高考导数压轴题处理集锦 26页

导数压轴题题型 ‎1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）‎ ‎(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当m≤2时，证明f(x)>0.‎ ‎(1)解　f(x)＝ex－ln(x＋m)⇒f′(x)＝ex－⇒f′(0)＝e0－＝0⇒m＝1，‎ 定义域为{x|x>－1}，f′(x)＝ex－＝，‎ 显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)证明　g(x)＝ex－ln(x＋2)，则g′(x)＝ex－(x>－2)．‎ h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2)⇒h′(x)＝ex＋>0，‎ 所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，‎ 又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，‎ 所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间内，‎ 设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝et－＝0，‎ 所以，et＝⇒t＋2＝e－t，‎ 当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；‎ 所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝＋t＝>0，‎ 当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，‎ ‎ 所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)＝g(x)≥g(x)min>0.‎ 例2已知函数满足（2012全国新课标）‎ ‎(1)求的解析式及单调区间；‎ ‎(2)若，求的最大值。‎ ‎（1）‎ ‎ 令得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ 在上单调递增 ‎ ‎ ‎ 得：的解析式为 ‎ 且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（2）得 ‎ ①当时，在上单调递增 ‎ 时，与矛盾 ‎ ②当时，‎ ‎ 得：当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令；则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 当时，的最大值为 例3已知函数，曲线在点处的切线方程为。（2011全国新课标）‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。‎ 解（Ⅰ） 由于直线的斜率为，‎ 且过点，故即 解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎ 。‎ 考虑函数，则。‎ ‎(i)设，由知，当时，，h(x)递减。而 故当时， ，可得；‎ 当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0‎ 从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.‎ ‎（ii）设00,故 (x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x （1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。‎ ‎ 综合得，k的取值范围为（-，0]‎ 例4已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x. （2009宁夏、海南）‎ ‎(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.‎ 解: (1)当a＝b＝－3时,f(x)＝(x3+3x2－3x－3)e－x,故 f′(x)＝－(x3+3x2－3x－3)e－x +(3x2+6x－3)e－x ‎＝－e－x (x3－9x)＝－x(x－3)(x+3)e－x.‎ 当x＜－3或0＜x＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x＜0或x＞3时,f′(x)＜0.‎ 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.‎ ‎(2)f′(x)＝－(x3+3x2+ax+b)e－x +(3x2+6x+a)e－x＝－e－x［x3+(a－6)x+b－a］.‎ 由条件得f′(2)＝0,即23+2(a－6)+b－a＝0,故b＝4－a.‎ 从而f′(x)＝－e－x［x3+(a－6)x+4－2a］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,‎ 所以x3+(a－6)x+4－2a＝(x－2)(x－α)(x－β)＝(x－2)［x2－(α+β)x+αβ］.‎ 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a－2.‎ 故.又(β－2)(α－2)＜0，‎ 即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a＜－6. 于是β－α＞6.‎ ‎2. 在解题中常用的有关结论※‎ ‎(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为 ‎。‎ ‎(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。‎ ‎(3)对于可导函数,不等式的解集决定函数的递增（减）区间。‎ ‎(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.‎ ‎(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。‎ ‎(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立 ‎(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则 ‎(8)若，使得，则；若，使得，则.