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2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章选修4-5不等式选讲 26页

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  • 2021-05-13 发布

2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章选修4-5不等式选讲

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第1讲　绝对值不等式 最新考纲　1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.‎ 知 识 梳 理 ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)‎ A．5或8 B．－1或5‎ C．－1或－4 D．－4或8‎ 解析　分类讨论：‎ 当a≤2时，f(x)＝ 显然，x＝－时，f(x)min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，‎ 当a>2时，f(x)＝ 显然x＝－时，f(x)min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.‎ 答案　D ‎3．(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________．‎ 解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.‎ ‎②当11的解集．‎ 解　(1)f(x)＝ y＝f(x)的图像如图所示．‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图像，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为 .‎ 考点二　含参数的绝对值不等式问题 ‎【例2】 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；‎ ‎(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．‎ 解　(1)∵x，y∈R，‎ ‎∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，‎ ‎∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3.‎ ‎∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.‎ 规律方法　求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法．‎ ‎【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解，求实数d的取值范围；‎ ‎(2)不等式≥|a－2|＋sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)∵|2 014－x|＋|2 015－x|≥|2 014－x－2 015＋x|＝1，‎ ‎∴关于x的不等式|2 014－x|＋|2 015－x|≤d有解时，d≥1.‎ ‎(2)∵x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，‎ ‎∴∈[2，＋∞)，其最小值为2.‎ 又∵sin y的最大值为1，‎ 故不等式≥|a－2|＋sin y恒成立时，‎ 有|a－2|≤1，解得a∈[1,3].‎ 考点三　含绝对值的不等式的应用 ‎【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，‎ 所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．‎ 规律方法　(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．‎ ‎【训练3】 (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，‎ 解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以实数a的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．‎ ‎2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b ‎|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．‎ ‎2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．‎ ‎(建议用时：60分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)＞2；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的最小值．‎ 解　(1)法一　令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.‎ 原不等式可化为：‎ 或或 即或或 ‎∴x＜－7或x＞.‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ 法二　f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 画出f(x)的图像，如图所示．‎ 求得y＝2与f(x)图像的交点为(－7,2)，.‎ 由图像知f(x)＞2的解集为.‎ ‎(2)由(1)的法二图像知：当x＝－时，‎ 知：f(x)min＝－.‎ ‎2．(2017·长沙一模)设α，β，γ均为实数．‎ ‎(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；‎ ‎(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.‎ 证明　(1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤‎ ‎|cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|；‎ ‎|sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋‎ ‎|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.‎ ‎(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，‎ 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.‎ ‎3．(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．‎ 解　(1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，‎ 故|2＋x|＋|2－x|≤min.‎ 由(1)可知，的最小值为4.‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．‎ 解不等式得－2≤x≤2.‎ 故实数x的取值范围为[－2,2]．‎ ‎4．(2017·广州二测)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－a)．‎ ‎(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求实数a的最大值．‎ 解　(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|＞7，‎ ‎①当x＞2时，得x＋1＋x－2＞7，解得x＞4.‎ ‎②当－1≤x≤2时，得x＋1＋2－x＞7，无解．‎ ‎③当x＜－1时，得－x－1－x＋2＞7，解得x＜－3.‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．‎ ‎(2)不等式f(x)≥3，即|x＋1|＋|x－2|≥a＋8，‎ ‎∵当x∈R时，‎ 恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 又不等式|x＋1|＋|x－2|≥a＋8的解集是R，‎ ‎∴a＋8≤3，即a≤－5，‎ ‎∴a的最大值为－5.‎ ‎5．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当x∈(M∩N)时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1，‎ 得x≤，故1≤x≤；‎ 当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1.‎ 所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}．‎ ‎(2)证明　由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，解得－≤x≤.因此N＝，‎ 故M∩N＝.‎ 当x∈(M∩N)时，f(x)＝1－x，于是 x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.‎ ‎6．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.‎ ‎(1)解不等式：|g(x)|＜5；‎ ‎(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，‎ 所以－7＜|x－1|＜3，‎ 解不等式得－2＜x＜4，‎ 所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}．‎ ‎(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，‎ 使得f(x1)＝g(x2)成立，‎ 所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，‎ 又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，‎ 所以|a＋3|≥2，‎ 解得a≥－1或a≤－5，‎ 所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.‎ 第2讲　不等式的证明 最新考纲　通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．‎ 知 识 梳 理 ‎1．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．‎ ‎(1)比较法 ‎①求差比较法 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．‎ ‎②求商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法.‎ ‎(2)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．‎ ‎(3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．‎ ‎(4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式相反的假设；‎ 第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．‎ ‎2．几个常用基本不等式 ‎(1)柯西不等式：‎ ‎①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立)．‎ ‎②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，‎ 则＋≥.‎ ‎④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．‎ ‎(2)算术—几何平均不等式 若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．(　　)‎ ‎(2)若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0，y＞0.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．(2017·泰安模拟)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)‎ A．x＞y B．x＜y C．x≥y D．x≤y 解析　x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，‎ 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.‎ 答案　A ‎3．(2017·聊城模拟)下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析　logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x＞1)，①正确．‎ ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；‎ 因为ab≠0，与同号，‎ 所以＝＋≥2，③正确；‎ 由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，‎ ‎|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，‎ 综上①③④正确．‎ 答案　C ‎4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．‎ 解析　由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.‎ 答案　 ‎5．(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；‎ 当－

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