高考双曲线单元测试题 20页

‎ 2019高考双曲线单元测试题 ‎1.双曲线的渐近线为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 2.A已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎ 4.已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 6．斜率为 的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. [2，+∞） B. （2，+∞） C. D. ‎ ‎7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为（），抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8.若双曲线与双曲线的焦距相等，则实数的值为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎9．已知点是双曲线（， ）右支上一点， 是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 11.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、 填空题 ‎13. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________．‎ ‎14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．‎ ‎ ‎ ‎15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________‎ ‎16.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．‎ 三、解答题 ‎ ‎17.已知三点P、 、 .‎ ‎（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程.‎ ‎ ‎ ‎18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ，在坐标轴上，离心率为，且过点．‎ ‎（1） 求双曲线的标准方程；‎ ‎（2） 若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．‎ ‎19.已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切．‎ ‎ ‎ ‎20.已知双曲线的焦点是椭圆： 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点， 在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎ ‎ ‎21.已知双曲线的左右两个顶点是， ，曲线上的动点关于轴对称，直线 与交于点，‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎22.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；‎ ‎（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1.双曲线的渐近线为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2.A已知双曲线的中心为原点，点是双曲线的一个焦点，点到渐近线的距离为1，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为点到渐近线的距离为1，所以b=1，因为c=,所以a=1，因此的方程为，选A.‎ ‎3.双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（ ）‎ A． 2 B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4.已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由方程表示双曲线，焦点坐标在y轴上，可知，‎ 则c2=a2+b2=25，即， 故双曲线的焦点坐标为：， 故选：C．‎ ‎5.已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎6．斜率为 的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. [2，+∞） B. （2，+∞） C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，∴ ＞，‎ ‎∴e== ＞．‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围是（，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，焦距为（），抛物线的准线交双曲线左支于，两点，且（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎8．若双曲线与双曲线的焦距相等，则实数的值为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，选C.‎ ‎9．已知点是双曲线（， ）右支上一点， 是右焦点，若（是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意及三角函数定义,点A(ccos,csin),即A(c, c)，‎ 代入双曲线方程，‎ 可得 b2c2−3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1，‎ 故选：D.‎ ‎10.已知双曲线，的左焦点为F，离心率为，若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎11已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.‎ 方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.‎ ‎12.已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 二、填空题 ‎13. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为方程表示双曲线，‎ 所以，即.‎ ‎14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎15.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题意，双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线的方程为，‎ ‎ 由点到直线的距离公式得，‎ 即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎ ‎17.已知三点P、 、 .‎ ‎（1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求以、为焦点且过点P的双曲线的标准方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) -.‎ ‎ ‎ ‎（2）∵双曲线焦点在轴上，故设所求双曲线的标准方程为- ，由双曲线的定义知，‎ ‎，‎ ‎∴， ，‎ 故所求双曲线的标准方程为-.‎ ‎ ‎ ‎18.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ，在坐标轴上，离心率为，且过点．‎ ‎（1） 求双曲线的标准方程；‎ ‎（2） 若点在第一象限且是渐近线上的点，当时，求点的坐标．‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎ ‎ ‎（2）因为等轴双曲线的渐近线方程为，‎ 点在第一象限且是渐近线上的点，‎ ‎∴设点坐标为，‎ ‎∵等轴双曲线，所以，‎ 不妨设），‎ 所以，，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 解得（舍去负值），‎ 所以点的坐标为．‎ ‎19.已知双曲线：的一条渐近线为，右焦点到直线的距离为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）斜率为且在轴上的截距大于的直线与曲线相交于、两点，已知，若证明：过、、三点的圆与轴相切．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎ ‎ ‎（2）设直线的方程为，则，，的中点为 由 得 ‎ ‎∴，‎ ‎∵，即 ‎∴（舍）或 ‎∴， 点的横坐标为 ‎ ‎ ‎20.已知双曲线的焦点是椭圆： 的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点， 在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆： （）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎ ‎ 设， ，‎ 根据根与系数的关系得， .‎ 则 .‎ 因为，即 .‎ 整理得.‎ 令，则.‎ 所以 .‎ 等号成立的条件是，此时， 满足，符合题意.‎ 故的最大值为.‎ ‎21.已知双曲线的左右两个顶点是， ，曲线上的动点关于轴对称，直线 与交于点，‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎ ‎ ‎（2）过的直线若斜率不存在则或3，‎ 设直线斜率存在， ‎ ‎ ，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎22.如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；‎ ‎（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）;（Ⅲ）.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设P（），‎ 则=，.‎ 因为点P在双曲线上，所以.‎ 因此，即 ‎（Ⅲ）设A（，），B（），由于的方程为，将其代入椭圆方程得 ‎ ‎ 所以，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故恒成立. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