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  • 2021-05-13 发布

高考复习资料——极坐标与参数方程满分训练

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2020 届高考复习资料——极坐标与参数方程满分训练 一、基础知识和公式:4+3(4 个公式、3 个方程) 4 个公式 3 个方程 (1)圆 的参数方程为 ( 为参数); (2)过定点 、倾斜角为 的直线的参数方程 ( 为参 数) (3)椭圆 的参数方程为 ( 为参数); 二、概念辨析 (1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一 一对应关系.(  ) (2)点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为(2,3π 4 ).(  ) (3)过极点作倾斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ=α 或 θ=π+α.(  ) (4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asinθ.(  ) (5)直线Error!(t 为参数)的倾斜角 α 为 30°.(  ) (6)过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数).参数 t 的几何 意义表示:直线 l 上以定点 M0 为起点,任一点 M(x,y)为终点的有向线段M0M → 的数量.(  ) (7)方程Error!表示以点(0,1)为圆心,以 2 为半径的圆.(  ) (8)已知椭圆的参数方程Error!(t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t=π 3,点 O 为原点, 则直线 OM 的斜率为 3.(  ) 三、基础检查 (1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为Error!则在这一坐标变换下正弦曲线 y=sinx 的 方程变为(  ) A.y=1 3sin2x B.y=3sin1 2x C.y=1 3sinx 2 D.y=3sin2x (2)在极坐标系中 A(2,-π 3),B (4,2π 3 )两点间的距离为________. 1cossin;sin;cos; 22222 =+==+= θθθρθρρ yxyx 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = cos sin x a r y b r θ θ = +  = + θ ),( 00 yxP ( )2 πα α ≠    += += α α sin cos 0 0 tyy txx t 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > cos sin x a y b ϕ ϕ =  = ϕ (3)曲线 C1:θ=π 6与曲线 C2:ρsin(θ+π 6 )= 3 2 的交点坐标为________. (4)已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ-π 4 )= 2,点 A 的极坐标为 A(2 2,7π 4 ),则点 A 到直线 l 的距离为________. (5)若直线的参数方程为Error!(t 为参数),则直线的斜率为________. (6)椭圆Error!(θ 为参数)的离心率为________. (7)曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数),则曲线 C 的普通方程为________. 四、难点突破: 形如 ( 为参数)的消参方法,其中 是次数不超过二 次的整式,且 可利用下面的定理消参:定理 两个一元二次方程 和 有公共根的充要条件是 例 1 化参数方程 为普通方程,其中 为参数 【针对训练】 1.化参数方程 为普通方程,其中 为参数 2.化参数方程 化为普通方程,其中 为参数 3.化参数方程 化为普通方程,其中 为参数 题型一:利用 解题 1.[2019 ·长沙检测]在平面直角坐标系 中,以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐       = = )( )( )( )( 2 1 2 1 tg tgy tf tfx t )(),(),(),( 2121 xgxgxfxf 0)()( 22 ≠xgxf 011 2 1 =++ cxbxa 022 2 2 =++ cxbxa ))(()( 12211221 2 1221 cbcbbabacaca −−=−      −= += )1(2 )1(2 ttby ttax t    −+= +−= 32 1 2 2 tty ttx t       + −+= + += 1 12 1 12 2 2 2 t tty t tx t       += + −= 2 2 2 1 4 1 1 t ty t tx t ρ xOy O x 标系.已知曲线 的参数方程为 ( 为参数),过原点 且倾斜角为 的直 线 交 于 、 两点. (1)求 和 的极坐标方程; (2)当 时,求 的取值范围. 2.[2019·咸阳模拟]在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为 参数),以坐标原点 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程; (2)在曲线 上取两点 , 与原点 构成 ,且满足 ,求 面 积的最大值. 3.(2018·日照一模)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为Error!(α 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ=π 6(ρ∈R). (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|AB|的值. 4.(2018·南平二模)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C1 的方程为x2 2+y2=1.曲线 C2 的参数方程为Error! (φ 为参数),曲线 C3 的方程为 y=xtanα(0 < α < π 2,x > 0),曲线 C3 与曲线 C1,C2 分别交 于 P,Q 两点. (1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程; (2)求|OP|2·|OQ|2 的取值范围. 5.(2018·南宁模拟)已知曲线 C1 的参数方程为Error!