‎ ‎(9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有 ‎.‎ ‎(10)若对、 ，恒成立，则.‎ 若对，，使得,则.‎ ‎ 若对，，使得，则.‎ ‎（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，‎ 若对,，使得=成立，则。‎ ‎(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.‎ ‎(13)证题中常用的不等式:‎ ‎① ② ‎1‎ ‎ x x + ≤‎ ‎③ ④ ‎ ‎⑤ ⑥ ‎ ‎3. 题型归纳 ‎①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用 ‎（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）‎ 例1（切线）设函数.‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.‎ 例2（最值问题，两边分求）已知函数.‎ ‎⑴当时，讨论的单调性；‎ ‎⑵设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.‎ ‎②交点与根的分布 例3（切线交点）已知函数在点处的切线方程为．‎ ‎⑴求函数的解析式；‎ ‎⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；‎ ‎⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．‎ 例4（综合应用）已知函数 ‎⑴求f(x)在[0,1]上的极值；‎ ‎⑵若对任意成立，求实数a的取值范围；‎ ‎⑶若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.‎ ‎③不等式证明 例5 (变形构造法)已知函数，a为正常数．‎ ‎⑴若，且a，求函数的单调增区间；‎ ‎⑵在⑴中当时，函数的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．‎ ‎⑶若，且对任意的，，都有，求a的取值范围．‎ 例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数.‎ ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设函数，若，求证 例7（绝对值处理）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．‎ ‎（I）求实数的取值范围；‎ ‎（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；‎ ‎（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：．‎ 例8（等价变形）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对,恒成立，‎ 求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当且时，试比较的大小．‎ 例9（前后问联系法证明不等式）已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。‎ ‎ （I）求直线的方程及m的值；‎ ‎ （II）若，求函数的最大值。‎ ‎ （III）当时，求证：‎ 例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数．‎ ‎（1）试判断函数的单调性； ‎ ‎（2）设，求在上的最大值；‎ ‎（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅲ）证明：．‎ 例11（数学归纳法）已知函数，当时，函数取得极大值.‎ ‎（１）求实数的值；‎ ‎（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；‎ ‎（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.‎ ‎④恒成立、存在性问题求参数范围 例12（分离变量）已知函数(a为实常数).‎ ‎(1)若，求证：函数在(1,+∞)上是增函数； ‎ ‎(2)求函数在[1,e]上的最小值及相应的值；‎ ‎(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.‎ 例13（先猜后证技巧）已知函数 ‎（Ⅰ）求函数f (x)的定义域 ‎（Ⅱ）确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论.‎ ‎（Ⅲ）若x>0时恒成立，求正整数k的最大值.‎ 例14（创新题型）设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).‎ ‎(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a的值；‎ ‎(Ⅱ)当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1>0,x2>0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；‎ ‎(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．‎ 例15(图像分析，综合应用) 已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）不等式在上恒成立，求实数的范围；‎ ‎（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．‎ ‎⑤导数与数列 例16（创新型问题）设函数，，是的一个极大值点．‎ ‎⑴若，求的取值范围；‎ ‎⑵当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列（其中=）依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．‎ ‎⑥导数与曲线新题型 例17（形数转换）已知函数, .‎ ‎(1)若, 函数 在其定义域是增函数,求b的取值范围;‎ ‎(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;‎ ‎(3)设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作轴的垂线分别交C1、C2于点、,问是否存在点R,使C1在处的切线与C2在处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.