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- 2021-05-13 发布
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2012年江苏高考数学理科卷
一.填空题:
1.已知集合,,则 .
【测量目标】集合的基本运算(并集).
【考查方式】集合的表示(列举法),求集合的并集.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】根据集合的并集运算,两个集合的并集就是所有属于集合和集合的元素组成的集合,从所给的两个集合的元素可知,它们的元素是,,,.
2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 名学生.
【测量目标】分层抽样.
【考查方式】根据分层抽样的特点,用比例法求解在高二年级这一层抽取人数的多少.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】根据分层抽样的方法步骤,按照一定比例抽取,样本容量为,那么根据题意得:从高三一共可以抽取人数为:人.
3.设,(为虚数单位),则的值为 .
【测量目标】复数的代数形式的四则运算.
【考查方式】给出复数的除法形式,考查复数的四则运算.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】据题知,=,
,从而.
4.右图是一个算法流程图,则输出的的值是 .
第4题图
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】考查循环结构的流程图,注意循环条件的设置,以及循环体的构成,特别是注意最后一次循环的的值.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】根据循环结构的流程图,当时,此时;不满足条件,继续执行循环体,当时,;不满足条件,继续执行循环,当时,;不满足条件,然后依次出现同样的结果,当时,此时,此时满足条件跳出循环,输出的值为.
5.函数的定义域为 .
【测量目标】对数函数的运算,基本初等函数的定义域.
【考查方式】通过对对数函数取值的判断,求出复合函数的定义域.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】根据题意,得 ,同时,> ,解得,解得,又>,所以函数的定义域为.
6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 .
【测量目标】古典概型,等比数列的通项公式.
【考查方式】结合等比数列通项公式,弄清基本事件数和基本事件总数,根据古典概型求解.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】组成满足条件的数列为:从中随机取出一个数共有取法种,其中小于的取法共有种,因此取出的这个数小于的概率为.
7.如图,在长方体中,,,则四棱锥的体积为 .
第7题图
【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系,线线、线面、面面垂直与平行的性质与判定,空间几何体的体积、面积公式的运用.
【考查方式】由面面垂直推导到线线垂直,求出四棱锥的高,继而根据四棱柱的体积公式计算体积.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】如图所示,连结交于点,因为平面,又因为,所以,平面,(步骤1)所以四棱锥的高为,(步骤2)根据题意,所以,(步骤3)
又因为,,故矩形的面积为,从而四棱锥的体积.(步骤4)
第7题图
8. 在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则m的值为 .
【测量目标】双曲线的定义及其相关性质.
【考查方式】给出双曲线的离心率,结合双曲线的方程求出.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在轴上(否则不成立),因此>,由离心率公式得到,解得.
9.如图,在矩形ABCD中,,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是 .
第9题图
【测量目标】向量的线性运算.
【考查方式】考查平面向量的基本运算,同时,结合平面向量的数量积运算解决.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】根据题意,
,(步骤1)从而得到,,(步骤2)
又因为,
.(步骤3)
10.设是定义在上且周期为的函数,在区间上,其中.若,则的值为 .
【测量目标】分段函数的解析式与基本初等函数的周期性.
【考查方式】考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为然后借助于分段函数的解析式解决.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】 ,函数的周期为,
,(步骤1)
根据得到,(步骤2)
又,得到,即,(步骤3)结合上面的式子解得, .(步骤4)
11.设为锐角,若,则的值为 .
【测量目标】同角三角函数的基本关系式,三角函数恒等变换.
【考查方式】给出三角函数余弦函数的值,通过三角函数两角和与差的三角函数公式、二倍角公式求出的正弦值.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】根据,,(步骤1)
,,(步骤2).(步骤3)
12.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 .
【测量目标】圆的标准方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离.
【考查方式】考查转化思想在求解参数范围中的运用,结合直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式求解参数.
【难易程度】容易
【参考答案】
【试题解析】根据题意将此化成标准形式为,(步骤1)
得到该圆的圆心为,半径为,(步骤2)
若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需要圆心到直线的距离即可,(步骤3)
,化简得解得,的最大值是.(步骤4)
13.已知函数的值域为,若关于的不等式的解集为,则实数的值为 .
【测量目标】二次函数根与系数的关系,其图象与不等式解集的对应关系.
【考查方式】给出一元二次函数的值域及其不等式的解集,应用数形结合思想求出的值.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】根据函数,得到,又因为关于的不等式,可化为:,它的解集为,(步骤1)
设函数的图象与轴的交点的横坐标分别为,则,从而,,即,(步骤2)
又因为,代入得到 .(步骤3)
14. 已知正数满足:则的取值范围是 .
