四川省高考理科数学试卷及答案 14页

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）‎ ‎ 数学（理工农医类） ‎ 第一卷 一、 选择题：[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎（1）是虚数单位，计算 ‎（A）－1 （B）1 （C） （D）‎ ‎（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是 ‎0‎ y x ‎0‎ y x ‎0‎ y x y x ‎0‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）‎ ‎（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4‎ ‎（4）函数的图像关于直线对称的充要条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 ‎（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1‎ ‎（6）将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70‎ 箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每···················天总获利最大的生产计划为 ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 ‎（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 ‎（A）0 （B） （C） 1 （D）2‎ ‎（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在[来源:学科网]‎ 点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D） Q ‎（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ‎（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144‎ ‎（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，‎ 是平面内边长为的正三角形，线段、分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（12）设，则的最小值是 ‎（A）2 （B）4 （ C） （D）5‎ 第Ⅱ卷 一、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎（13）的展开式中的第四项是 .‎ ‎（14）直线与圆相交于A、B两点，则 .‎ ‎（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，‎ 与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .‎ ‎（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题：‎ 集合 （为整数，为虚数单位）为封闭集；‎ 若S为封闭集，则一定有；‎ 封闭集一定是无限集；‎ 若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.‎ 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）‎ 一、 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，点是对角线的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：为异面直线和的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知定点，定直线，不在轴上的动点与点的距离是它到直线 的距离的2倍.设点的轨迹为，过点的直线交于两点，直线分别交于点 ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知数列满足，且对任意都有 ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设证明：是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和.‎ ‎（22）（本小题满分14分）‎ 设（且），是的反函数.‎ ‎（Ⅰ）设关于的方程求在区间上有实数解，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当（为自然对数的底数）时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）当时，试比较与4的大小，并说明理由.‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工农医类）‎ 参考答案 一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。‎ ‎1—6：ADCACC ‎1—12：BBDCAB 二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。‎ ‎（13） （14） （15） （16）①②‎ 三、解答题 ‎（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 ‎ ‎ ‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是…………（6分）‎ ‎ （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3。‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ …………（12分）‎ ‎（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ ‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK．[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 因为点M是棱′的中点，点O是的中点，‎ 所以，‎ 所以．‎ 由，得 因为，，所以平面，‎ 所以．‎ 所以．‎ ‎ 又因为OM与异面直线和都相交，‎ ‎ 故OM为异面直线和’的公垂线．……………（4分）‎ ‎ （Ⅱ）取的中点N，连结MN，则平面．过点N作于H，连结MH，则由三垂线定理得，．从而，为二面角的平面角．‎ ‎，．‎ 在中，．‎ ‎ 故二面角的大小为．……………………………（9分）‎ ‎ （Ⅲ）易知，‎ ‎ ‎ ‎ …………（12分）‎ ‎ 解法二：‎ ‎ 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，，， ‎ ‎ （Ⅰ）因为点M是棱 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎………………（4分）‎ ‎ （Ⅱ）设平面 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 故二面角………………（9分）‎ ‎ （Ⅲ）易知，‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 取 ‎ 点M到平面OBC的距离 ‎ ‎ ‎ ………………（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………（12分）‎ ‎ ‎ ‎ ②当直线BC与轴垂直时，其方程为 ‎ AB的方程为 ‎ 同理可得 因此 ‎ 综上，‎ ‎ 故以线段MN为直径的圆过点F.………………（12分）‎ ‎（21）本小题主要考查数列的基础知识和化归，分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意，令 ‎ 再令………………（2分）‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ 所以，数列………………（5分）‎ ‎ （Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知 ‎（22）本小题考查函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意，得 ‎ 故 ‎ 由得 ‎ ‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎（2，5）‎ ‎5‎ ‎（5，6）‎ ‎6‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎5‎ 极大值32‎ ‎25‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以t的取值范围为[5，32]………………………………（5分）‎ ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅲ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上，总有……………………………………（14分）‎