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- 2021-05-13 发布
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学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
导学目标:1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:(1)|a+b|≤|a|+|b|,(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
自主梳理
1.含________________的不等式叫做绝对值不等式.
2.解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号,基本方法有如下几种:
(1)分段讨论:
根据|f(x)|=去掉绝对值符号.
(2)利用等价不等式:
|f(x)|≤g(x)⇔-g(x)≤f(x)≤g(x);
|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤-g(x)或f(x)≥g(x).
(3)两端同时平方:即运用移项法则,使不等式两边都变为非负数,再平方,从而去掉绝对值符号.
3.形如|x-a|+|x-b|≥c (a≠b)与|x-a|+|x-b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种:
(1)运用绝对值的几何意义;
(2)____________________;
(3)构造分段函数,结合函数图象求解.
4.(1)定理:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当____________时,等号成立.
(2)重要绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件,即
|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0;
|a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0;
|a|-|b|=|a+b|⇔b(a+b)≤0;
|a|-|b|=|a-b|⇔b(a-b)≥0;
注:|a|-|b|=|a+b|⇔|a|=|a+b|+|b|⇔|(a+b)-b|=|a+b|+|b|⇔b(a+b)≤0.
同理可得|a|-|b|=|a-b|⇔b(a-b)≥0.
自我检测
1.(2010·江西)不等式>的解集是( )
A.(0,2) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞)
2.(2011·天津)已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B={x∈R|x=4t+-6,t∈(0,+∞)},则集合A∩B=________.
3.(2011·潍坊模拟)已知不等式|x+2|+|x-3|≤a的解集不是空集,则实数a的取值范围是( )
A.a<5 B.a≤5
C.a>5 D.a≥5
4.若不等式|x+1|+|x-2|7+x;
(3)|x-1|+|2x+1|<2.
变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x+|2x-1|<3.
探究点二 绝对值不等式的恒成立问题
例2 (2011·商丘模拟)已知不等式|x+2|-|x+3|>m.
(1)若不等式有解;
(2)若不等式解集为R;
(3)若不等式解集为∅.
分别求出实数m的取值范围.
变式迁移2 设函数f(x)=|x-1|+|x-2|,若f(x)>a对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
探究点三 绝对值三角不等式定理的应用
例3 “|x-A|<,且|y-A|<”是“|x-y|<ε”(x,y,A,ε∈R)的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
变式迁移3 (1)求函数y=|x+2|-|x-2|的最大值;
(2)求函数y=|x-3|+|x+2|的最小值.
转化与化归思想的应用
例 (10分)设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a (-1≤x≤1),
(1)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤;(2)求a的值,使函数f(x)有最大值.
多角度审题 第(1)问|f(x)|≤⇔-≤f(x)≤,因此证明方法有两种,一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤;二是证明-≤f(x)≤亦可.第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为,求a的值.由于x∈[-1,1],f(x)是关于x的二次函数,那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[-1,1]上.
【答题模板】
证明 (1)方法一 ∵-1≤x≤1,∴|x|≤1.又∵|a|≤1,
∴|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|
=-2+≤.[3分]
∴若|a|≤1,则|f(x)|≤.[5分]
方法二 设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.
∵-1≤x≤1,
∴当x=±1,
即x2-1=0时,|f(x)|=|g(a)|=1≤;[1分]
当-12 B.|a+b|+|a-b|<2
C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小
3.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞)
4.若不等式|8x+9|<7和不等式ax2+bx>2的解集相等,则实数a、b的值分别为( )
A.a=-8,b=-10 B.a=-4,b=-9
C.a=-1,b=9 D.a=-1,b=2
5.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|≤a2-2a-1在R上的解集为∅,则实数a的取值范围是( )
A.a<-1或a>3 B.-13,则<.其中所有正确命题的序号是________________.
7.(2010·陕西)不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为________.
8.(2011·深圳模拟)若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是_____________________________________________________________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2010·福建)已知函数f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
10.(12分)(2009·辽宁)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;
(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.
11.(14分)对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围.
学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
自主梳理
1.绝对值符号 3.(2)零点分区间讨论法
4.(1)(a-b)(b-c)≥0
自我检测
1.A [∵>,∴<0,∴0<x<2.]