【测量目标】不等式的基本性质、对数运算.
【考查方式】通过不等式的等价变形,求出的范围.
【难易程度】中等
【参考答案】
【试题解析】根据条件,
,.(步骤1)又, ,(步骤2)由已知,得到.(步骤3)从而,解得.(步骤4)
二、解答题
15. (本小题满分14分)
在中,已知.
⑴求证:;
⑵若,求的值.
【测量目标】向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件.
【考查方式】⑴
给出关于向量的等式,根据数量积的公式将其转化为边与角的关系式,进而求证
⑵由题求出的正切值,再结合的恒等变换求出的值.
【难易程度】容易
【试题解析】⑴∵,
∴,
∴.(步骤1)
∵,∴.(步骤2)
又∵,∴.(步骤3)
∴,即.(步骤4)
⑵∵,∴.(步骤5)
∴.∴,∴.∴.(步骤6)
由⑴得,解得.(步骤7)
∵,∴.∴.(步骤8)
16. (本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点(点不同于点),且,为的中点.
求证:⑴平面平面;
⑵直线平面.
第16题图
【测量目标】空间点、线、面的之间
位置关系,线线、线面、面面垂直与平行的性质与判定.
【考查方式】⑴由线面垂直面面垂直;⑵线线平行线面平行.
【难易程度】中等
【试题解析】⑴∵是直三棱柱,
∴平面.(步骤1)
又∵平面,∴.(步骤2)
又∵,,
∴平面.(步骤3)
又∵平面,
∴平面平面.(步骤4)
⑵∵,为的中点,∴.(步骤5)
又∵平面,平面,∴.(步骤6)
又∵平面 ,,∴平面.(步骤7)
由⑴知,平面,∴.(步骤8)
又∵平面,平面,
∴直线平面.(步骤9)
第16题图
17.(本小题满分14分)
如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
⑴求炮的最大射程;
⑵设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为千米,试问它的横坐标a
不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
第17题图
【测量目标】基本不等式、函数的实际问题(函数模型及其应用).
【考查方式】结合实际情况列出的方程求出炮的最大射程;将题目意思转化成代数形式求解.
【难易程度】中等
【试题解析】⑴令,得,由实际意义和题设条件知,
故,当且仅当时取等号.
所以炮的最大射程为千米.
⑵,
炮弹可击中目标存在,使成立
关于的方程有正根
判别式
因此,当不超过(千米)时,可击中目标.
18.(本小题满分16分)
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
⑴求和的值;
⑵设函数的导函数,求的极值点;
⑶设,其中,求函数的零点个数.
【测量目标】导数研究函数的单调性与极值,函数与方程的零点问题.
【考查方式】⑴给出函数的两个极值点,进行求导,解出a,b;
⑵给出与的关系结合导函数求解;⑶考查复合函数的零点.
【难易程度】较难
【试题解析】⑴由,得.(步骤1)
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得.(步骤2)
⑵∵ 由⑴得, ,
∴,(步骤3)
令,解得.(步骤4)
∵当时,;当时,,
∴是的极值点.
∵当或时,,∴不是的极值点.
∴的极值点是.(步骤5)
⑶令,则.(步骤6)
先讨论关于的方程根的情况:
当时,由⑵可知,的两个不同的根为和 ,
注意到是奇函数,∴的两个不同的根为和.
当时,∵, ,
∴,,,都不是的根.(步骤7)
由⑴知.
① 当时,,于是是单调增函数,从而.
此时在无实根.
② 当时.,于是是单调增函数.
又∵,,的图象不间断,
∴ 在内有唯一实根.
同理,在内有唯一实根.
③ 当时,,于是是单调减函数.
又∵, ,的图象不间断,
∴在内有唯一实根.(步骤8)
因此,当时,有两个不同的根满足;当 时
有三个不同的根,满足.(步骤9)
现考虑函数的零点:
(ⅰ)当时,有两个根,满足.
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5个零点.
(ⅱ)当时,有三个不同的根,满足.
而有三个不同的根,故有9个零点.(步骤10)
综上所述,当时,函数有5个零点;
当时,函数有9个零点.(步骤11)
19.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
⑴求椭圆的方程;
⑵设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.
(ⅰ)若,求直线的斜率;
(ⅱ)求证:是定值.
第19题图
【测量目标】椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系,椭圆的标准方程、直线的斜率.
【考查方式】给出椭圆上的两点代入椭圆标准方程求出的值.
