高考数学必考圆锥曲线经典结论与题型含详解 77页

直线和圆锥曲线常考ian锥曲线经题型与经典结论 椭 圆 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的外角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.‎ 5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.‎ 6. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.‎ 8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：‎ ‎,( , ).‎ 9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，‎ 即。‎ 12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 双曲线 1. 点P处的切线PT平分△PF‎1F2在点P处的内角.‎ 2. PT平分△PF‎1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.‎ 3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.‎ 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）‎ 5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.‎ 6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.‎ 7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.‎ 8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( , ‎ 当在右支上时，,.‎ 当在左支上时，,‎ 9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.‎ 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.‎ 11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。‎ 12. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.‎ 1. 若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）‎ 高三数学备课组 椭 圆 1. 椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则.‎ 4. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 5. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.‎ 6. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.‎ 7. 椭圆与直线有公共点的充要条件是.‎ 1. 已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.‎ 2. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 3. 已知椭圆（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.‎ 4. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 5. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .‎ 6. 已知椭圆（ a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 7. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 8. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 9. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ‎ ‎（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）‎ 1. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 2. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.‎ 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）‎ 高三数学备课组 双曲线 1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.‎ 2. 过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.‎ 3. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.‎ 4. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF‎1F2中，记, ,，则有.‎ 5. 若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与 PF2的比例中项.‎ 1. P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.‎ 2. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.‎ 3. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.‎ ‎（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.‎ 4. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.‎ 5. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.‎ 6. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .‎ 7. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).‎ ‎(2) .(3) .‎ 8. 已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.‎ 1. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.‎ 2. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.‎ 3. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).‎ ‎(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).‎ 4. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.‎ 5. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.‎ 直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．‎ 直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。‎ 解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：‎ ‎（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，‎ ‎（2）联立直线和曲线的方程组；‎ ‎（3）讨论类一元二次方程 ‎（4）一元二次方程的判别式 ‎（5）韦达定理，同类坐标变换 ‎（6）同点纵横坐标变换 ‎（7）x,y，k(斜率)的取值范围 ‎（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识：‎ ‎1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。‎ ‎2、弦长公式：若点在直线上，‎ 则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，‎ 或者 ‎。‎ ‎3、两条直线垂直：则 两条直线垂直，则直线所在的向量 ‎4、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。‎ 常见的一些题型：‎ 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围 思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），和动点。‎ 解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。‎ 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：‎ 证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。‎ 练习：1、过点P(3,2) 和抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）条。