2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章6-3等比数列及其前n项和 15页

第3讲　等比数列及其前n项和 最新考纲　1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．‎ 知 识 梳 理 ‎1．等比数列的概念 ‎(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．‎ 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N＋，q为非零常数)．‎ ‎(2)如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.‎ ‎2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 ‎(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；‎ 通项公式的推广：an＝amqn－m.‎ ‎(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．‎ ‎(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则有ak·al＝am·an.‎ ‎(2)等比数列{an}的单调性：‎ 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； ‎ 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；‎ 当q＝1时，数列{an}是常数列．‎ ‎(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.‎ ‎(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．(　　)‎ ‎(2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数．(　　)‎ ‎(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)‎ ‎(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)‎ ‎(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　)‎ 解析　(1)在等比数列中，an≠0.‎ ‎(2)在等比数列中，q≠0.‎ ‎(3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列．‎ ‎(4)当a＝1时，Sn＝na.‎ ‎(5)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．(2017·西安模拟)在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．2 B．4 C. D．2 解析　在等比数列{an}中，a2a4＝a＝1，又a2＋a4＝，数列{an}为递减数列，所以a2＝2，a4＝，所以q2＝＝，所以q＝，a1＝＝4.‎ 答案　B ‎3．(2017·江西七市考试)公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ 解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，‎ ‎∴m＝10，故选C.‎ 答案　C ‎4．(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ 解析　由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.‎ 答案　6‎ ‎5．(2015·广东卷)若a，b，c三个正数成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b的值为________．‎ 解析　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.‎ 即b2＝(5＋2)(5－2)＝1，又b＞0，‎ ‎∴b＝1.‎ 答案　1‎ 考点一　等比数列基本量的运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．‎ 解析　(1)显然公比q≠1，由题意得 解得或(舍去)，‎ ‎∴S5＝＝＝.‎ ‎(2)设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得 ‎∴a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝2－＋.‎ 记t＝－＋＝－(n2－7n)，结合n∈N＋，可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数．所以a1a2…an的最大值为64.‎ 答案　(1)B　(2)64‎ 规律方法　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．‎ ‎【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，‎ Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．‎ ‎(2)(2017·合肥模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列，则an＝________.‎ 解析　(1)由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即＝－2.‎ ‎(2)由已知得： 解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝.由题意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1.‎ 答案　(1)－2　(2)2n－1‎ 考点二　等比数列的性质及应用 ‎【例2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)‎ A．2 B．1 C. D. ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)‎ A．2 B. C. D．3‎ 解析　(1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.‎ ‎(2)法一　由等比数列的性质及题意，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，∴＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝.‎ 法二　因为{an}为等比数列，由＝3，设S6＝3a，S3＝a，所以S3，S6－S3，S9－S6为等比数列，即a,2a，S9－S6成等比数列，所以S9－S6＝4a，解得S9＝7a，所以＝＝.‎ 答案　(1)C　(2)B 规律方法　(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．‎ ‎(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．‎ ‎【训练2】 (1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝________.‎ ‎(2)已知x，y，z∈R，若－1，x，y，z，－3成等比数列，则xyz的值为________．‎ 解析　(1)由等比数列性质，得a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.‎ ‎(2)∵－1，x，y，z，－3成等比数列，‎ ‎∴y2＝xz＝(－1)×(－3)＝3，且x2＝－y>0，即y<0，‎ ‎∴y＝－，xz＝3，∴xyz＝－3.‎ 答案　(1)8　(2)－3 考点三　等比数列的判定与证明 ‎【例3】 已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎(1)证明　∵an＋Sn＝n，①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝，∴{an－1}是等比数列．‎ 又a1＋a1＝1，∴a1＝，‎ 又cn＝an－1，首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－n.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－ ‎＝n－1－n＝n.‎ 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.‎ 规律方法　证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．‎ ‎【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎(1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝n－1.‎ ‎(2)解　由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－5＝，即5＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q.‎ ‎2．已知等比数列{an}‎ ‎(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列．‎ ‎(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ‎2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　)‎ A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析　两个等比数列的积仍是一个等比数列．‎ 答案　C ‎2．在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为(　　)‎ A．2 B. C．2或 D．－2或 解析　设数列{an}的公比为q，由＝＝＝＝＝，得q＝2或q＝.故选C.‎ 答案　C ‎3．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……‎ 如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂(　　)‎ A．55 986 B．46 656 ‎ C．216 D．36‎ 解析　设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.‎ 答案　B ‎4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.‎ 答案　B ‎5．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)‎ A．150 B．－200‎ C．150或－200 D．400或－50‎ 解析　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．‎ 即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，‎ 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，‎ 故S40－S30＝80.‎ S40＝150.故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎6．(2017·安庆模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．‎ 解析　两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.‎ 答案　3‎ ‎7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．‎ 解析　因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4.‎ 答案　4‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.‎ 解析　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.‎ 答案　8‎ 三、解答题 ‎9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得 因此，an＝3n－1.‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.‎ ‎10．(2017·合肥模拟)设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ 解　(1)设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴Sn＝，∴Sn＝ ‎(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．‎ 故数列{an＋1}不是等比数列．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ 解析　设数列{an}的公比为q，‎ 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，‎ 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，‎ 因此q3n－6＝81＝34＝q36，‎ 所以n＝14，故选C.‎ 答案　C ‎12．(2016·临沂模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)‎ A．(3n－1)2 B.(9n－1)‎ C．9n－1 D.(3n－1)‎ 解析　∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N＋，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，‎ ‎∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，‎ 又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，‎ 故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．‎ 因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．‎ 答案　B ‎13．(2017·南昌模拟)在等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________．‎ 解析　当q>0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2＝1＋2＝3，当且仅当a1＝a3＝1时等号成立．‎ 当q<0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2＝1－2＝－1，当且仅当a1＝a3＝－1时等号成立．‎ 所以，S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ 答案　(－∞，－1]∪[3，＋∞)‎ ‎14．(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．‎ 解　(1)由已知Sn＝2an－a1，‎ 有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，‎ 即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.‎ 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，‎ 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，‎ 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，‎ 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故an＝2n.‎ ‎(2)由(1)得＝，‎ 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.‎ 由|Tn－1|＜，得＜，‎ 即2n＞1 000，‎ 因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，‎ 于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