2020-2021学年高考数学（理）考点：简单的三角恒等变换 24页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：简单的三角恒等变换 ‎1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 ‎(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；‎ ‎(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；‎ ‎(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；‎ ‎(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；‎ ‎(5)tan(α－β)＝(T(α－β))；‎ ‎(6)tan(α＋β)＝(T(α＋β))．‎ ‎2．二倍角公式 ‎(1)基本公式：‎ ‎①sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎③tan 2α＝.‎ ‎(2)公式变形：‎ 由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；‎ 升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ 概念方法微思考 ‎1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？‎ 提示　诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．‎ ‎2．怎样研究形如f (x)＝asin x＋bcos x的函数的性质？‎ 提示　先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f (x)化成f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．‎ ‎3．思考求的正弦、余弦、正切公式．‎ 提示　(1)sin ＝±；‎ ‎(2)cos ＝±；‎ ‎(3)tan ＝±＝＝.‎ ‎1．（2020•新课标Ⅰ）已知，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ 即，解得（舍去），或．‎ ‎，，，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎2．（2019•全国）已知，则　　‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎3．（2019•新课标Ⅱ）已知，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 可得：，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：．‎ 故选．‎ ‎4．（2018•新课标Ⅲ）若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎5．（2017•山东）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据余弦函数的倍角公式，且，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎6．（2017•新课标Ⅲ）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎7．（2020•新课标Ⅱ）若为第四象限角，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】为第四象限角，‎ 则，，‎ 则，‎ 是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎8．（2020•新课标Ⅲ）已知，则　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得，‎ 即，‎ 得，‎ 即，‎ 即，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎9．（2020•新课标Ⅲ）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ 即，‎ 得，‎ 即，‎ 得 故选．‎ ‎10．（2018•新课标Ⅱ）若在，是减函数，则的最大值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 由，，‎ 得，，‎ 取，得的一个减区间为，，‎ 由在，是减函数，‎ 得．‎ 则的最大值是．‎ 故选．‎ ‎11．（2018•新课标Ⅱ）若在，是减函数，则的最大值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 由，，‎ 得，，‎ 取，得的一个减区间为，，‎ 由在，是减函数，‎ 得，．‎ 则的最大值是．‎ 故选．‎ ‎12．（2017•全国）　　‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 ‎．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•新课标Ⅱ）若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2020•江苏）已知，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，则，‎ 解得，‎ 故答案为：．‎ ‎15．（2020•浙江）已知，则　　，__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，‎ 则．‎ ‎．‎ 故答案为：；．‎ ‎16．（2020•上海）已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故．‎ 故答案为：．‎ ‎17．（2016•四川）__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎18．（2018•新课标Ⅱ）已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 两边平方可得：，①，‎ ‎，‎ 两边平方可得：，②，‎ 由①②得：，即，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎19．（2018•新课标Ⅱ）已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎20．（2017•江苏）若．则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 解得，‎ 故答案为：．‎ ‎21．（2017•北京）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，‎ ‎，，‎ 方法二：，‎ 当在第一象限时，，‎ ‎，角的终边关于轴对称，‎ 在第二象限时，，，‎ ‎，‎ 当在第二象限时，，‎ ‎，角的终边关于轴对称，‎ 在第一象限时，，，‎ 综上所述，‎ 故答案为：．‎ ‎22．（2017•新课标Ⅰ）已知，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎23．（2018•浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若角满足，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，．‎ ‎，，，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由，，，‎ 得，，‎ 又由，‎ 得，‎ 则，‎ 或．‎ 的值为或．‎ ‎24．（2018•北京）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）若在区间，上的最大值为，求的最小值．‎ ‎【解析】函数 ‎，‎ 的最小正周期为；‎ ‎（Ⅱ）若在区间，上的最大值为，‎ 可得，，‎ 即有，解得，‎ 则的最小值为．‎ ‎25．（2018•上海）设常数，函数．‎ ‎（1）若为偶函数，求的值；‎ ‎（2）若，求方程在区间，上的解．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ 为偶函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，或，，‎ ‎，或，，‎ ‎，，‎ 或或或 ‎26．（2018•上海）已知 ‎（1）若，且，，求的值 ‎（2）求函数的最小值 ‎【解析】（1）若，且，，‎ 则，则，‎ 则．