高考数学一轮必备考情分析学案86空间向量及其运算 8页

8.6 空间向量及其运算 考情分析 1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 基础知识 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量． (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律 (1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下： OB→ ＝OA→ ＋AB→＝a＋b；BA→＝OA→ －OB→ ＝a－b；OP→ ＝λa(λ∈R)． (2)运算律：(1)加法交换律：a＋b＝b＋a. (3)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (4)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB 叫做 向量 a 与 b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π 2 ， 则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b 则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量 a，b 的数量积，即 a·b ＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．基本定理 (1)共线向量定理：空间任意两个向量 a、b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ， 使 a＝λb. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，p 与向量 a，b 共面的充要条件是 存在实数 x，y 使 p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p， 存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc. 注意事项 1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a，b，c}； (2)用 a，b，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题． 2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a＝λb⇒a∥b； ②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa＝μb. ③若OA→ ，OB→ 不共线，则 P，A，B 三点共线的充要条件是OP→ ＝λOA→ ＋μOB→ 且λ＋μ ＝1. (2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理 解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是 证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量 作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”． 3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式 到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运 算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习． 题型一 空间向量的线性运算 【例 1】已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若AE→ ＝AA1 → ＋xAB→＋yAD→ ，则 x、y 的值分别为( ) A. x＝1，y＝1 B. x＝1，y＝1 2 C. x＝1 2 ，y＝1 2 D. x＝1 2 ，y＝1 答案：C 解析：如图，AE→＝AA1 → ＋A1E→ ＝AA1 → ＋1 2A1C1 → ＝AA1 → ＋1 2(A B→＋AD→)． 【变式 1】 如右图，已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重 心，且 G 为 AM 上一点，且 GM∶GA＝1∶3.设AB→＝a，AC→＝b，AD→ ＝c，试用 a， b，c 表示BG→ ，BN→. 解 BG→ ＝BA→＋AG→ ＝BA→＋3 4AM→ ＝－a＋1 4(a＋b＋c)＝－3 4a＋1 4b＋1 4c， BN→＝BA→＋AN→＝BA→＋1 3(AC→＋AD→ )＝－a＋1 3b＋1 3c. 题型二 共线共面定理的应用 【例 2】►如右图，已知平行六面体 ABCDA′B′C′D′，E、 F、G、H 分别是棱 A′D′、D′C′、C′C 和 AB 的中点， 求证 E、F、G、H 四点共面． 证明 取ED′→ ＝a、EF→＝b、EH→ ＝c，则HG→ ＝HB→ ＋BC→＋CG→ ＝ D′F→ ＋2ED′→ ＋1 2AA′→ ＝b－a＋2a＋1 2(AH→ ＋HE→ ＋EA′→ )＝b＋a＋1 2(b－a－c－a)＝3 2b－1 2c，∴H G→与 b、 c 共面．即 E、F、G、H 四点共面． 证明 E、F、G、H 四点共线，只须证明HG→ ＝λEF→＋μEH→ 即可，即证HG→ 、 EF→、EH→ 三个向量共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法． 【变式 2】 如图在三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为 BC 边上 的中点， 试证 A1B∥平面 AC1D. 证明 设BA→＝a，BB1 → ＝c，BC→＝b， 则 BA1 → ＝BA→＋AA1 → ＝BA→＋BB1 → ＝a＋c， AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋1 2BC→＝－a＋1 2b， AC1 → ＝AC→＋CC1 → ＝BC→－BA→＋BB1 → ＝b－a＋c， BA1 → ＝AC1 → －2AD→ ，∵AB⊄平面 AC1D， 因此 A1B∥平面 AC1D. 