2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第一章1-2命题及其关系、充分条件与必要条件 13页

‎1.四种命题及相互关系 ‎2.四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；‎ ‎(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.‎ ‎【知识拓展】‎ 从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　×　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(　×　)‎ ‎(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.(　√　)‎ ‎(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　√　)‎ ‎(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(　√　)‎ ‎(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.(　√　)‎ ‎1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)‎ ‎①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；‎ ‎②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；‎ ‎③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；‎ ‎④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.‎ 答案　①‎ 解析　对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.‎ ‎2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.‎ 答案　若x≤y，则x2≤y2‎ 解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.‎ ‎3.(教材改编)给出下列命题：‎ ‎①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；‎ ‎②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；‎ ‎③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；‎ ‎④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.‎ 其中真命题的序号为________.‎ 答案　①②③‎ 解析　①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.‎ ‎②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.‎ ‎③原命题“若a>b>0，则>>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.‎ ‎④原命题的逆命题为：“若不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题.‎ ‎4.(2016·北京改编)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的______________条件.‎ 答案　既不充分又不必要 解析　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.‎ ‎5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；‎ ‎②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；‎ ‎③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.‎ 答案　①②‎ 解析　易知①②正确.对于③，若x＝－1，则x2＝1，充分性不成立，故③错误.‎ 题型一　命题及其关系 例1　(2016·扬州模拟)下列命题：‎ ‎①“若a21，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.‎ 其中正确的命题是________.(填序号)‎ 答案　③④‎ 解析　对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.‎ 思维升华　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：‎ ‎①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.‎ ‎　(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.‎ ‎(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.‎ 答案　(1)若x≤0，则x2≤0　(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3‎ 解析　(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.‎ 题型二　充分必要条件的判定 例2　(1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)‎ ‎(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：‎ ‎①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；‎ ‎②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α0或a<－1，则p是q的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)‎ 答案　(1)充要　(2)必要不充分 解析　(1)f(x)＝＋a (x≠0)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即＋a＋＋a＝0，所以a＝，此时f(1)＝＋＝1，反之也成立，因此填“充要”.‎ ‎(2)关于x的不等式x2＋2ax－a≤0有解，则4a2＋4a≥0⇒a≤－1或a≥0，从而q⇒p，反之不成立，故p是q的必要不充分条件.‎ 题型三　充分必要条件的应用 例3　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}，‎ 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.‎ 则 ‎∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].‎ 引申探究 ‎1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.‎ 解　若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴方程组无解，‎ 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.‎ ‎2.本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.‎ 解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，‎ ‎∴P⇒S且S⇏P.‎ ‎∴[－2，10][1－m，1＋m].‎ ‎∴或 ‎∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).‎ 思维升华　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎　(2016·盐城期中)设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.‎ ‎(1)若a＝3，求A∪B；‎ ‎(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)解不等式x2＋2x－3<0，‎ 得－30；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是________.‎ 思想方法指导　等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.‎ 解析　(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.‎ ‎(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.‎ 所以{x|x>a}{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.‎ 答案　(1)充分不必要　(2)[1，＋∞)‎ ‎1.下列命题中的真命题为________.(填序号)‎ ‎①若＝，则x＝y；‎ ‎②若x2＝1，则x＝1；‎ ‎③若x＝y，则＝；‎ ‎④若xb，则2a>2b－1”的否命题为________________.‎ 答案　若a≤b，则2a≤2b－1‎ 解析　∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”.‎ ‎3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________.‎ 答案　1‎ 解析　原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.‎ ‎4.(2015·重庆改编)“x＞1”是“ (x＋2)＜0”的____________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　由x＞1⇒x＋2＞3⇒(x＋2)＜0，(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分不必要条件.‎ ‎5.(2016·山东改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；‎ 若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.‎ ‎6.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－13，即m>2.‎ ‎7.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件.‎ 答案　充要 解析　由Venn图易知充分性成立.反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.‎ 故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件.‎ ‎*8.(2015·湖北改编)设a1，a2，…，an∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2，则下列说法正确的是________.(填序号)‎ ‎①p是q的必要条件，但不是q的充分条件；‎ ‎②p是q的充分条件，但不是q的必要条件；‎ ‎③p是q的充分必要条件；‎ ‎④p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.‎ 答案　②‎ 解析　若p成立，设a1，a2，…，an的公比为q，则(a＋a＋…＋a)(a＋a＋…＋a)＝a(1＋q2＋…＋q2n－4)·a(1＋q2＋…＋q2n－4)＝aa(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋an－1an)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，故q成立，故p是q的充分条件.取a1＝a2＝…＝an＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件.‎ ‎9.(2016·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的__________条件.‎ 答案　充要 解析　设f(x)＝x|x|，则f(x)＝ 所以f(x)是R上的增函数，‎ 所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.‎ ‎10.有三个命题：‎ ‎①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；‎ ‎③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题.‎ 其中真命题的序号为____________.‎ 答案　①‎ 解析　命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.‎ ‎11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)‎ 答案　充要 解析　∵x∈[0，1]时，f(x)是增函数，‎ 又∵y＝f(x)是偶函数，‎ ‎∴当x∈[－1，0]时，f(x)是减函数.‎ 当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，‎ ‎∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4).‎ 故x∈[3，4]时，f(x)是减函数，充分性成立.‎ 反之，若x∈[3，4]时，f(x)是减函数，‎ 此时x－4∈[－1，0]，‎ ‎∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，‎ 则当x∈[－1，0]时，f(x)是减函数.‎ ‎∵y＝f(x)是偶函数，‎ ‎∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数，必要性也成立.‎ 故“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的充要条件.‎ ‎12.若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.‎ 答案　[0，2]‎ 解析　由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，‎ ‎∴或∴0≤m≤2.‎ ‎13.若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________.‎ 答案　[，＋∞)‎ 解析　若数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.‎ 故所求λ的取值范围是[，＋∞).‎ ‎*14.下列四个结论中：‎ ‎①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；‎ ‎②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；‎ ‎③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；‎ ‎④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件.‎ 正确的是________.‎ 答案　①④‎ 解析　由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；‎ 由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；‎ 由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，‎ 反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，‎ 所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件，而不是“a，b全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.‎ ‎15.已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1).求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.‎ 证明　充分性：当q＝－1时，a1＝p－1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，‎ 当n＝1时也成立.‎ ‎∴an＝pn－1(p－1)，n∈N*.‎ 又＝＝p，‎ ‎∴数列{an}为等比数列.‎ 必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).‎ ‎∵p≠0，且p≠1，{an}为等比数列，‎ ‎∴＝＝p.‎ ‎∴＝p，即p－1＝p＋q，∴q＝－1.‎ 综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件.‎