2015高考数学（文）（简单的三角恒等变换）一轮复习学案 9页

学案22　简单的三角恒等变换 导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．‎ 自主梳理 ‎1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝________________；‎ ‎(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；‎ ‎(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．‎ ‎2．公式的逆向变换及有关变形 ‎(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝；‎ ‎(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝________________；‎ 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；‎ 变形：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝________________________.‎ 自我检测 ‎1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 (　　)‎ A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 ‎2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 (　　)‎ A．－3,1 B．－2,2‎ C．－3， D．－2， ‎3．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 (　　)‎ A．－1 B．－ C. D．1‎ ‎4．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B (　　)‎ A．有最大值，最小值0‎ B．有最小值，无最大值 C．既无最大值也无最小值 D．有最大值，无最小值 探究点一　三角函数式的化简 例1　求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．‎ 变式迁移1　(2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值．‎ 探究点二　三角函数式的求值 例2　已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin2α＋tan α－－1的值．‎ 变式迁移2　(1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．‎ ‎(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．‎ 探究点三　三角恒等式的证明 例3　(2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．‎ ‎(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；‎ ‎(2)求f(x)的解析表达式；‎ ‎(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．‎ 变式迁移3　求证： ‎＝.‎ 转化与化归思想的应用 例　(12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝‎ sin2x＋msinsin.‎ ‎(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围；‎ ‎(2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)当m＝0时，f(x)＝sin2x ‎＝sin2x＋sin xcos x＝ ‎＝，[3分]‎ 由已知x∈，得2x－∈，[4分]‎ 所以sin∈，[5分]‎ 从而得f(x)的值域为.[6分]‎ ‎(2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x ‎＝＋sin 2x－cos 2x ‎＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分]‎ 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝，‎ cos 2α＝＝＝－.[10分]‎ 所以＝＋，[11分]‎ 解得m＝－2.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．‎ ‎1．求值中主要有三类求值问题：‎ ‎(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．‎ ‎(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．‎ ‎2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：‎ ‎(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“‎1”‎的代换法等．‎ ‎(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，＝＋，是的二倍角等．‎ ‎(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．‎ 消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 (　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　)‎ A. B. C. D. ‎3．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝ (其中α∈)，则sin α的值为 (　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎4．若f(x)＝2tan x－，则f的值为 (　　)‎ A．－ B．8‎ C．4 D．－4 ‎5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sin B的值是 (　　)‎ A. B. C. D．1‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝，则tan 2α＝________.‎ ‎7．函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．‎ ‎8．若＝－，则cos α＋sin α的值为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；‎ ‎(2).‎ ‎10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝sin xcos x－cos xsin－.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)当∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．‎ ‎11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x－4cos x.‎ ‎(1)求f()的值；‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值．‎ 答案 自主梳理 ‎1．(1)2sin αcos α　(2)cos2α－sin2α　2cos2α　2sin2α ‎(3)　2.(1)sin 2α　(2)　　2cos2　2sin2　(sin α±cos α)2‎ 自我检测 ‎1．C　2.C　3.B　4.D 课堂活动区 例1　解题导引　化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．‎ 解　y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x ‎＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)‎ ‎＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x ‎＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6，‎ 由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，‎ 故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，‎ 当sin 2x＝1时，y取得最小值6.‎ 变式迁移1　解　(1)f(x)‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝2cos 2x，‎ ‎∴f＝2cos＝2cos ＝.‎ ‎(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x ‎＝sin.‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴当x＝时，g(x)max＝，‎ 当x＝0时，g(x)min＝1.‎ 例2　解题导引　(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；‎ ‎(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．‎ 解　由sin(＋2α)·sin(－2α)‎ ‎＝sin(＋2α)·cos(＋2α)‎ ‎＝sin(＋4α)＝cos 4α＝，‎ ‎∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝，‎ ‎∴2sin2α＋tan α－－1‎ ‎＝－cos 2α＋ ‎＝－cos 2α＋ ‎＝－cos－＝.‎ 变式迁移2　解　(1)∵α是第一象限角，cos α＝，‎ ‎∴sin α＝.‎ ‎∴＝ ‎＝ ‎＝＝＝－.‎ ‎(2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin ‎＝(cos 2α－sin 2α)，‎ ‎∵≤α<π，‎ ‎∴≤α＋<π.‎ 又cos(α＋)＝>0，‎ 故可知π<α＋<π，‎ ‎∴sin(α＋)＝－，‎ 从而cos 2α＝sin(2α＋)‎ ‎＝2sin(α＋)cos(α＋)‎ ‎＝2×(－)×＝－.‎ sin 2α＝－cos(2α＋)‎ ‎＝1－2cos2(α＋)‎ ‎＝1－2×()2＝.‎ ‎∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)‎ ‎＝－.‎ 例3　解题导引　本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．‎ ‎(1)证明　由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]‎ ‎＝3sin[(α＋β)－α]，‎ 即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，‎ ‎∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，‎ ‎∴tan(α＋β)＝2tan α.‎ ‎(2)解　由(1)得＝2tan α，即＝2x，‎ ‎∴y＝，即f(x)＝.‎ ‎(3)解　∵角α是一个三角形的最小内角，‎ ‎∴0<α≤，0