题型三 空间向量数量积的应用 【例 3】►如图，在四面体 SABC 中，若 SA⊥BC，SB⊥AC，试证 SC⊥AB. 证明 取SA→＝a，SB→＝b，SC→＝c，由已知 SA⊥BC，SB⊥AC， 即 a·c－b＝0 ① b·c－a＝0 ② ②－①得 c·(b－a)＝0， 则 SC⊥AB. 利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已 知 a·c－b＝0， b·c－a＝0， 求证 c·(b－a)＝0 【变式 3】 已知如右图所示，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠C1CD＝∠C1CB＝∠BCD＝60°. (1)求证：C1C⊥BD； (2)当CD CC1 的值是多少时，能使 A1C⊥平面 C1BD？请给出证明． (1)证明 取CD→ ＝a，CB→＝b，CC1 → ＝c， 由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， BD→ ＝CD→ －CB→＝a－b，CC1 → ·BD→ ＝c·(a－b)＝c·a－c·b ＝1 2|c||a|－1 2|c||b|＝0，∴C1C→ ⊥BD→ ，即 C1C⊥BD. (2)若 A1C⊥平面 C1BD， 则 A1C⊥C1D，CA1 → ＝a＋b＋c，C1D→ ＝a－c. ∴CA1 → ·C1D→ ＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0. 整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|. 即当CD CC1 ＝|a| |c| ＝1 时，A1C⊥平面 C1BD. 重难点突破 【例 4】如图，四棱锥 SABCD 中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面 SAB 为等边三角形．AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面 SAB； (2)求 AB 与平面 SBC 所成的角的正弦值． [解析] 以 C 为坐标原点，射线 CD 为 x 正半轴，建立如图所示的空间直角坐 标系 Cxyz. 设 D(1,0,0)，则 A(2,2,0)、B(0,2,0)． 又设 S(x，y，z)，则 x＞0，y＞0，z＞0. (1)证明 A S→＝(x－2，y－2，z)，BS→＝(x，y－2，z)，DS→＝(x－1，y，z)，由|AS→| ＝|BS→|得 x－22＋y－22＋z2＝ x2＋y－22＋z2， 故 x＝1. 由|DS→|＝1 得 y2＋z2＝1， 又由|BS→|＝2 得 x2＋(y－2)2＋z2＝4， 即 y2＋z2－4y＋1＝0，故 y＝1 2 ，z＝ 3 2 . 于是 S 1，1 2 ， 3 2 ，AS→＝ －1，－3 2 ， 3 2 ，BS→＝ 1，－3 2 ， 3 2 ，DS→＝ 0，1 2 ， 3 2 ， DS→·AS→＝0，DS→·BS→＝0，故 DS⊥AS，DS⊥BS，又 AS∩BS＝S，所以 SD⊥平面 SAB. (2)解 设平面 SBC 的法向量 a＝(m，n，p)，则 a⊥BS→，a⊥CB→，∴a·BS→＝0，a·CB→ ＝0. 又BS→＝ 1，－3 2 ， 3 2 ，CB→＝(0,2,0)， 故 m－3 2n＋ 3 2 p＝0， 2n＝0. 取 p＝2 得 a＝(－ 3，0,2)． 又AB→＝(－2,0,0)， cos〈AB→，a〉＝ AB→·a |AB→|·|a| ＝ 21 7 . 故 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 21 7 . 巩固提高 1. 已知AB→＝(2,4,5)，CD→ ＝(3，x，y)，若AB→∥CD→ ，则( ) A. x＝6，y＝15 B. x＝3，y＝15 2 C. x＝3，y＝15 D. x＝6，y＝15 2 答案：D 解析：∵3 2 ＝x 4 ＝y 5 ， ∴x＝6，y＝15 2 ，选 D 项． 2.已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面α的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉 ＝－1 2 ，则 l 与α所成的角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 答案：A 解析：设 l 与α所成的角为θ， ∵cos〈m，n〉＝－1 2 ， ∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝1 2. 又∵直线与平面所成角θ满足 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点，则AE→·AF→的值为( ) A. a2 B. 1 2a2 C. 1 4a2 D. 3 4 a2 答案：C 解析：AE→·A F→＝1 2(AB→＋AC→)·1 2AD→ ＝1 4(AB→·AD→ ＋AC→·AD→ ) ＝1 4(a2cos60°＋a2cos60°)＝1 4a2. 故选 C. 4. 已知平面α内有一个点 M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为 n＝(6，－3,6)， 则下列点 P 中，在平面α内的是( ) A. P(2,3,3) B. P(－2,0,1) C. P(－4,4,0) D. P(3，－3,4) 答案：A 解析：由于 n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内的任意 一个向量垂直，只有在选项 A 中，MP→ ＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，MP→ ·n＝ (1,4,1)· (6，－3，6)＝0，所以选项 A 中的点 P 在平面α内． 5.在空间四边形 ABCD 中，AB→·CD→ ＋AC→·DB→ ＋AD→ ·BC→＝( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 不确定 答案：B 解析：选取不共面的向量AB→，AC→，AD→ 为基底， 则原式＝AB→·(AD→ －AC→)＋AC→·(AB→－AD→ )＋AD→ ·(AC→－AB→) ＝AB→·AD→ －AB→·AC→＋AC→·AB→－AC→·AD→ ＋AD→ ·AC→－AD→ ·AB→ ＝0.