‎ ‎　　A．4　　B．3　　C．2　　D．1‎ 分析：作出抛物线，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。‎ 解：抛物线 如图，点P（3，2）在抛物线的内部，根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线 只有一个公共点的直线有一条。故选择D 规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图）‎ 一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：‎ ‎（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；‎ ‎（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；‎ ‎（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。‎ 二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：‎ ‎（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；‎ ‎（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；‎ ‎（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；‎ ‎（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；‎ ‎（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。‎ 题型二：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。‎ 例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。‎ 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。‎ 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。‎ 设直线，，，。 由消y整理，得 ① 由直线和抛物线交于两点，得 即 ② 由韦达定理，得：。 则线段AB的中点为。 线段的垂直平分线方程为： 令y=0,得，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为。 ‎ ‎ 解得满足②式 此时。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。 例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。‎ ‎（Ⅰ）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。‎ 分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB的方程求出中点的总坐标，再有弦AB的斜率，得到线段AB的垂直平分线的方程，就可以得到点G的坐标。 ‎ 解：(I) ∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2. ∵圆过点O、F,∴圆心M在直线x=- 设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= ‎ ‎ 由|OM|=r，得，解得t=±， ∴所求圆的方程为(x+)2+(y±)2=. (II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,‎ 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0)， 代入+y2=1，整理得 (1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0 ∵直线AB过椭圆的左焦点F， ∴方程一定有两个不等实根, 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)， 则x1+x1=- ‎ ‎∴AB垂直平分线NG的方程为 ‎ 令y=0，得 ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴点G横坐标的取值范围为（）。 技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。‎ 练习1：已知椭圆过点，且离心率。‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎ （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。‎ 分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到的关系式，再根据“过点”得到的第2个关系式，解方程组，就可以解出的值，确定椭圆方程。‎ 第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐标，由中点坐标和定点，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之积为-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范围。‎ 解：（Ⅰ）离心率，，即（1）；‎ 又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，弦MN的中点A 由得：，‎ 直线与椭圆交于不同的两点，‎ ‎，即………………（1）‎ 由韦达定理得：，‎ 则，‎ 直线AG的斜率为：，‎ 由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。‎ 老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。‎ 练习2、设、分别是椭圆的左右焦点．是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ 分析：由得，点C、D关于过的直线对称，由直线l过的定点A(5,0)不在的内部，可以设直线l的方程为：，联立方程组，得一元二次方程，根据判别式，得出斜率k的取值范围，由韦达定理得弦CD的中点M的坐标，由点M和点F1的坐标，得斜率为，解出k值，看是否在判别式的取值范围内。‎ 解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A的直线的斜率存在，且不等于。设直线l 的方程为：，C、D，CD的中点M。‎ 由得：，‎ 又直线l与椭圆交于不同的两点C、D，则，即。‎ 由韦达定理得：，‎ 则，M(，)。‎ 又点，则直线的斜率为，‎ 根据得：，即，此方程无解，即k不存在，也就是不存在满足条件的直线。‎ 老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。‎ 题型三：动弦过定点的问题 圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”‎ 出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。 例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。‎ 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。 从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得 是方程的两个根， 则，， 即点M的坐标为 ‎， 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ， 直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又， 椭圆的焦点为 ，即 故当时，MN过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M的横坐标：，‎ 再利用直线A‎1M的方程通过同点的坐标变换，得点M的纵坐标：；‎ 其实由消y整理得，得到，即，很快。‎ 不过如果看到：将中的换下来，前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，‎ 这样真容易出错，但这样减少计算量。‎ ‎ 本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线上也在直线A2N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足。‎ 另外：也可以直接设P(t，y0)，通过A1，A2的坐标写出直线PA1，PA2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M、N的坐标，再写出直线MN的方程。再过点F，求出t值。‎ 例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。‎ 分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。‎ 解（I）由题意设椭圆的标准方程为 ‎，‎ ‎（II）设，由得 ‎，‎ ‎，‎ ‎（注意：这一步是同类坐标变换）‎ ‎（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）‎ 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，解得 ‎，且满足 当时，，直线过定点与已知矛盾；‎ 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 名师经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。