高考数学大题限时狂练二三角函数 12页

‎2016年高考数学大题限时狂练二：三角函数 ‎（共70分，限时60分）‎ 解答题(共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ 一、[2015·新课标一]△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎（I）求 ；‎ ‎（II）若,求.‎ 二. [2014·北京高考]如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ 三. [2014·重庆高考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ 四、 在△ABC中，＝(－sinx，sinx)，＝(sinx，cosx)．‎ ‎(1)设f(x)＝·，若f(A)＝0，求角A的值；‎ ‎(2)若对任意的实数t，恒有|－t|≥||，求△ABC面积的最大值．‎ 五、 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.‎ ‎(1)若sinB＝cosC，求tanC的大小；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c.‎ 六、 [2014·江苏高考]如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.‎ ‎(1)求新桥BC的长；‎ ‎(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ 答案精析 一、[2015·新课标一]△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎（I）求 ；‎ ‎（II）若,求.‎ ‎【答案】（I）；. ‎ 试题解析：（I）由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.‎ ‎（II）因为 ‎ 所以 二、 [2014·北京高考]如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.‎ ‎(1)求sin∠BAD；‎ ‎(2)求BD，AC的长．‎ ‎[解]　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，‎ 所以sin∠ADC＝.‎ 所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)‎ ‎＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ‎＝×－×＝.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得 BD＝＝＝3.‎ 在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ‎＝82＋52－2×8×5×＝49.‎ 所以AC＝7.‎ 三、[2014·重庆高考]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)若f＝，求cos的值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以sin(＋φ)＝±1，‎ 由－≤φ<，得≤φ＋<，‎ 故φ＋＝，φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得f＝sin＝，‎ 所以sin＝.‎ 由<α<得0<α－<，‎ 所以cos＝＝＝.因此cos＝sinα＝sin ‎＝sincos＋cossin＝×＋×＝.‎ 四、 在△ABC中，＝(－sinx，sinx)，＝(sinx，cosx)．‎ ‎(1)设f(x)＝·，若f(A)＝0，求角A的值；‎ ‎(2)若对任意的实数t，恒有|－t|≥||，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)f(x)＝·＝－sin2x＋sinxcosx＝(－)×＋＝sin(2x＋)－.‎ 因为f(A)＝0，所以sin(2A＋)＝，‎ 又2A＋∈(，2π＋)，所以A＝.‎ ‎(2)因为|－t|≥||，所以BC⊥AC，‎ 因为||＝≤2，||＝1，所以BC＝≤，‎ 所以△ABC的面积S＝BC·AC≤，‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ 五、(1)若sinB＝cosC，求tanC的大小；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c.‎ ‎[解]　∵3(b2＋c2)＝3a2＋2bc，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴cosA＝，∴sinA＝.‎ ‎(1)∵sinB＝cosC，∴sin(A＋C)＝cosC，‎ ‎∴cosC＋sinC＝cosC，‎ ‎∴cosC＝sinC，∴tanC＝.‎ ‎(2)∵S＝，∴bcsinA＝，∴bc＝，　①‎ ‎∵a＝2，∴由余弦定理可得4＝b2＋c2－2bc×，‎ ‎∴b2＋c2＝5, 　②‎ ‎∵b>c>0，∴联立①②可得b＝，c＝.‎ 六、 [2014·江苏高考]如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.‎ ‎(1)求新桥BC的长；‎ ‎(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎[解]　解法一：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.‎ 由条件知A(0,60)，C(170,0)，‎ 直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.‎ 又因为AB⊥BC，‎ 所以直线AB的斜率kAB＝.‎ 设点B的坐标为(a，b)，‎ 则kBC＝＝－，kAB＝＝.‎ 解得a＝80，b＝120.‎ 所以BC＝＝150.‎ 因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)．‎ 由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.‎ 由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，‎ 所以即 解得10≤d≤35.‎ 故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．‎ 所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．‎ 解法二：(1)如图，延长OA，CB交于点F.‎ 因为tan∠FCO＝，‎ 所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝.‎ 因为OA＝60，OC＝170，‎ 所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝＝.从而AF＝OF－OA＝.‎ 因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.‎ 又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，从而BC＝CF－BF＝150.因此新桥BC的长是150 m.‎ ‎(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，‎ 则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．‎ 因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.‎ 故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝.‎ 因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，‎ 所以即 解得10≤d≤35.‎ 故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．‎ 所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．‎