2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：教师用书 第8章 第9节 直线与圆锥曲线的位置关系 9页

第九节　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎ [考纲传真]　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法.2.了解圆锥曲线的简单应用.3.理解数形结合的思想．‎ ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，‎ 由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；‎ Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；‎ Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．‎ ‎(2)当a＝0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．‎ 当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．‎ 当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎|AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．(　　)‎ ‎(3)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.(　　)‎ ‎(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．(　　)‎ ‎[解析]　(1)对．椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切．‎ ‎(2)错．当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切．‎ ‎(3)对．可转化为到准线的距离来证明(3)正确．‎ ‎(4)错．当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)‎ A．相交　　　　　 B.相切 C．相离 D.不确定 A　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]‎ ‎3．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)‎ A．3 B.6‎ C．9 D.12‎ B　[抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，‎ 又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，‎ 从而椭圆方程为＋＝1.‎ ‎∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，‎ ‎∴xA＝xB＝－2，‎ 将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，‎ 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.]‎ ‎4．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为__________．‎ x－y－1＝0　[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则有y＝2x1，y＝2x2，‎ 两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，‎ 直线AB的斜率为1，‎ 直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]‎ ‎5．(2017·济南质检)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为__________．‎ 　[设P(x，y)(x≥1)，因为直线x－y＋1＝0平行于渐近线x－y＝0，所以c的最大值为直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为＝.]‎ 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 ‎　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程. ‎ ‎【导学号：01772341】‎ ‎[解]　(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，‎ 所以c＝1，2分 又点P(0,1)在曲线C1上，‎ 所以＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，‎ 所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.5分 ‎(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，‎ 由6分 消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 因为直线l与椭圆C1相切，‎ 所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，‎ 整理得2k2－m2＋1＝0.　①8分 由消去y得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.‎ 因为直线l与抛物线C2相切，‎ 所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②‎ 综合①②，解得或10分 所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.12分 ‎[规律方法]　1.判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点．但应注意两点：‎ ‎(1)消元后需要讨论含x2(或y2)项的系数是否为0；‎ ‎(2)重视“判别式Δ”起的限制作用．‎ ‎2．对于选择题、填空题，要充分利用几何条件，借助数形结合的思想方法直观求解，优化解题过程．‎ ‎ [变式训练1]　(2016·江苏高考改编)如图891，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．‎ 图891‎ ‎[解]　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.2分 由点在直线l：x－y－2＝0上，‎ 得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.5分 ‎(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0).7分 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ 由消去x，得y2＋2y－2b＝0.(*)9分 因为P和Q是抛物线l的两相异点，则y1≠y2.‎ 从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(**)‎ 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.‎ 又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.‎ 所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(**)式．‎ 故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).12分 直线与圆锥曲线中弦长问题 ‎　(2017·西安模拟)如图892，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且右焦点F(1,0)，且已知直线l的方程为x＝－2.‎ ‎ 【导学号：01772342】‎ 图892‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．‎ ‎[解]　(1)由题意＝且c＝1，知a＝，则b＝1，3分 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.5分 ‎(2)当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，6分 将AB的方程代入椭圆方程，得 ‎(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ 则x1,2＝，‎ C的坐标为，‎ 且AB＝＝ ‎＝.8分 若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．‎ 从而k≠0，故直线PC的方程为 y＋＝－，‎ 则P点的坐标为，‎ 从而PC＝.10分 因为PC＝2AB，所以＝，‎ 解得k＝±1.‎ 此时直线AB方程为y＝x－1或y＝－x＋1.12分 ‎[规律方法]　1.求弦长时可利用弦长公式，由直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．‎ ‎2．当涉及过焦点的弦的问题，可灵活利用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎[变式训练2]　设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．‎ ‎[解]　(1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.‎ 过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，‎ 代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，‎ 于是＝，解得b＝.3分 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.5分 ‎(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，6分 由方程组消去y，‎ 整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ 由于Δ＝48k2＋48>0恒成立，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.8分 因为A(－，0)，B(，0)，‎ 所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)＝‎ ‎6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝‎ ‎6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝‎ ‎6＋.10分 由已知得6＋＝8，解得k＝±.12分 有关弦的中点问题 ‎　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点．若AB＝2，O为坐标原点，OC的斜率为，求椭圆的方程．‎ ‎ 【导学号：01772343】‎ ‎[解]　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，3分 依题意得ax＋by＝1，且ax＋by＝1，‎ 两式相减，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0，5分 又＝－1，＝kOC＝，‎ 代入上式可得b＝a.8分 再由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，‎ 得(x1＋x2)2－4x1x2＝4，‎ 其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，‎ 故2－4·＝4，10分 将b＝a代入得a＝，‎ ‎∴b＝.‎ ‎∴所求椭圆的方程是＋＝1.12分 ‎[规律方法]　涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出kAB＝和x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．‎ ‎[变式训练3]　已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________．‎ x＋2y－8＝0　[设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 则＋＝1，且＋＝1，‎ 两式相减得＝－.‎ 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，‎ 所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型．‎ ‎2．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)．‎ ‎3．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．直线与圆锥曲线有一个公共点，易误认为直线与曲线一定相切，也可能是直线与双曲线，直线与抛物线相交于一点．‎ ‎2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数．‎ ‎3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化．‎