高考北京理科数学试卷 13页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1.（2017北京卷理）若集合，或，则=（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】：A ‎【解析】：，故选A．‎ ‎【考点】：集合的基本运算 ‎【难度】：易 ‎2.（2017北京卷理）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得：，故选B．‎ ‎【考点】：复数代数形式的四则运算 ‎【难度】：易 ‎3.（2017北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【答案】：C ‎【解析】：时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环,，成立，第三次进入循环， 否，输出，故选C．‎ ‎【考点】：程序框图 ‎【难度】：易 ‎4.（2017北京卷理）若，满足 则的最大值为（ ）‎ A.1 B.3 C.5 D.9‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D．‎ ‎【考点】：二元一次不等式组与简单的线性规划 ‎【难度】：易 ‎5.（2017北京卷理）已知函数，则（ ）‎ ‎ A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数 ‎ C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】：A ‎【解析】：，所以函数是奇函数，并且是增函数,是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选A．‎ ‎【考点】：函数奇偶性+单调性 ‎【难度】：易 ‎6.（2017北京卷理）设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】：A ‎【解析】：若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A．‎ ‎【考点】：向量、不等式、逻辑运算 ‎【难度】：易 ‎7.（2017北京卷理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，，故选B．‎ ‎【考点】：三视图 ‎【难度】：易 ‎8．（2017年北京理）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可 观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（ ）‎ ‎（参考数据：）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D．‎ ‎【考点】：对数运算 ‎【难度】：中 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．（2017年北京理）若双曲线的离心率为，则实数 ． ‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：根据题意得 且，解得 ‎【考点】：双曲线离心率 ‎【难度】：易 ‎10．（2017年北京理）若等差数列和等比数列满足，，则= ．‎ ‎【答案】：1‎ ‎【解析】：由题意可知：．‎ ‎【考点】：等差数列+等比数列 ‎【难度】：易 ‎11．(2017年北京理)在极坐标系中，点在圆上，点的坐 标为，则的最小值为______．‎ ‎【答案】：1‎ ‎【解析】：由题意可知，所以．‎ ‎【考点】：极坐标 ‎【难度】：中 ‎12．(2017年北京理)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，= ．‎ ‎【答案】：‎ ‎【解析】：【考点】：三角函数定义+差角公式 ‎【难度】：易 ‎13．(2017年北京理)能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为_______．‎ ‎【答案】：，，‎ ‎【解析】：取分别为不满足，故此命题为假命题 ‎（此题答案不唯一）‎ ‎【考点】：简易逻辑命题真假判断 ‎【难度】：易 ‎14．(2017年北京理)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，，，．①记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是_________．②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的是_________．‎ ‎【答案】：；．‎ ‎【解析】：作图可得中点纵坐标比，中点纵坐标大，所以第一位选，分别作，，关于原点的对称点，，，比较直线，，斜率，可得最大，所以选．‎ ‎【考点】：实际应用，极坐标，对称 ‎【难度】：中 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题13分）在中，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，‎ 所以由正弦定理得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 由，所以．‎ 由余弦定理得，‎ 解得或（舍）．‎ 所以△ABC的面积．‎ ‎【考点】：正弦定理+余弦定理+三角形面积公式 ‎【难度】：易 ‎16．（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，平面，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：为的中点；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】：（Ⅰ）设交点为，连接．‎ 因为平面，平面平面，所以．‎ 因为是正方形，所以为的中点，在中，知为的中点．‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接，．‎ 因为，所以．‎ 又因为平面平面，且平面，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 因为是正方形，所以．‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，．‎ 设平面的法向量为，则，即．‎ 令，则，．于是．‎ 平面的法向量为，所以．‎ 由题知二面角为锐角，所以它的大小为．‎ ‎（Ⅲ）由题意知，，．‎ 设直线与平面所成角为，则．‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【考点】：立体几何+空间向量（二面角、正弦值）‎ ‎【难度】：易 ‎17．（本小题13分）‎ 为了研究一种新药的疗效，选名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中 表示服药者，表示未服药者．‎ ‎（Ⅰ）从服药的名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于的概率；‎ ‎（Ⅱ）从图中四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于 的人数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）试判断这名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大 小．（只需写出结论）‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）大于 ‎【解析】：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，‎ 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为．‎ ‎（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C．‎ 所以的所有可能取值为0,1,2．‎ ‎．‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 故的期望．‎ ‎（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差．‎ ‎【考点】：分布列+数学期望+概率 ‎【难度】：易 ‎18．（本小题14分）‎ 已知抛物线：过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：为线段的中点．‎ ‎【答案】：（Ⅰ）焦点坐标为，准线方程为（Ⅱ）见解析 ‎【解析】：（Ⅰ）由抛物线C：过点，得．‎ 所以抛物线的方程为．‎ 抛物线的焦点坐标为，准线方程为．‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在或斜率为0时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线的斜率存在且不为0．‎ 设为点，过的直线方程为（），设，，显然，，均不为0．‎ 由，得．‎ 考虑，由题意，所以．‎ 则，①‎ ‎． ②‎ 由题意可得，横坐标相等且同为，‎ 因为点P的坐标为，所以直线OP的方程为，点A的坐标为．‎ 直线ON的方程为，点B的坐标为．‎ 若要证明为的中点，只需证，即证，即证，‎ 将代入上式，‎ 即证，即证 ③‎ 将①②代入③得 ，化简有恒成立，‎ 所以恒成立．‎ 故A为线段BM的中点．‎ ‎【考点】：椭圆的性质+直线与椭圆的关系 ‎【难度】：中 ‎19．（本小题13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】（Ⅰ）因为，所以．‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅱ）设，则 ‎．‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减．‎ 所以对任意有，即．‎ 所以函数在区间上单调递减．‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为．‎ ‎【考点】：导数的计算+导数在研究函数中的应用 ‎【难度】：中 ‎20．（本小题13分）设和是两个等差数列，记，其中表示 这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（Ⅰ）易知，，且，，‎ 所以 ‎，‎ ‎．‎ 下面证明：对任意且，都有．‎ 当且时，‎ ‎∵且 ‎∴．‎ 因此对任意且，，则．‎ 又∵，‎ 故对均成立，从而是等差数列 ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，下面我们考虑的取值．‎ 对，，，‎ 考虑其中任意项且，‎ 下面分，，三种情况进行讨论．‎ ‎（1）若，则 ‎①若，则 则对于给定的正整数而言，‎ 此时，故是等差数列 ‎②，则 则对于给定的正整数而言，‎ 此时，故是等差数列 此时取，则是等差数列，命题成立．‎ ‎（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，‎ 因此，当时，．‎ 此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．‎ ‎（3），则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．‎ 故必存在，使得当时，‎ 则当时，‎ 因此当时，．‎ 此时 令，，‎ 下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．‎ ‎①若，则取（表示不等于的最大整数）‎ 当时，‎ 此时命题成立．‎ 若，则取 当时 此时命题成立．‎ 因此，对任意正数，使得当时，．‎ 综合以上三种情况，命题得证．‎ ‎【考点】：等差数列+不等式 ‎【难度】：易