(θ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4sin(θ+π 3 ),直线 l 的直角坐标方 程为 y= 3 3 x. (1)求曲线 C1 和直线 l 的极坐标方程; M 1 cos 1 sin x y ϕ ϕ + = +    = ϕ O α l M A B l M 4 π0,α  ∈   OA OB+ xOy C 3 2cos 1 2sin x y ϕ ϕ  = + = +  ϕ O x C C M N O MON△ π 2MON∠ = MON△ (2)已知直线 l 分别与曲线 C1,曲线 C2 相交于异于极点的 A,B 两点,若 A,B 的极径 分别为 ρ1,ρ2,求|ρ2-ρ1|的值. 6.已知曲线 C 的参数方程为{x=2+2cos θ, y=2sin θ (θ 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+π 6 )=4. (1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若射线 θ=π 3与曲线 C 交于 O,A 两点,与直线 l 交于 B 点,射线 θ=11π 6 与曲线 C 交于 O,P 两点,求△PAB 的面积. 7.[2019·宝鸡模拟]点 是曲线 上的动点,以坐标原点 为极点, 轴的正 半轴为 极轴建立极坐标系,以极点 为中心,将点 逆时针旋转 得到点 ,设点 的轨迹为曲 线 . (1)求曲线 , 的极坐标方程; (2)射线 与曲线 , 分别交于 , 两点,设定点 ,求 的 面积. 题型二:利用 解题 关于 的基础知识:设直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数),直线的参数方程在交点问 题中的应用:(1)若 M1,M2 是直线 l 上的两个点,对应的参数分别为 t1,t2,则|M 0 M 1 → ||M 0 M 2 → |=|t1t2|,| M 1 M 2 → |=|t2-t1|= t 2 +t 1  2 -4t 1 t 2 .;(2)若线段 M1M2 的中点为 M3,点 M1, M2,M3 对应的参数分别为 t1,t2,t3,则 t3=t 1 +t 2 2 .;(3)若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0, y0),则 t1+t2=0,t1t2<0. 提醒:对于形如Error!(t 为参数),当 a2+b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意 义解题.Error!化为标准形式为 ( 为参数) P ( )2 2 1 2 4C x y− + =: O x O P 90° Q Q 2C 1C 2C ( )03 πθ ρ= > 1C 2C A B ( )2,0M MAB△ t t       ′ + += ′ + += ⇒ t ba byy t ba axx 220 220 t 1.[2019·安庆期末]在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数), 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程; (2)设点 ,直线 与曲线 交于不同的两点 、 ,求 的值. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数),直线 l 的 参数方程为Error!(t 为参数). (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 过点 P(a,1),其参数方程为Error!(t 为参数, a∈R).以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos2θ+ 4cosθ-ρ=0. (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)已知曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,且|AB|=8,求实数 a 的值. 4. (2018·石家庄调研)已知在极坐标系中,点 A(2,π 6 ),B(2 3,2π 3 ),C 是线段 AB 的中点.以 极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐标 系,曲线 Ω 的参数方程是{x=2cos θ, y=-2+2sin θ(θ 为参数). (1)求点 C 的直角坐标,并求曲线 Ω 的普通方程; (2)设直线 l 过点 C 交曲线 Ω 于 P,Q 两点,求CP→ ·CQ→ 的值. 5.(2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知 直线 l 的参数方程为{x=tcos φ, y=2+tsin φ(t 为参数,0≤φ<π),曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ=8sin θ. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; xOy l 3 3 x t y t = + = −   t x C 4cosρ θ= l C ( )3,0M l C A B MA MB⋅ (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,当 φ 变化时,求|AB|的最小值. 6.(2018·郑州质检)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{x=3+tcos α, y=2+tsin α (t 为参数).以坐 标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)已知直线 l 上一点 M(3,2),若直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B,求 1 |MA|+ 1 |MB|的取值范 围. 7.在直角坐标系 中,曲线 C: ( 为参数).以原点 O 为极点, 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 与直线 交于 A,B 两点,点 P(1,0),求 的值. 8.平面直角坐标系中,直线 的参数方程为 ( 为参数),以原点为极点, 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程; (2) 已 知 与 直 线 平 行 的 直 线 过 点 , 且 与 曲 线 交 于 , 两 点 , 试 求 . 9.在直角坐标系 中,已知曲线 、 的参数方程分别为 : , : . (1)求曲线 、 的普通方程; l 1 3 1 x t y t = + = + t x C 2 2cos 1 cos θρ θ= − l C l l′ ( )2 0M , C A B MA MB⋅ xoy 1C 2C 1C ( )2cos 3sin x y θ θ θ = = 为参数 2C ( )1 cos sin x t ty t θ θ = +  = 为参数 1C 2C xOy 1 2cos 1 2sin x y α α = +  = − + α x l 2cos 4 2 πρ θ + =   l l PA PB PB PA + (2)已知点 ,若曲线 与曲线 交于 、 两点,求 的取值范 围. 