2.{x|-2≤x≤5}
解析 |x+3|+|x-4|≤9,
当x<-3时,-x-3-(x-4)≤9,即-4≤x<-3;
当-3≤x≤4时,x+3-(x-4)=7≤9恒成立;
当x>4时,x+3+x-4≤9,即40,又∵x<0,∴x不存在;
当0≤x<时,原不等式可化为-2x+10,
又∵0≤x<,∴07+x,
可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),
整理得x>2,或x<-4.
∴原不等式的解集是{x|x<-4,或x>2}.
(3)由题意x=1时,|x-1|=0,x=-时,2x+1=0(以下分类讨论).
所以①当x<-时,原不等式等价于得-1时,原不等式等价于得x无解.
由①②③得原不等式的解集为{x|-m恒成立,须有[f(x)]min>m;
(3)不等式的解集为R,即不等式恒成立;
(4)不等式的解集为∅,即不等式无解.
解 因为|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)、B(-3)距离的差.
即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|.
易知(|PA|-|PB|)max=1,
(|PA|-|PB|)min=-1.
即|x+2|-|x+3|∈[-1,1].
(1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可,即m<1.
(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m小于|x+2|-|x+3|的最小值即可,所以m<-1.
(3)若不等式的解集为∅,m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可,即m≥1.
变式迁移2 解 由|x-1|+|x-2|的几何意义,即数轴上的点x到数轴上的点1,2的距离之和知,|x-1|+|x-2|≥1,要使|x-1|+|x-2|>a恒成立,只须1>a.
即实数a的取值范围为(-∞,1).
例3 解题导引 对绝对值三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
(1)当ab≥0时,|a+b|=|a|+|b|;
当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|.
(2)该定理可以推广为|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,也可强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推证.
(3)利用“=”成立的条件可求函数的最值.
A [∵|x-y|=|x-A-(y-A)|,
∴由三角不等式定理
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
得:|x-y|≤|x-A|+|y-A|<+=ε.
反过来由|x-y|<ε,得不出|x-A|<且|y-A|<,
故选A.]
变式迁移3 解 (1)|x+2|-|x-2|
≤|(x+2)-(x-2)|=4,
当x>2时,“=”成立.
故函数y=|x+2|-|x-2|的最大值为4.
(2)|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=5.
当-2≤x≤3时,取“=”.
故y=|x-3|+|x+2|的最小值为5.
课后练习区
1.A [∵|x2-x|<2,∴-20 (b<0时同理).
(1)当-13,∴<,∴<,即||<.
故①、②、③都正确.
7.{x|x≥1}
解析 原不等式可化为:
或
或
∴x∈∅或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}.
8.(-∞,0)∪{2}
解析 由|x+1|+|x-3|的几何意义知,
|x+1|+|x-3|∈[4,+∞),∴a+≤4.
当a>0时,a+≥4,当且仅当a=2时,取等号,
当a<0,显然符合题意.
9.解 方法一 (1)由f(x)≤3
得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3.(3分)
又已知不等式f(x)≤3的解集为
{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.(6分)
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=(8分)
所以当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
综上可得,g(x)的最小值为5.(10分)
从而若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)min≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
方法二 (1)同方法一.(6分)
(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.
设g(x)=f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|.
由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立)得,
g(x)的最小值为5.(10分)
从而,若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)min≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5].(12分)
10.解 (1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|.
由f(x)≥3得|x-1|+|x+1|≥3.
①当x≤-1时,不等式化为1-x-1-x≥3,即-2x≥3.
不等式组的解集为.(2分)
②当-11时,不等式化为x-1+x+1≥3,即2x≥3.
不等式组的解集为.
综上得,f(x)≥3的解集为∪.(6分)
(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件.
若a<1,f(x)=(8分)
f(x)的最小值为1-a.(9分)
若a>1,f(x)=(11分)
f(x)的最小值为a-1.
所以∀x∈R.f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,从而a的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).(12分)
11.解 由题知,|x-1|+|x-2|≤恒成立.
故|x-1|+|x-2|不大于的最小值.
(2分)
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)(a-b)≥0时取等号,
∴的最小值等于2.(6分)
∴x的取值范围即为不等式|x-1|+|x-2|≤2的解.
解不等式得≤x≤.(14分)