ‎（1）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；‎ ‎（2）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．‎ ‎19、(2014山东，本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。‎ ‎（I）求数列的通项公式；（II）令=求数列的前项和。‎ ‎20、（2013 全国）已知等差数列的前项和为满足.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎21、（2013 江苏） 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，‎ ‎，其中为实数．‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：．‎ ‎22、（2013年高考大纲卷（文））等差数列中,‎ ‎(I)求的通项公式; (II)设 ‎23、（2013年高考湖南（文））设为数列{}的前项和,已知 ‎,2,N (Ⅰ)求,,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和.‎ ‎24、（2013年高考北京卷（文））本小题共13分)给定数列.对,该数列前项的最大值记为,后项的最小值记为,.‎ ‎(Ⅰ)设数列为3,4,7,1,写出,,的值;‎ ‎(Ⅱ)设()是公比大于1的等比数列,且.证明:,,,是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设,,,是公差大于0的等差数列,且,证明:,,,是等差数列 ‎25、（2013年高考浙江卷（文））在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,‎2a2+2,‎5a3成等比数列. ‎ ‎(Ⅰ)求d,an; (Ⅱ) 若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .‎ ‎26、（2013年高考四川卷（文））在等比数列中,,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和.‎ ‎27、（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)求.‎ ‎28、（2013年高考陕西卷（文））设Sn表示数列的前n项和. ‎ ‎(Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; ‎ ‎(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. ‎ 类型2：考查递推数列的通项公式问题 对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考经久不衰的题型。‎ ‎1、(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.‎ ‎2、（2014广东，本小题满分14分）设数列的前和为,满足，且，‎ ‎(1)求的值; (2)求数列的通项公式。‎ ‎3、（2013年高考山东卷（文））设等差数列的前项和为,且,‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式 (Ⅱ)设数列满足 ,求的前项和 ‎4、（2013年高考安徽（文））设数列满足,,且对任意,函数 ，满足 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前项和.‎ ‎5、（2013年高考江西卷（文））正项数列{an}满足.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an; (2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎6、（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)‎ 设数列满足:,,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式及前项和;‎ ‎(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,,求.‎ ‎7、设数列的前项和为，已知。第(2)问：求的通项公式。‎ ‎8、（2014江苏，本小题满分12分）‎ 已知首项都是1的两个数列（），满足.‎ (1) 令，求数列的通项公式；‎ (2) 若，求数列的前n项和.‎ 点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。‎ 类型3：考查数列与不等式的综合问题 数列与不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现．以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。‎ ‎1、（2013年高考天津卷（文））已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 证明. ‎ ‎2、（2014天津，本小题满分14分）‎ 已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，集合.‎ ‎（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；‎ ‎（Ⅱ）设，，，其中，. 证明：若，则.‎ 本小题主要考查集合的含义和表示，等比数列的前项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法. 考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.‎ ‎3、（2014新课标2，本小题满分12分）‎ 已知数列满足=1，.‎ ‎（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.‎ ‎4、（2014浙江，本题满分14分）已知数列和满足.若为等比数列，且 （1） 求与；‎ （2） 设。记数列的前项和为.‎ ‎（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．‎ 本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、求和公式、不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎5、（2013 江苏）在正项等比数列中，，，‎ 则满足的最大正整数的值为 ．【答案】12‎ 类型4：数列与函数的交汇 数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点，因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题 ‎1、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．‎ ‎ （1）求数列的通项公式．‎ ‎ （2）若，求数列的前项和．‎ ‎（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.‎ 类型5：数列与新增知识的交汇 ‎1、（2014陕西，本小题满分5分）‎ 根据右边框图，对大于2的整数，‎ 得出数列的通项公式是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视 类型6：数列与解析几何的联系 ‎1、（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。‎ ‎（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；‎ ‎（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。‎ ‎2、已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）证明：.‎ 类型7：考查存在性和探索性问题 这类题突出了对学生的探究、发现和创造能力的考查，有的试题对此考查全面且达到了一定的深度，体现了研究性学习思想。‎ ‎1、（2014新课标1，本小题满分12分）‎ 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.‎ ‎2、（2014重庆，本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）‎ 设 （1） 若，求及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.‎ ‎3、（2014湖北，本小题满分12分）‎ 已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.‎ （1） 求数列的通项公式.‎ （2） 记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎4、(2014江苏，本小题满分16分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”． （1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；‎ ‎（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；‎ ‎（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．‎ 类型8：数列在实际生活的应用 数列实际应用题常见的数学模型 ‎（1）复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x期，则本利和y = a(1+r)x .‎ ‎（2）产值模型：原来产值的基数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y = N (1 + p)x .‎ ‎（3）单利公式：利用按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y = a + a·r·x .‎ ‎（4）递推与猜证型：递推型有an+1 = f (an)与Sn+1 = f (Sn)或Sn = f (an)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明 ‎1、某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r＞0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n – 2，…，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.‎ ‎（1）写出Tn与Tn – 1(n≥2)的递推关系式；‎ ‎（2）求证：Tn = An + Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列.‎