2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第四章4-7解三角形的综合应用 20页

‎1.仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).‎ ‎2.方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.‎ ‎3.方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.三角形的面积公式 S＝ (p＝)，‎ S＝＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝).‎ ‎2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，].(　×　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　√　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，).(　√　)‎ ‎1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.‎ 答案　50 解析　由正弦定理得＝，‎ 又∵B＝30°，‎ ‎∴AB＝＝＝50(m).‎ ‎2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.‎ 答案　70‎ 解析　设两船之间的距离为d，‎ 则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，‎ ‎∴d＝70，即两船相距70 n mile.‎ ‎3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B 望C和A成75°视角，则BC＝________ n mile.‎ 答案　5 解析　如图，在△ABC中，‎ AB＝10，A＝60°，B＝75°，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BC＝5.‎ ‎4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.‎ 答案　a 解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，又在Rt△ADB中，AB＝AD＝a.‎ ‎5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.‎ 答案　60°　20 解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°. ‎ 题型一　求距离、高度问题 例1　(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC＝________ m.‎ ‎(2)如图，A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD＝________ m.‎ 答案　(1)120(－1)　(2)800(＋1)‎ 解析　(1)如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m).‎ 在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，‎ 所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m).‎ 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)‎ ‎＝120(－1) (m).‎ ‎(2)在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.‎ 由＝，得AD＝＝ ‎＝800(＋1)(m).‎ ‎∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，‎ ‎∴CD＝AD＝800(＋1) m.‎ 思维升华　求距离、高度问题应注意 ‎(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.‎ ‎(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.‎ ‎(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.‎ ‎　(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.‎ ‎(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.‎ 答案　(1)30　(2)30＋30 解析　(1)如图，由题意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，‎ ‎∴B＝45°，AC＝60 km，‎ 由正弦定理＝，‎ ‎∴BC＝30 km.‎ ‎(2)在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，‎ sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，‎ 由正弦定理得＝，‎ ‎∴PB＝＝30(＋)，‎ ‎∴树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)× ‎＝(30＋30)(m).‎ 题型二　求角度问题 例2　甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值.(结果保留根号，无需求近似值)‎ 解　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，‎ 由余弦定理，得 ‎(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－)，‎ ‎128t2－60t－27＝0，‎ 解得t＝或t＝－(舍去)，‎ 所以AC＝21(海里)，BC＝15(海里)，‎ 根据正弦定理，得 sin∠BAC＝＝，‎ cos∠BAC＝ ＝.‎ 又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，‎ 所以θ＝45°－∠BAC，‎ sin θ＝sin(45°－∠BAC)‎ ‎＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin∠BAC ‎＝.‎ 思维升华　解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.‎ ‎　(1)(2016·苏州模拟)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.‎ 答案　 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝ ‎⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.‎ 题型三　三角形与三角函数的综合问题 例3　(2016·扬州调研)在斜三角形ABC中，tan A＋tan B＋tan Atan B＝1.‎ ‎(1)求C的值；‎ ‎(2)若A＝15°，AB＝，求△ABC的周长.‎ 解　(1)方法一　因为tan A＋tan B＋tan Atan B＝1，即tan A＋tan B＝1－tan Atan B，‎ 因为在斜三角形ABC中，1－tan Atan B≠0，‎ 所以tan(A＋B)＝＝1，‎ 即tan(180°－C)＝1，即tan C＝－1，‎ 因为0°时，‎ d(t)＝‎ ‎＝；‎ 当