高考圆锥曲线题型归类总结 14页

‎ 高考圆锥曲线的七种题型 题型一：定义的应用 1、 圆锥曲线的定义：‎ ‎（1）椭圆 ‎ ‎（2）椭圆 ‎ ‎（3）椭圆 ‎ ‎2、定义的应用 ‎（1）寻找符合条件的等量关系 ‎（2）等价转换，数形结合 ‎3、定义的适用条件：‎ 典型例题 例1、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。‎ 例2、方程表示的曲线是 ‎ 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： ‎ 1、 椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。‎ 2、 双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；‎ 3、 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。‎ 典型例题 例1、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ‎ 例2、例 翰k为何值时,方程的曲线：‎ ‎(1)是椭圆;‎ ‎(2)是双曲线.‎ 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、 椭圆焦点三角形面积 ；双曲线焦点三角形面积 2、 常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、 四者的关系在圆锥曲线中的应用；‎ 典型例题 例1、椭圆上一点P与两个焦点的张角∠，求证：△F1PF2的面积为。‎ ‎ ‎ 例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 ‎1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；‎ ‎2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；‎ ‎3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. 　　B. 　　C. 　　D. ‎ 例2、双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B. C.(3,+) D.‎ 例3、椭圆：的两焦点为，椭圆上存在 点使. 求椭圆离心率的取值范围；‎ 例4、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ‎ （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）‎ 题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、 点与椭圆的位置关系 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 ‎2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：‎ ‎>0相交 ‎=0相切 （需要注意二次项系数为0的情况）‎ ‎<0相离 ‎3、弦长公式：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4、圆锥曲线的中点弦问题：‎ 1、 伟达定理：‎ 2、 点差法：‎ （1） 带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2） 得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系 典型例题 例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M(3,-1)平分,求直线AB的方程.‎ 例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，O为坐标原点，OC的斜率为/2，求椭圆的方程。‎ 题型六：动点轨迹方程：‎ ‎1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； ‎ ‎2、求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；‎ 例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．‎ （2） 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。‎ 例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为                 ‎ ‎　‎ (3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；‎ 例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为                    ‎ 例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ ‎ 例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为         ‎ ‎ ‎ (4) 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:‎ 例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________‎ ‎ ‎ ‎(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。‎ 例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 ‎ 题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）‎ 一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）‎ 二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）‎ 三、联立方程组；‎ 四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）‎ 五、根据条件重转化；常有以下类型：‎ ‎ ①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）‎ ‎ ‎ ‎ ②“点在圆内、圆上、圆外问题”‎ ‎ “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”‎ ‎ >0；‎ ‎ ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；‎ ‎ ④“共线问题”‎ ‎（如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；‎ ‎（如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）；‎ ‎ ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；‎ ‎ ⑥“弦长、面积问题”‎ ‎ 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；‎ 六、化简与计算；‎ 七、细节问题不忽略；‎ ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.‎ 基本解题思想：‎ ‎1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；‎ ‎2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；‎ ‎3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。‎ ‎4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 ‎5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；‎ ‎6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；‎ ‎7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。‎ 典型例题：‎ 例1、已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．‎ 例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q 为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.‎ ‎(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；‎ ‎(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围.‎ 例3、设、分别是椭圆：的左右焦点。‎ ‎（1）设椭圆上点到两点、距离和等于，写出椭圆的方程和焦点坐标；‎ ‎（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；‎ ‎（3）设点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于，两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为， ，试探究的值是否与点及直线有关，并证明你的结论。‎ 例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 例5、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆 于A、B两点。‎ ‎（1）求P点坐标；‎ ‎（2）求证直线AB的斜率为定值；‎ ‎ ‎ 典型例题：‎ 例1、‎ 由①、②解得，． ‎ 不妨设，，‎ ‎∴，．‎ ‎∴ ‎ ‎ ， ③‎ ‎ 当时，由③得，． ‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 当时，由③得，． ‎ 故当时，的最大值为． ‎ 例2、解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， ‎ ‎∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4.‎ ‎∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.‎ 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1.‎ ‎∴曲线C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+2, ‎ 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.‎ Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞.由图可知=λ ‎ 由韦达定理得 将x1=λx2代入得 两式相除得 ‎ ‎ ‎ ①‎ M在D、N中间，∴λ＜1 ②‎ 又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合)‎ 综合得：1/3 ≤λ＜1.‎ 例3、解：（1）由于点在椭圆上，得2=4, …2分 ‎ 椭圆C的方程为 ，焦点坐标分别为 ……4分 ‎（2）设的中点为B（x, y）则点 ………………………5分 把K的坐标代入椭圆中得……………7分 线段的中点B的轨迹方程为 ………………………8分 ‎（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 ‎ 设, ‎ 在椭圆上，应满足椭圆方程，得 ……10分 ‎== ……………………………13分 故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关， ………………14分 例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为． …………（5分）‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 联立得，‎ 又，‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 解得：，，且均满足，‎ ‎1、当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ ‎2、当时，的方程为，直线过定点．‎ 所以，直线过定点，定点坐标为． …………（14分）‎ 例5、解（1）。 ，设 则 ‎ 点在曲线上，则 ‎ 从而，得，则点的坐标为 ‎（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为，‎ 则PB的直线方程为： 由得 设则 ‎ 同理可得，则 ‎ ‎ ‎ 所以：AB的斜率为定值 例6、 解：（1）由，‎ ‎ 得……………………3分 ‎ ∴夹角的取值范围是（）……6分 ‎ （2）‎ ‎ ………8分 ‎………………10分 ‎∴当且仅当 或 …………12分 椭圆长轴 ‎ ‎ 或 故所求椭圆方程为.或 …………14分