‎ 练习：直线和抛物线相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。‎ 分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，若设，则，再通过，将条件转化为 ‎，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到，，解出k、m的等式，就可以了。‎ 解：设，由得，，（这里消x得到的）‎ 则………………（1）‎ 由韦达定理，得：，‎ 则，‎ 以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，即，‎ 可得，则，‎ 即，又，则，且使（1）成立，‎ 此时，直线恒过点。‎ 名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。‎ ‎ 本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？‎ 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。‎ 例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程； (II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 ‎ ‎ 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O 又 点C的坐标为。 A是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为： 将点C代入方程，得， 椭圆E的方程为 (II) 直线PC与直线QC关于直线对称， 设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为： ，即 ， 由消y，整理得： 是方程的一个根， ‎ ‎ 即 同理可得： ＝ ＝ ＝ 则直线PQ的斜率为定值。 方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用是方程 的根，易得点P的横坐标： ，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标： ，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。‎ 接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。 直接计算、，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。‎ 练习1、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。 从而椭圆的方程为 （II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得 是方程的两个根 则，， 即点M的坐标为 同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ‎ ‎， 直线MN的方程为：， 令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得： 又， 椭圆的焦点为 ，即 故当时，MN过椭圆的焦点。 方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理得到点M的横坐标： ，利用直线A‎1M的方程通过坐标变换，得点M的纵坐标：； 再将中的换下来，前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。 本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线上也在直线A2N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足。‎ 练习2、：（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。‎ （1） 求椭圆C的方程；‎ （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 ‎ 分析：第一问中，知道焦点，则 ，再根据过点A，通过解方程组，就可以求出 ，求出方程。‎ 第二问中，设出直线AE的斜率k，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点A的坐标，可以求出点E的坐标,将点E中的k,用-k换下来，就可以得到点F的坐标，通过计算yE-yF，xE-xF，就可以求出直线EF的斜率了 解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A的坐标代入方 程： ，解得 ， （舍去）‎ 所以椭圆方程为 。 ‎ ‎（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得 ‎ 设,,因为点在椭圆上，所以 ‎ ‎ ‎ ………8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分 老师总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。‎ 题型五：共线向量问题 解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。‎ 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。‎ 分析：由可以得到，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用表示出来。‎ 解：设P(x1,y1),Q(x2,y2), (x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即 方法一：方程组消元法 又P、Q是椭圆+=1上的点 消去x2， 可得 即y2= 又－2y22， －22 解之得：‎ ‎ 则实数的取值范围是。‎ 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：， 由消y整理后，得 P、Q是曲线M上的两点 ＝ 即 ① 由韦达定理得： ‎ ‎ 即 ② 由①得，代入②，整理得 ， 解之得 当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。 总之实数的取值范围是。 方法总结：‎ 通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。‎ 例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．‎ 分析：‎ ‎（07福建理科）如图，已知点（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过作直线l的垂线，垂足为点，且 ‎（Ⅰ）求动点的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。‎ 小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得.‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为： ‎ ‎.‎ 设，，又，‎ 联立方程组，消去得：‎ ‎，，故 由，得：‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）由已知，，得.‎ 则：.…………①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，‎ 则有：.…………②‎ 由①②得：，即.‎ 练习：设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若 ‎，求直线l的方程．‎ 山东2006理 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线。‎ （I） 求双曲线C的方程；‎ ‎(II)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当，且时，求Q点的坐标。‎ 解：‎ ‎（Ⅱ）解法一：‎ 由题意知直线的斜率存在且不等于零。‎ 设的方程：，‎ 则 在双曲线上，‎ 同理有：‎ 若则直线过顶点，不合题意.‎ 是二次方程的两根.‎ ‎，‎ 此时.‎ 所求的坐标为.‎ 解法二：‎ 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，则.‎ ‎，‎ 分的比为.‎ 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三：‎ 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又，‎ 即 将代入得 ‎，否则与渐近线平行。‎ ‎。‎ 解法四：‎ 由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，‎ 则 ‎,‎ ‎。‎ 同理 ‎ ‎.‎ 即 （*）‎ 又 ‎ 消去y得.‎ 当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。‎ 由韦达定理有：‎ 代入（*）式得 ‎ 所求Q点的坐标为。‎ 练习：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标不为0），若，求的值。