‎ ‎（2）函数，‎ ‎，‎ 当时，函数取得最小值，最小值为．‎ ‎1．（2020•西安模拟）已知、是方程的两个实根，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】、是方程的两个实根，且，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•香坊区校级一模）若，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 所以 ‎．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•龙凤区校级模拟）若，，则　　‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•碑林区校级模拟）　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•青羊区校级模拟）已知为锐角，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 所以①，两边平方可得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为为锐角，‎ 所以②，‎ 由①②可得．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•广东四模）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 即 由．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•桃城区校级模拟）已知，，则　　‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•九龙坡区模拟）函数的最小正周期为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，其中，‎ 的最小正周期为．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•梅河口市校级模拟）已知，，则的值为　　‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•全国四模）已知为锐角，若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】为锐角，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎11．（2020•丹东二模）在中，，则　　‎ A．7 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】中，，为钝角，，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎12．（2020•衡阳三模）　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 故选．‎ ‎13．（2020•包河区校级模拟）设，满足，，则　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】，满足，，‎ 则，‎ 故选．‎ ‎14．（2020•河南模拟）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎15．（2020•桃城区校级模拟）若，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，‎ 得，‎ 所以，‎ 则．‎ 故选．‎ ‎16．（2020•庐阳区校级模拟）已知为第三象限角，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】为第三象限角，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎17．（2020•淮北二模）若，则 的值为　　‎ A． B．0 C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎18．（2020•广东四模）已知，则的值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知，．‎ 故，‎ 故选．‎ ‎19．（2020•碑林区校级模拟）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，；‎ ‎；‎ 故选．‎ ‎20．（2020•唐山二模）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎21．（2020•梅河口市校级模拟）已知，且，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，且，‎ 可得，可得，‎ 解得，或1（舍去），‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎22．（2020•让胡路区校级三模）已知，则实数的值为　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，‎ 所以，‎ 移项得，‎ 所以，即．‎ 故选．‎ ‎23．（2020•黑龙江二模）若，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎24．（2020•运城模拟）已知，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎25．（2020•嵊州市二模）已知函数．‎ ‎（1）若求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若在区间上是单调函数，求的最大值．‎ ‎【解析】（1）函数，‎ 若，则，且，，‎ ‎，．‎ ‎（Ⅱ），若 在区间上是单调函数，‎ 在区间上，，，‎ ‎，求得，故的最大值为．‎ ‎26．（2020•嘉定区二模）设常数，函数．‎ ‎（1）若为奇函数，求的值；‎ ‎（2）若，求方程在区间，上的解．‎ ‎【解析】（1）当为奇函数时，必有，可得．‎ 当时，，利用正弦函数的性质可知其为奇函数，符合题意，可得的值为0．‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 由，或，‎ 可得：，或，‎ 所以在区间，上的解为．‎ ‎27．（2019•西湖区校级模拟）已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）已知，，‎ 所以．‎ 由于，．整理得，．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由于，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎28．（2019•西湖区校级模拟）已知，且为第二象限角．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，得，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），得，‎ ‎．‎ ‎29．（2020•鼓楼区校级模拟）已知，均为锐角，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【解析】（1）由，得．‎ 解得，或．因为为锐角，‎ 所以，．‎ ‎（2）因为，均为锐角，所以，‎ 所以，，．‎ ‎30．（2020•永康市模拟）已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）设方程在，上恰有5个实数解，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）函数．‎ 令，‎ 整理得，‎ 所以函数的单调递增区间为．‎ ‎（2）设方程在，上恰有5个实数解，‎ 令，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得．‎ 所以当时，或时，‎ 由于恰好有5个实数解．‎ 故．‎ ‎31．（2020•浙江模拟）已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）因为 所以的最小正周期．‎ 由得，‎ 故的对称轴为．‎ ‎（2）因为，所以，即，‎ 所以，‎ 即，‎ 故的取值范围为，．‎ ‎32．（2020•鼓楼区校级模拟）已知，，，，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，所以，解得，‎ 因为，所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 因为，所以，；‎ 因为，，所以，‎ 所以．‎