2020高考数学三轮冲刺 专题 几何概型练习（含解析） 14页

几何概型 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B ‎ ‎ ‎【分析】‎ 本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．‎ 求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．‎ ‎【解答】‎ 解：红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，‎ 一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，‎ 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．‎ 故选B．‎ ‎2. 在区间上随机选取一个数x，则的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：在区间上随机选取一个数x，‎ 的概率，‎ 故选：A．‎ 根据几何概型的概率公式进行求解即可．‎ 本题主要考查概率的计算，根据几何概型的概率公式转化为求对应长度之比是解决本题的关键．‎ ‎3. 已知函数，若在区间上取一个随机数，则的概率是 ‎ 14‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 令可得或，则，或，时，．‎ 所求概率为 ‎4. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：如图：设，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ 如图：设，，，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．‎ 14‎ 本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．‎ ‎5. 如图所示，在内随机选取一点P，则的面积不超过面积一半的概率是 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎（正确答案）D 解：记事件的面积不超过， ‎ 基本事件空间是三角形ABC的面积，如图 ‎ 事件A的几何度量为图中阴影部分的面积是三角形的中位线，‎ 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，‎ 所以，‎ 故选：D ‎ 先分析题目求在面积为S的的边AB上任取一点P，则的面积不超过的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么再根据几何关系求解出它们的比例即可．‎ 本题主要考查了几何概型由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意．‎ 14‎ ‎6. 已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，‎ 则所以概率对应的面积为阴影部分，‎ 则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为，‎ 则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积，‎ ‎，‎ ‎．‎ 因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率，‎ 故选：D．‎ 根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可．‎ 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对应分别求出对应区域的面积是解决本题的关键．‎ ‎7. 甲、乙两位同学约定周日早上8：：30在学校门口见面，已知他们到达学校的时间是随机的，则甲要等乙至少10分钟才能见面的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验包含的所有事件是， ‎ 事件对应的集合表示的面积是，‎ 14‎ 满足条件的事件是，，，事件对应的集合表示的面积是，‎ 根据几何概型概率公式得到．‎ 故选C．‎ 由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是，，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是，，，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．‎ 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．‎ ‎8. 在区间上随机取一个实数x，若事件“”发生的概率为，则实数 ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：解不等式，可得，以长度为测度，‎ 则区间长度为，‎ 又在区间上，区间长度为2，‎ 在区间上随机取一个实数x，若事件“”发生的概率为，‎ 可得：，‎ 则．‎ 故选：A．‎ 14‎ 解不等式，可得，以长度为测度，即可求在区间上随机取一实数x，通过概率，列出方程即可得到的参数m．‎ 本题考查几何概型，解题的关键是：解不等式，确定其测度，概率的求法．‎ ‎9. 在区间上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：利用几何概型，其测度为线段的长度．‎ 解得，‎ ‎，‎ 所求的概率为：．‎ 故选：A 先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间的长度求比值即可得．‎ 本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎10. 已知函数，若a，b都是从上任取的一个数，则满足时的概率 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B ‎【分析】‎ 14‎ 本题主要考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个本题利用几何概型求解即可在坐标系中，画出对应的区域，和a、b都是在区间内表示的区域，计算它们的比值即得．‎ ‎【解答】‎ 解：，即，‎ 如图，，，，‎ ‎，，‎ 故选B．‎ ‎11. 如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎（正确答案）C 解：设正方形边长为2，则正方形面积为4，‎ 正方形内切圆中的黑色部分的面积．‎ 14‎ 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．‎ 故选：C．‎ 设出正方形边长，求出正方形面积，再求出正方形内切圆中的黑色部分的面积，由面积比得答案．‎ 本题考查几何概型，关键是明确测度比为面积比，是基础题．‎ ‎12. 