‎ 例18（全综合应用）已知函数.‎ ‎(1)是否存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)定义,其中,求;‎ ‎(3)在(2)的条件下,令,若不等式对且恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎⑦导数与三角函数综合 例19（换元替代，消除三角）设函数（），其中．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；‎ ‎（Ⅲ）当， 时，若不等式对任意的恒成立,求的值。‎ ‎⑧创新问题积累 例20已知函数.‎ ‎ I、求的极值. ‎ II、求证的图象是中心对称图形.‎ III、设的定义域为,是否存在.当时，的取值范围是?若存在,求实数、的值；若不存在，说明理由 导数压轴题题型归纳 参考答案 例1解：(1)时，，由，解得.‎ ‎ 的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎0‎ ‎ ‎ 所以当时，有最小值.‎ ‎(2)证明：曲线在点处的切线斜率 ‎ 曲线在点P处的切线方程为.‎ ‎ 令，得，∴‎ ‎ ∵，∴，即.‎ ‎ 又∵，∴‎ ‎ 所以.‎ 例2⑴，‎ 令 ‎①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.‎ ‎②当时，由，即，解得.‎ 当时，恒成立，此时，函数单调递减；‎ 当时，,时，函数单调递减；‎ 时，，函数单调递增；‎ 时，，函数单调递减.‎ 当时，当,函数单调递减；‎ 当，函数单调递增.‎ 综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；‎ 当时,恒成立,此时，函数在单调递减；‎ 当时,函数在递减,递增,递减.‎ ‎⑵当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，‎ 有，‎ 又已知存在，使，所以，，（※）‎ 又 当时，与（※）矛盾；‎ 当时，也与（※）矛盾；‎ 当时，.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 例3解：⑴．‎ 根据题意，得即解得 所以． ‎ ‎⑵令，即．得．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎2‎ 因为，，所以当时，，．‎ 则对于区间上任意两个自变量的值，都有 ‎，所以．所以的最小值为4．‎ ‎⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．‎ 则．因为，所以切线的斜率为．‎ 则=，即．‎ 因为过点可作曲线的三条切线，‎ 所以方程有三个不同的实数解．‎ 所以函数有三个不同的零点．‎ 则．令，则或．‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 则 ，即，解得．‎ 例4解：⑴，‎ ‎ 令（舍去）‎ ‎ 单调递增；当递减. ‎ 上的极大值.‎ ‎⑵由得 设，，‎ 依题意知上恒成立，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 上单增，要使不等式①成立，‎ 当且仅当 ‎ ‎ 　 ⑶由 令，‎ 当上递增；‎ ‎ 上递减，‎ ‎ 而，‎ 恰有两个不同实根等价于 ‎ ‎ 例5解：⑴‎ ‎∵a，令得或,∴函数的单调增区间为.‎ ‎⑵证明：当时 ‎∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小，‎ 又∵，∴ 即比较与的大小． ‎ 令,则,‎ ‎∴在上位增函数．‎ 又，∴， ∴，即 ‎⑶∵ ，∴ ‎ 由题意得在区间上是减函数．‎ ‎ 当， ∴ ‎ 由在恒成立．‎ 设，，则 ‎∴在上为增函数，∴.‎ ‎ 当，∴ ‎ 由在恒成立 设，为增函数,∴‎ 综上：a的取值范围为.‎ 例6解：（1）,，‎ ‎ 即在上恒成立 设,，时，单调减，单调增，‎ 所以时，有最大值.，所以.‎ ‎（2）当时，,‎ ‎,所以在上是增函数，上是减函数.‎ 因为，所以 即,同理.‎ 所以 又因为当且仅当“”时，取等号.‎ 又，,‎ 所以,所以，‎ 所以：.‎ 例7（I）‎ ‎ 由，因为当时取得极大值，‎ ‎ 所以，所以；‎ ‎（II）由下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎ 依题意得：，解得：‎ ‎ 所以函数的解析式是： ‎ ‎（III）对任意的实数都有 ‎ 在区间[-2，2]有： ‎ 函数上的最大值与最小值的差等于81，‎ ‎ 所以．‎ 例8解：（Ⅰ），当时，在上恒成立，函数 在 单调递减，∴在上没有极值点；‎ 当时，得，得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，‎ 当时，在上有一个极值点． ‎ ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，∴， ‎ 令，可得在上递减，在上递增，‎ ‎∴，即．‎ ‎（Ⅲ）证明：， ‎ 令，则只要证明在上单调递增，‎ 又∵，‎ 显然函数在上单调递增． ‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，即，‎ ‎∴当时，有． ‎ 例9 解：（I）的斜率为1，‎ 且与函数的图像的切点坐标为（1，0），的方程为 又与函数的图象相切，有一解。‎ 由上述方程消去y，并整理得①‎ 依题意，方程②有两个相等的实数根，解之，‎ 得m=4或m=-2，‎ ‎ （II）由（I）可知 ‎，‎ 单调，当时，单减。‎ ‎，取最大值，其最大值为2。‎ ‎ （III）‎ 证明，当时，‎ 例10解：（1）函数的定义域是．由已知．令，得．‎ 因为当时，；当时，．‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以．‎ 当时，在上单调递减，所以．当，即时，．综上所述，‎ ‎（3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．‎ 例11解：（１）当时，，函数在区间上单调递增；‎ 当时，，函数在区间上单调递减. ‎ 函数在处取得极大值，故. ‎ ‎（２）令， ‎ 则.函数在上可导，存在，使得.‎ ‎，‎ 当时，，单调递增，；‎ 当时，，单调递减，；‎ 故对任意，都有. ‎ ‎（３）用数学归纳法证明.