至山东辽宁江苏宁夏高考数学理科试卷及答案14887 7页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第I卷（共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。‎ ‎1．定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为 ‎（A）0 （B）6 （C）12 （D）18‎ y y y y ‎2．函数的反函数的图象大致是 x o ‎2‎ ‎1‎ x o ‎2‎ ‎1‎ x o ‎2‎ ‎1‎ x o ‎2‎ ‎1‎ ‎（D）‎ ‎（C）‎ ‎（B）‎ ‎（A）‎ ‎3．设，则不等式的解集为 ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎4．在中，角的对边分别为，已知，则 ‎（A）1 （B）2 （C） （D）‎ ‎5．设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），若表示向量‎4a、4b‎-2c、2（a-c）、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ‎（A）（2,6） （B）（-2,6） （C）（2,-6） （D）（-2,-6）‎ ‎6．已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 ‎（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎7．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8．设，则是的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎9．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ‎（A） 33 （B） 34 （C） 35 （D） 36‎ ‎10．已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎11．某公司招收男职员名，女职员名，和须满足约束条件，则的最大值是 ‎（A）80 （B）85 （C）90 （D）95‎ ‎12．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为 A E B C D ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 （共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。‎ ‎13．若，则常数 2 。‎ ‎14．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 32 。‎ A B C D C1‎ A1‎ B1‎ ‎15．如图，已知正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为 ______ 。‎ ‎16．下列四个命题中，真命题的序号有 ③④ （写出所有真命题的序号）。‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ ①将函数的图象按向量v=（-1,0）平移，得到的图象对应的函数表达式为；②圆与直线相交，所得的弦长为2；③若，则；④如图，已知正方体，P为底面ABCD内一动点，P到平面 的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分。 ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.‎ ‎（I）求 ‎（II）计算.‎ 解：（I）‎ 的最大值为2，.‎ 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，‎ ‎.‎ 过点，‎ 又.‎ ‎（II）解法一：，‎ ‎.‎ 又的周期为4，，‎ 解法二：‎ 又的周期为4，，‎ ‎18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.‎ 解：由已知得函数的定义域为，且 ‎（1）当时，函数在上单调递减，‎ ‎（2）当时，由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递增.‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A B C A1‎ V B1‎ C1‎ 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设 ‎（1）求证直线是异面直线与的公垂线；‎ ‎（2）求点A到平面VBC的距离；‎ ‎（3）求二面角的大小。‎ 解法1：‎ ‎（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，‎ 又∵平面⊥平面，平面∩平面，‎ ‎∴⊥平面，，‎ 又，.‎ 为与的公垂线.‎ ‎（Ⅱ）解法1：过A作于D，‎ ‎ ∵△为正三角形，∴D为的中点.‎ ‎∵BC⊥平面∴，‎ 又，∴AD⊥平面，‎ ‎∴线段AD的长即为点A到平面的距离.‎ 在正△中，.‎ ‎∴点A到平面的距离为.‎ 解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.‎ 由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，‎ ‎，即，解得.‎ 即A到平面的距离为.则 ‎ 所以，到平面的距离为.‎ ‎(III)过点作于，连，由三重线定理知 是二面角的平面角。‎ 在中，‎ ‎ 。。‎ 所以，二面角的大小为arctan.‎ 解法二：取中点连,易知底面，过作直线交。‎ 取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。‎ ‎（I），，‎ ‎，。‎ ‎ 又 由已知。，‎ 而。‎ 又显然相交，是的公垂线。‎ ‎（II）设平面的一个法向量，‎ ‎ 又 ‎ 由取 得 ‎ 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。‎ ‎，设所求距离为。 则 ‎ = 所以，A到平面VBC的距离为.‎ ‎（III）设平面的一个法向量 ‎ ‎ 由 ‎ ‎ ‎ 取 ‎ 二面角为锐角，‎ 所以，二面角的大小为 ‎20．（本小题满分12分）‎ 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；‎ ‎（3）计分介于20分到40分之间的概率。‎ 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，‎ 则 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为 所以.‎ ‎（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 所以随机变量的概率分布为 因此的数学期望为 ‎（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则 ‎21．（本小题满分12分）‎ 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。‎ ‎（1）求双曲线C的方程； ‎ ‎（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由椭圆 ‎ 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 ‎ 解得 ，双曲线的方程为 ‎（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零。‎ 设的方程：，‎ 则 在双曲线上，‎ 同理有：‎ 若则直线过顶点，不合题意.‎ 是二次方程的两根.‎ ‎，此时.所求的坐标为.‎ 解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，则.，分的比为.‎ 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则.‎ ‎， .‎ ‎， ，，‎ 又，即 将代入得 ‎，否则与渐近线平行。‎ ‎。 ‎ 解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，‎ 则 , 。‎ 同理 .‎ 即 。 （*）‎ 又 消去y得.‎ 当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。‎ 由韦达定理有： 代入（*）式得 所求Q点的坐标为。‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知，点在函数的图象上，其中 ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求及数列的通项；‎ ‎（3）记，求数列的前项，并证明 解：（Ⅰ）由已知， ，两边取对数得 ‎，即是公比为2的等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎ （*）‎ ‎ =‎ ‎ 由（*）式得 ‎（Ⅲ） ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又 .‎