【难易程度】较难
【试题解析】⑴∵和都在椭圆上,
∴,∴,∴,∴,(步骤1)
∴椭圆方程为.(步骤2)
⑵由⑴得,,又∵,
∴设、的方程分别为,(步骤3)
设.
∴,∴, ∴.(步骤4)
∴.①
同理,. ②(步骤5)
(i)由①②得,.解得=2.
∵注意到,∴.∴直线的斜率为.(步骤6)
(ii)证明:∵,∴,即,
∴.∴.(步骤7)
由点在椭圆上知,,
∴.(步骤8)
同理.(步骤9)
∴
,(步骤10)
由①②得,,,(步骤11)
∴. ∴是定值. (步骤12)
第19题图
20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,
.
⑴设,,求证:数列是等差数列;
⑵设,,且是等比数列,求和的值.
【测量目标】等差数列、等比数列的公式、性质,数列的前项和的公式、性质.
【考查方式】给出两数列的关系式,结合数列性质进行代数变换.
【难易程度】较难
【试题解析】⑴∵,∴(步骤1)
∴.(步骤2)
∴ .∴ .
∴数列是以1 为公差的等差数列.(步骤3)
⑵∵,∴.
∴.(﹡)(步骤4)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾.
∴综上所述,.∴,∴.(步骤5)
又∵,∴是公比是的等比数列.(步骤6)
若,则,于是.又由,
即,得.(步骤7)
∴中至少有两项相同,与矛盾.
∴.∴. ∴ .(步骤8)
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4 - 1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,D,E为圆上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BD = DC,连结AC,AE,DE.
求证:.
第21A题图
【测量目标】圆的性质.
【考查方式】给出图形,结合圆上等弧所对的圆周角相等的性质求证.
【难易程度】容易
【试题解析】证明:连结,,为的中点,
,于是.(步骤1)
,,于是.(步骤2)
点都在圆上,且为圆上位于异侧的两点,
和为同弧所对的圆周角,(步骤3)
故,所以.(步骤4)
第21A题图
B.[选修4 - 2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值.
【测量目标】矩阵与行列式初步.
【考查方式】给出矩阵的逆矩阵,应用公式求出的值,再根据求特征多项式的公式求解.
【难易程度】容易
【试题解析】.(步骤1)
,,(步骤2)
于是矩阵的特征多项式为,(步骤3)
令,解得的特征值.(步骤4)
C.[选修4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标中,已知圆C经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.
【测量目标】直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数.
【考查方式】给出极坐标下的直线,求出直线与极轴的的交点,即为圆
的圆心,结合圆上的一点求出圆的半径进而求出圆坐标.
【难易程度】容易
【试题解析】在中,令,得,(步骤1)
圆的圆心坐标为,(步骤2)
圆经过点,(步骤3)
圆的半径(步骤4)
于是圆过极点,所以圆的极坐标方程为.(步骤5)
第21C题图
D.[选修4 - 5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知实数x,y满足:求证:.
【测量目标】不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用.
【考查方式】给出两个不等式,由问题出发根据绝对值不等式得到证明.
【难易程度】容易
【试题解析】
由题意知,,从而,(步骤1)
.(步骤2)
22.(本小题满分10分)
设为随机变量,从棱长为的正方体的条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.
⑴求概率;
⑵求的分布列,并求其数学期望.
【测量目标】离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算.
【考查方式】根据题意直接求出的概率,判断的取值求解其分布列及其期望.
【难易程度】中等
【试题解析】⑴若两条棱相交,则交点必为正方形8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有对相交棱,因此.(步骤1)
⑵若两条棱平行,则它们的距离为或,其中距离为的共有条,
故,(步骤2)
于是,(步骤3)
所以随机变量的分布列是 (步骤4)
因此.(步骤5)
23.(本小题满分10分)
设集合,.记为同时满足下列条件的集合A的个数:
①;②若,则;③若,则.
⑴求;
⑵求的解析式(用n表示).
【测量目标】集合的含义、集合的基本运算(补集)和求函数的解析式.
【考查方式】用列举法求出符合条件的集合,得到;分类讨论求出的解析式.
【试题解析】⑴当时,符合条件的集合为:,故.(步骤1)
⑵任取偶数,将除以,若商仍为偶数,再除以,,经过
次以后,商必为奇数,此时记商为,于是,其中为奇数,.(步骤2)
有条件知,若,则为偶数;
若,则为奇数.
于是是否属于由是否属于确定.(步骤3)
设是中所有奇数的集合,因此等于 的子集个数.(步骤4)
当为偶数(或奇数)时,中奇数的个数是(或)
所以.(步骤5)