‎ 解：（1）设椭圆C的方程为：，则b=1，由，得，则椭圆的方程为：‎ ‎（2）由得：，设，‎ 有得：‎ 解得：，‎ 根据PA、PB都不与x轴垂直，且，设直线PA的方程为：，代人，整理后，得：‎ 根据韦达定理，得：，则，‎ 从而，‎ 同理可求 则 由为椭圆上一点得：，‎ 则，‎ 故的值为18.‎ 题型六：面积问题 例题8、（07陕西理）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，。‎ ‎（1）当轴时，。‎ ‎（2）当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为。‎ 由已知，得。‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，。‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。当时，，‎ 综上所述。‎ 当最大时，面积取最大值。‎ 练习1、（07浙江理）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。‎ ‎（Ⅰ）求在，的条件下，的最大值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。‎ 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。‎ 解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，‎ 由，解得，‎ 所以 当且仅当时，取到最在值1，‎ ‎（Ⅱ）解：由 得 ‎ 设到的距离为，则 又因为 所以代入②式并整理，得 解得，代入①式检验，。‎ 故直线的方程是 ‎。‎ 练习2、（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。‎ 解：设椭圆方程为 ‎（I）由已知得 ‎ 所求椭圆方程为 ‎（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，‎ 设直线l的方程为，‎ 由 消去y得关于x的方程：‎ 由直线l与椭圆相交A、B两点，△，‎ 解得，‎ 又由韦达定理得 ‎ ‎ .‎ 原点O到直线l的距离 解法1：对两边平方整理得：‎ ‎ （*）‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 整理得：‎ 又，‎ ‎.‎ 从而的最大值为，‎ 此时代入方程（*）得 所以，所求直线方程为： .‎ 解法2：令，‎ 则，‎ ‎ .‎ 当且仅当即时，‎ 此时.‎ 所以，所求直线方程为 .‎ 解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.‎ 设直线l的方程为，，‎ 则直线l与x轴的交点 由解法一知：且 ‎ 解法1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 下同解法一 解法2：‎ ‎ ‎ 下同解法一 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。‎ 解：由＝得，所以椭圆方程设为 设直线，由 得：‎ 设，则是方程的两个根 由韦达定理得 所以 ‎＝‎ 当且仅当时，即轴时取等号 ‎ 所以，所求椭圆方程为 题型七：弦或弦长为定值问题 例题9、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A、B两点。‎ ‎（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）‎ 本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.‎ 解法1：‎ ‎（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.‎ 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.‎ 于是 ‎＝‎ ‎＝‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则 ‎＝.‎ ‎=‎ ‎＝‎ ‎=‎ 令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线.‎ 解法2：‎ ‎（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎＝‎ 又由点到直线的距离公式得.‎ 从而，‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为 将直线方程y=a代入得 设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x2,y2）,Q（x4,y4）,则有 令为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为.‎ 即抛物线的通径所在的直线。‎ 练习、（山东09理）（22）（本小题满分14分）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以 ‎,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”.‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.‎ 题型八：角度问题 ‎　例题9、（08重庆理）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求点P的坐标.‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长‎2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②，得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为 练习1、（05福建理）已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：(a>b>0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足 cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.‎ 本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分.‎ ‎（I）解法一：直线， ① ‎ 过原点垂直的直线方程为， ②‎ 解①②得 ‎∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ 解法二：直线.‎ 设原点关于直线对称点为（p，q），则解得p=3.‎ ‎∵椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，‎ ‎ ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.‎ ‎ 故椭圆C的方程为 ③‎ ‎（II）解法一：设M（），N（）.‎ 当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得 ‎ ‎ 点O到直线MN的距离 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 整理得 ‎ 当直线m垂直x轴时，也满足.‎ ‎ 故直线m的方程为 ‎ 或或 ‎ 经检验上述直线均满足.‎ 所以所求直线方程为或或 解法二：设M（），N（）.‎ ‎ 当直线m不垂直轴时，直线m：y=k(x+2)代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ ∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，‎ ‎ ∴|MN|=|ME|+|NE|‎ ‎=‎ ‎ 以下与解法一相同.‎ 解法三：设M（），N（）.‎ ‎ 设直线，代入③，整理得 ‎ ‎ ‎ |y1-y2|==‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴=，整理得 ‎ ‎ 解得或 ‎ 故直线m的方程为或或 ‎ 经检验上述直线方程为 ‎ 所以所求直线方程为或或 练习2、（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 ‎（以下同解法一）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即 ∴‎ 故由①、②得或 练习3、（08陕西理）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O 由韦达定理得，，‎ ‎，点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得，‎ 直线与抛物线相切，‎ ‎，．‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，‎ ‎．‎ 由（Ⅰ）知 ‎．‎ 轴，．‎ 又 ‎ ．‎ ‎，解得．‎ 即存在，使．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ‎．由韦达定理得．‎ ‎，点的坐标为．，，‎ 抛物线在点处的切线的斜率为，．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使．‎ 由（Ⅰ）知，则 ‎，‎ ‎，，解得．‎ 即存在，使．‎ 问题九：四点共线问题 例题10、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 ‎22解 (1)由题意：‎ ‎ ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2)方法一 ‎ 设点Q、A、B的坐标分别为。