在区间上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：由几何概型可知，事件“”可得，‎ 在区间上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为：‎ ‎．‎ 故选：D．‎ 利用几何概型求概率先解不等式，再利用解得的区间长度与区间的长度求比值即得．‎ 本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由已知，矩形的面积为，‎ 14‎ 阴影部分的面积为，‎ 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；‎ 故答案为：．‎ 分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．‎ 本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．‎ ‎14. 设点是区域内的随机点，则满足的概率是______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 当时，，即，，，‎ 则四边形OABC的面积，‎ 则第一象限内对应的面积为，‎ 根据几何概型的概率公式可得满足的概率是，‎ 故答案为：‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．‎ 本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应的区域面积是解决本题的关键．‎ ‎15. 已知，，点P的坐标为，当x，时，点P满足的概率为______．‎ ‎（正确答案）‎ 14‎ 解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部 ‎ 满足的点位于的区域是 以为圆心，半径等于2的圆及其内部 满足的概率为 ‎．‎ 故答案为：‎ 根据题意，满足且的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其内部运动因此，所求概率等于圆C与正方形ABCD重叠部分扇形面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．‎ 本题给出点P满足的条件，求点P到点距离小于或等于2的概率着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．‎ ‎16. 已知水池的长为‎30m，宽为‎20m，一海豚在水池中自由游戏，则海豚嘴尖离池边超过‎4m的概率为______．‎ ‎（正确答案）‎ ‎【分析】‎ 本题考查几何概型，明确测度，正确求解面积是关键测度为面积，找出点离岸边不超过‎4m的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．‎ ‎【解答】‎ 解：如图所示：‎ 长方形面积为，小长方形面积为，‎ 阴影部分的面积为，‎ 海豚嘴尖离岸边不超过‎2m的概率为．‎ 故答案为．‎ 14‎ 三、解答题（本大题共3小题，共40分）‎ ‎17. 设关于x的一元二次方程．‎ 若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ 若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎（正确答案）解：设事件A为“方程有实根”．‎ 当，时，方程有实根的充要条件为 ‎ 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：‎ ‎ ‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含9个基本事件，‎ 事件A发生的概率为 ‎ 由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验的全部结束所构成的区域为， ‎ 满足条件的构成事件A的区域为，， ‎ 所求的概率是 首先分析一元二次方程有实根的条件，得到 ‎ 本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．‎ 本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为，，满足条件的构成事件A的区域为，，，根据概率等于面积之比，得到概率．‎ 本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．‎ 14‎ ‎18. 如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且，延长OP交弧AB于点C，现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解：设，，由正弦定理可求得， ‎ ‎，所以，‎ 所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为，‎ 从而所求概率为．‎ 故答案为：．‎ 求出扇形AOC的面积，扇形AOB的面积，从而得到所求概率．‎ 本题主要考查几何概型，正确求出扇形的面积是关键．‎ ‎19. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作，，，，．‎ 项目 学员编号 T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T 14‎ T T T T T T T T T T T T T T T T T ‎ 注“T”表示合格，空白表示不合格 某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计如表所示，并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测只测不合格的项目，求补测项目种类不超过3项的概率；‎ 如图，某次模拟演练中，教练要求学员甲倒车并转向，在汽车边缘不压射线AC与射线BD的前提下，将汽车驶入指定的停车位根据经验，学员甲转向后可使车尾边缘完全落在线段CD上，且位于CD内各处的机会相等若，，汽车宽度为，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．‎ ‎（正确答案）解：由题意得共有5名学员，，，，恰有2两项成绩不合格，从中任意抽取2人进行补测，共有10种情况：‎ 学员编号 补测项目 项数 ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 14‎ ‎4‎ 由表格可知全部的10种情况中有6种情况补测项目不超过3项，‎ 补测项目不超过3项的概率为；‎ 在线段CD上取两点，，使得，‎ 记汽车尾部左端点为M，则当M位于线段上时，学员可按教练要求完成任务．‎ 学员甲能按要求完成任务的概率为 ‎．‎ 利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；‎ 利用几何概型的概率公式，计算所求的概率值．‎ 本题考查了列举法求古典概型的概率和几何概型的概率计算问题，是中档题．‎ 14‎