春季高考数学试题及答案北京理 10页

‎2004年普通高等学校春季招生考试数学（理工）（北京卷）‎ 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 在函数中，最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. ‎ ‎2. 当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6. 已知，则下列不等关系中必定成立的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知三个不等式：（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm ‎，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（ ）‎ ‎ A. B. 1 C. D. 2‎ 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。‎ ‎11. 若为函数的反函数，则的值域是_________。‎ ‎12. 的值为____________。‎ ‎13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨。‎ ‎14. 若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有_________个。‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎15. （本小题满分13分） 当时，解关于x的不等式。‎ ‎16. （本小题满分13分） 在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。‎ ‎17. （本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，。‎ ‎ ‎ ‎ （I）求证； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；‎ ‎ （III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。‎ ‎18. （本小题满分15分） 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）‎ ‎ （I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；‎ ‎ （II）求线段BC中点M的坐标； （III）求BC所在直线的方程。‎ ‎19. （本小题满分14分） 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。‎ ‎（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？‎ ‎（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；‎ ‎（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）‎ ‎20. （本小题满分14分） 下表给出一个“等差数阵”：‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎ 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。‎ ‎（I）写出的值； （II）写出的计算公式；‎ ‎（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。‎ ‎2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工）（北京卷）‎ 参考解答 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎ 1. A 2. D 3. A 4. C 5. B ‎ 6. B 7. D 8. C 9. C 10. B 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。‎ ‎ 11. 12. 1 13. ‎ ‎ 14. 2‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎15. 本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分。‎ ‎ 解：由，原不等式可化为 ‎ 这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：‎ ‎ 或 ‎ 解不等式组(1)得解集 解不等式组(2)得解集 ‎ 所以原不等式的解集为 ‎16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分13分。‎ ‎ 解：（I）成等比数列 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ （II）在中，由正弦定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分15分。‎ ‎ （I）证明：如图1‎ 图1‎ ‎ 底面ABCD是正方形 ‎ ‎ 底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 ‎ 由三垂线定理得 ‎ ‎ ‎ （II）解：‎ ‎ 底面ABCD，且ABCD为正方形 ‎ 可以把四棱锥补形为长方体，如图2‎ ‎ 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，‎ ‎ 又 为所求二面角的平面角 ‎ 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ‎ 即面ASD与面BSC所成的二面角为 图2‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎ （III）解：如图3 ‎ ‎ 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点 ‎ 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 ‎ 由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为 ‎ ‎ 图4‎ ‎18. 本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分 解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得 ‎ 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）‎ ‎（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则 ‎ 解得 所以点M的坐标为 ‎（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。‎ ‎ 设BC所成直线的方程为 ‎ ‎ 由消x得 ‎ ‎ 所以 由（II）的结论得 解得 ‎ 因此BC所在直线的方程为 即 ‎19. 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分 解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则 ‎ ‎ ‎ 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。‎ ‎（II）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 所以 ‎（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则 ‎ ‎ ‎ 当时，；当时，‎ ‎ 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；‎ ‎ 如果订购1000个，利润是11000元。‎ ‎20. 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分14分 ‎ 解：（I）‎ ‎ （II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：‎ ‎ ‎ ‎ 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ 第i行是首项为，公差为的等差数列，因此 ‎ ‎ ‎ （III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。‎ ‎ 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 可见N在该等差数阵中 ‎ 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。‎