‎ 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ‎ ‎ ， ‎ 从而 ‎ ‎ ，（1） ，（2）‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ‎ ‎ （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。‎ 且 ‎ 又 四点共线，可设,于是 ‎ （1）‎ ‎ （2）‎ 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 ‎ （3）‎ ‎ (4)‎ ‎(4)－(3) 　　　得 ‎ 即点总在定直线上 练习1、（08四川理）设椭圆 的左、右焦点分别为、，离心率，右准线为，、是上的两个动点，．‎ ‎（Ⅰ）若，求、的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．‎ 解析：数列和解几位列倒数第三和第二，意料之中．开始挤牙膏吧．‎ ‎（Ⅰ）由已知，‎ ‎，．‎ 由，，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，．‎ ‎∴：，，．‎ 延长交于，记右准线交轴于．‎ ‎∵，∴．‎ 由平几知识易证≌‎ ‎∴，‎ 即，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，，，．‎ ‎∴，．‎ ‎（Ⅰ）另解：∵，∴，．‎ 又 联立，消去、得：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ ‎．解得．‎ 但解此方程组要考倒不少人．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴．‎ ‎．‎ 当且仅当或时，取等号．此时取最小值．‎ 此时．‎ ‎∴与共线．‎ ‎（Ⅱ）另解：∵，‎ ‎∴，．‎ ‎　设，的斜率分别为，．‎ 由，‎ 由 ‎．‎ 当且仅当即，时取等号．‎ 即当最小时，，‎ 此时∴与共线．‎ 点评：本题第一问又用到了平面几何．看来，与平面几何有联系的难题真是四川风格啊．注意平面几何可与三角向量解几沾边，应加强对含平面几何背景的试题的研究．本题好得好，出得活，出得妙！均值定理，放缩技巧，永恒的考点．‎ 问题十：范围问题（本质是函数问题）‎ 例题1、已知直线相交于A、B两点。‎ ‎ （1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；‎ ‎ （2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值。‎ ‎（07四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 ‎（以下同解法一）‎ ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即 ∴‎ 故由①、②得或 ‎（山东09理）（22）（本小题满分14分）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或 满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”.‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎（2009湖南卷文）（本小题满分13分）‎ ‎ 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程;‎ ‎（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。‎ 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，‎ 由题设条件知， 所以 ‎ 故椭圆C的方程为 .‎ ‎（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，‎ 显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 ‎ ‎ 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，‎ ‎ ‎ ‎ 由得. ……①‎ 由解得. ……②‎ 因为是方程①的两根，所以，于是 ‎ =， .‎ 因为，所以点G不可能在轴的右边，‎ 又直线,方程分别为 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 ‎ 即 亦即 ‎ 解得，此时②也成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故直线斜率的取值范围是 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）‎ ‎(2009山东卷理)（本小题满分14分）‎ 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，‎ ‎（I）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。‎ 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,‎ 所以解得所以椭圆E的方程为 ‎（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得 ‎,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则△=,即 ‎,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎, ‎ ‎①当时 因为所以,‎ 所以,‎ 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ② 当时,.‎ ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,‎ 综上, |AB |的取值范围为即: ‎ ‎【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.‎ ‎(2009山东卷文)（本小题满分14分）‎ 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.‎ ‎（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;‎ ‎(3)已知,设直线与圆C:(10）与x轴 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.‎ ‎(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；‎ ‎（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 ‎ ‎19.【解析】‎ 解法一：‎ ‎(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.‎ ‎(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.‎ 又AB=2,故在△SAE中,有 ‎ (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上, ‎ ‎(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.‎ 由于点M在以SB为直线的圆上,故.‎ 显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.‎ 由 设点 故,从而.‎ 亦即 由得 由,可得即 经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.‎ 由于点M在以SO为直径的圆上,故.‎ 显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为 由 设点,则有 故 由所直线SM的方程为 O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.‎ 故存在,使得O,M,S三点共线.‎ ‎(2009陕西卷理)（本小题满分12分）‎ 已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。‎ ‎（I）求双曲线C的方程； ‎ ‎(II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。 ‎ ‎28．（本小题满分14分）‎ 已知双曲线C的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 离心率顶点到渐近线的距离为 ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若求△AOB面积的取值范围.‎ 解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点到渐近线 ‎∴‎ 由 得 ∴双曲线C的方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为 设 ‎ 由得P点的坐标为 将P点坐标代入化简得 设∠AOB 又 记 由 当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是 解答二（Ⅰ）同解答一 ‎ （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 由{ 得A点的坐标为 ‎ 由{ 得B点的坐标为 ‎ 由得P点的坐标为 ‎ ‎ 将P点坐标代入 设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.‎ ‎ = ‎