‎ ‎①当时，，且，，‎ ‎，由（Ⅱ）得，即 ‎，‎ 当时，结论成立. ‎ ‎②假设当时结论成立，即当时，. 当 时，设正数满足，令，， 则，且.‎ ‎ ‎ 当时，结论也成立.‎ 综上由①②，对任意，，结论恒成立. ‎ 例12 解：⑴当时，，当，，‎ 故函数在上是增函数．‎ ‎⑵，当，．‎ 若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．‎ 若，当时,；当时，，此时 是减函数；当时，，此时是增函数．‎ 故．‎ 若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数 在上是减函数，此时．‎ ‎⑶不等式，可化为．‎ ‎∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，‎ 因而（）‎ 令（），又，‎ 当时，，，‎ 从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，‎ 故的最小值为，所以a的取值范围是．‎ 例13 解：（1）定义域 ‎（2）单调递减。‎ 当，令 ‎，‎ 故在（－1，0）上是减函数，即，‎ 故此时在（－1，0）和（0，+）上都是减函数 ‎（3）当x>0时，恒成立，令 又k为正整数，∴k的最大值不大于3‎ 下面证明当k=3时，恒成立 当x>0时 恒成立 ‎ 令，则 ‎，，当 ‎∴当取得最小值 当x>0时， 恒成立，因此正整数k的最大值为3‎ 例14解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,.‎ 因为x=0是F(x)的极值点,所以. ‎ 又当a=2时,若x<0, ;若 x>0, .‎ ‎∴x=0是F(x)的极小值点, ∴a=2符合题意. ‎ ‎(Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:,所以.‎ 令当x>0时恒成立.‎ ‎∴x∈[0,+∞时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1. ‎ ‎(Ⅲ)令 则.‎ 因为当x≥0时恒成立, ‎ 所以函数S(x)在上单调递增, ‎ ‎∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞时恒成立; ‎ 因此函数在上单调递增, 当x∈[0,+∞时恒成立.‎ 当a≤2时,,在[0,+∞单调递增,即.‎ 故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立. ‎ 例15 解:（Ⅰ）(1) ‎ 当时，上为增函数 ‎ 故 ‎ 当上为减函数 故 ‎ 即. .‎ ‎（Ⅱ）方程化为 ‎，令，‎ ‎∵ ∴ 记∴ ∴ ‎ ‎（Ⅲ）方程化为 ‎，‎ 令， 则方程化为 （）‎ ‎∵方程有三个不同的实数解，‎ ‎∴由的图像知，有两个根、， ‎ 且 或 ， 记 则 或 ∴‎ 例16 解： （Ⅰ）时，，‎ ‎，‎ 令，，‎ 设是的两个根，‎ ‎ （1）当或时，则不是极值点，不合题意；‎ ‎ （2）当且时，由于是的极大值点，故 ‎ ，即，‎ ‎(Ⅱ)解：，‎ 令，‎ ‎，‎ 于是，假设是的两个实根，且 由（Ⅰ）可知，必有，且是的三个极值点，‎ 则，‎ 假设存在及满足题意，‎ ‎（1）当等差时，即时，则或，‎ 于是，即 此时 或 ‎ （2）当时，则或 ‎①若，则，‎ 于是，‎ 即两边平方得，‎ 于是，此时，‎ 此时=‎ ‎②若，则，‎ 于是，‎ 即两边平方得，‎ 于是，此时 此时 综上所述，存在b满足题意，‎ 当b=－a－3时，，时，，‎ 时，.‎ 例17解:(1)依题意:在(0,+)上是增函数, ‎ 对x∈(0,+)恒成立, ‎ ‎ ‎ ‎(2)设 ‎ ‎ ‎ 当t=1时,ym i n=b+1; ‎ ‎ ‎ 当t=2时,ymi n=4+2b ‎ ‎ ‎ 当的最小值为 ‎ ‎(3)设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为 ‎ C2在点N处的切线斜率为 ‎ 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ① ‎ ‎ ‎ 这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行 ‎ 例18 (1)假设存在点,使得函数的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数的图像上,则函数图像的对称中心为. ‎ 由,得, ‎ 即对恒成立,所以解得 所以存在点,使得函数的图像上任意一点关于点M对称的点也在函数的图像上. ‎ ‎(2)由(1)得. ‎ 令,则. ‎ 因为①, ‎ 所以②, ‎ 由①+②得,所以. ‎ 所以. ‎ ‎(3)由(2)得,所以. ‎ 因为当且时,. ‎ 所以当且时,不等式恒成立. ‎ 设,则. ‎ 当时,,在上单调递减; ‎ 当时,,在上单调递增. ‎ 因为,所以, ‎ 所以当且时,. ‎ 由,得,解得. ‎ 所以实数的取值范围是.‎ 例19 解：当时，，得，且 ‎，．所以，曲线在点处的 切线方程是，整理得．‎ ‎（Ⅱ）解：‎ ‎．令，解得或．‎ 由于，以下分两种情况讨论．‎ ‎（1）若，当变化时，的正负如下表：‎ 因此，函数在处取得极小值，且；‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（2）若，当变化时，的正负如下表：‎ 因此，函数在处取得极小值，且；‎ 函数在处取得极大值，且．‎ ‎（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．‎ 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，‎ 只要，即①‎ 设，则函数在上的最大值为．‎ 要使①式恒成立，必须，即或．‎ 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．‎ 例20 (I) .注意到,得，解得或.当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎０‎ ‎＋‎ 增 极大值 减 减 极小值 增 所以是的一个极大值, 是的一个极大值..‎ ‎(II) 点的中点是,所以的图象的对称中心只可能是.‎ 设为的图象上一点,关于的对称点是..也在的图象上, 因而的图象是中心对称图形. ‎ ‎(III) 假设存在实数、.,或.‎ 若, 当时, ,而 ‎.故此时的取值范围是不可能是. ‎ 若,当时, ,而.故此时的取值范围是不可能是.‎ 若,由的单调递增区间是,知是的两个解.而无解. 故此时的取值范围是不可能是. ‎ 综上所述,假设错误,满足条件的实数、不存在.‎