题型三:利用椭圆、圆、抛物线的参数方程 题眼:这类题往往是椭圆、圆、抛物线上的动点到某线或点的距离的最值或范围问题 1.[2019 ·柳州模拟]在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以 坐 标 原 点 为 极 点 , 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 . 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 . (1)求曲线 的普通方程,曲线 的参数方程; (2)若 , 分别为曲线 , 上的动点,求 的最小值,并求 取得最小值时, 点的直角坐标. 2. (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 {x=3cos θ, y=sin θ (θ 为参数),直 线 l 的参数方程为{x=a+4t, y=1-t (t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a. 3..(2017·江苏卷)在平面坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为{x=-8+t, y=t 2 (t 为参数),曲 线 C 的参数方程为{x=2s2, y=2 2s (s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最 小值. 4. (2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2-2 2ρsin(θ-π 4 )-2=0,曲线 C2 的极坐标方 程为 θ=π 4,C1 与 C2 相交于 A,B 两点. (1)把 C1 和 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点 A,B 的直角坐标; ( )1,0P 1C 2C A B PBPA + xOy 1C 3 22 5 22 x t y t   = + = −  t x 2C 2 3 1 2sin ρ θ = + 1C 2C P Q 1C 2C PQ PQ Q (2)若 P 为 C1 上的动点,求|PA|2+|PB|2 的取值范围. 5.在直角坐标系 中,圆 的普通方程为 .在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 . (1)写出圆 的参数方程和直线 的直角坐标方程; (2)设直线 与 轴和 轴的交点分别为 , , 为圆 上的任意一点,求 的取值范围. 题型四:求轨迹问题 1.(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中,点 C 的极坐标为(2,π 3 ). (1)求出以 C 为圆心,半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程); (2)在直角坐标系中,以圆 C 所在极坐标系的极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直 角坐标系,点 P 是圆 C 上任意一点,Q(5,- 3),M 是线段 PQ 的中点,当点 P 在圆 C 上 运动时,求点 M 的轨迹的普通方程. 2. 已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρcos(θ-π 4 )=2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)设点 A 的极坐标为(2,π 3 ),点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. xOy C 2 2 4 6 12 0x y x y+ − − + = x l πsin 24 ρ θ = + =   C l l x y A B P C PA PB⋅  4. (2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的参数方程为{x=cos θ, y=sin θ (θ 为参数),过 点(0,- 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A,B 两点. (1)求 α 的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 5.(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种 坐标系的长度单位相同.已知圆 C1 的极坐标方程为 ρ=4(cos θ+sin θ),P 是 C1 上一动点, 点 Q 在射线 OP 上且满足|OQ|=1 2|OP|,点 Q 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程,并化为直角坐标方程; (2)已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数,0≤φ<π),l 与曲线 C2 有且只有一个公共点, 求 φ 的值. 题型五:综合题 1.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为Error!(t 为参数),直线 l2 的参 数方程为Error!(m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ(cosθ+sinθ)- 2=0, M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. 2. (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ-3=0. (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程. 3. (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为{x=acos t, y=1+asin t(t 为参数,a>0). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上,求 a. 4.极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位,以原点 为极点,以 轴正半轴为极 轴.已知曲线 的极坐标方程为 ,曲线 的极坐标方程为 , 射线 , , , 与曲线 分别交异于极点 的四点 , , , . ( )若曲线 关于曲线 对称,求 的值,并把曲线 和 化成直角坐标方程. ( )求 ,当 时,求 的值域. xOy O x 1C π4cos 3 ρ θ = −   2C πcos 3 aρ θ − =   π 6 θ α= − θ α= π 3 θ α= + π 2 θ α= + 1C O A B C D 1C 2C a 1C 2C ( )f OA OC OB ODα = ⋅ + ⋅ π π 6 3 α≤ ≤ ( )f α