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- 2021-05-13 发布
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2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
1.设,,,则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设(是虚数单位),则 ( )
A. B. C. D.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
4.设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5.已知向量,.若向量满足,,则 ( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点在椭圆上,且轴, 直线交轴于点.若,则椭圆的离心率是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. C. D.
7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是( )
A. B.
C. D.
8.若函数,则下列结论正确的是( )
A.,在上是增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B.,在上是减函数
C.,是偶函数
D.,是奇函数
9.已知三角形的三边长分别为,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为( )
A. B. C. D.
10.已知是实数,则函数的图象不可能是( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
11.设等比数列的公比,前项和为,则 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12.若某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是 .
13.若实数满足不等式组则的最小值是 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
14.某个容量为的样本的频率分布直方图如下,则在区间上的数据的频数为 .
.m
15.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位:千瓦时)
高峰电价
(单位:元/千瓦时)
低谷月用电量
(单位:千瓦时)
低谷电价
(单位:元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时,低谷时间段用电量为千瓦时,
则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答).
16.设等差数列的前项和为,则,,,成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前项积为,则, , ,成等比数列.
17.有张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数,其中.
从这张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到
标有的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为)不小于”为,
则 .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
20090423
18.(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,且满足,
. (I)求的面积; (II)若,求的值.
20090423
19.(本题满分14分)如图,平面,,,,分别为的中点.(I)证明:平面;(II)求与平面所成角的正弦值.
20090423
20.(本题满分14分)设为数列的前项和,,,其中是常数.
(I) 求及;
(II)若对于任意的,,,成等比数列,求的值.
20090423
21.(本题满分15分)已知函数 .
(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;
(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.
20090423
22.(本题满分15分)已知抛物线:上一点到其焦点的距离为.
(I)求与的值;
(II)设抛物线上一点的横坐标为,过的直线交于另一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点.若是的切线,求的最小值.
1. B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识,在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度,当然也很好地考查了不等式的基本性质.
【解析】 对于,因此.
2. A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分析,考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度.
【解析】对于“”“”;反之不一定成立,因此“”是“”的充分而不必要条件.
3.D 【命题意图】本小题主要考查了复数的运算和复数的概念,以复数的运算为载体,直接考查了对于复数概念和性质的理解程度.
【解析】对于
4.C 【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和垂直的考查,充分调动了立体几何中的基本元素关系.
【解析】对于A、B、D均可能出现,而对于C是正确的.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
5.D 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.
【解析】不妨设,则,对于,则有;又,则有,则有
6.D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.
【解析】对于椭圆,因为,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.A 【命题意图】此题考查了程序语言的概念和基本的应用,通过对程序语言的考查,充分体现了数学程序语言中循环语言的关键.
【解析】对于,而对于,则,后面是,不符合条件时输出的.
8.C 【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问.
【解析】对于时有是一个偶函数
9.C 【命题意图】此题很好地考查了平面几何的知识,全面而不失灵活,考查的方法上面的要求平实而不失灵动,既有切线与圆的位置,也有圆的移动
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.
10.D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题,但考查的知识点因含有参数而丰富,结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度.
【解析】对于振幅大于1时,三角函数的周期为,而D不符合要求,它的振幅大于1,但周期反而大于了.
11.15 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式,通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系.
【解析】对于
12. 18 【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图,通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求,与表面积和体积结合的考查方法.
【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为,上面的长方体体积为,因此其几何体的体积为18
13. 4【命题意图】此题主要是考查了线性规划中的最值问题,此题的考查既体现了正确画线性区域的要求,也体现了线性目标函数最值求解的要求
【解析】通过画出其线性规划,可知直线过点时,
14. 30【命题意图】此题考查了频率分布直方图,通过设问既考查了设图能力,也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力
【解析】对于在区间的频率/组距的数值为,而总数为100,因此频数为30 w.w.w.k.s.5.u.c.o
15. 【命题意图】此题是一个实际应用性问题,通过对实际生活中的电费的计算,既考查了函数的概念,更侧重地考查了分段函数的应用w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】对于应付的电费应分二部分构成,高峰部分为;对于低峰部分为,二部分之和为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
16. 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】对于等比数列,通过类比,有等比数列的前项积为,则,,成等比数列.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
17. 【命题意图】此题是一个排列组合问题,既考查了分析问题,解决问题的能力,更侧重于考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平
【解析】对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况,即
,而基本事件有20种,因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18.解析:(Ⅰ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又,,而,所以,所以的面积为:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,而,所以
所以
19.(Ⅰ)证明:连接, 在中,分别是的中点,所以, 又,所以,又平面ACD ,DC平面ACD, 所以平面ACD
(Ⅱ)在中,,所以
而DC平面ABC,,所以平面ABC
而平面ABE, 所以平面ABE平面ABC, 所以平面ABE
由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形,所以
所以平面ABE, 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中, ,
所以
20、解析:(Ⅰ)当,
()
经验,()式成立,
(Ⅱ)成等比数列,,
即,整理得:,
对任意的成立,
21.解析:(Ⅰ)由题意得
又 ,解得,或
(Ⅱ)函数在区间不单调,等价于
导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数
即函数在上存在零点,根据零点存在定理,有
, 即:
整理得:,解得
22.解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:,根据抛物线定义
点到焦点的距离等于它到准线的距离,即,解得
抛物线方程为:,将代入抛物线方程,解得
(Ⅱ)由题意知,过点的直线斜率存在且不为0,设其为。
则,当 则。
联立方程,整理得:
即:,解得或
,而,直线斜率为
,联立方程
整理得:,即:
,解得:,或
,
而抛物线在点N处切线斜率:
MN是抛物线的切线,, 整理得
,解得(舍去),或,
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