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  • 2021-05-13 发布

高考数学真题导数专题及答案

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‎2017年高考真题导数专题 ‎ ‎ 一.解答题(共12小题)‎ ‎1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎2.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.‎ ‎(1)求a;‎ ‎(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.‎ ‎3.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.‎ ‎(1)若 f(x)≥0,求a的值;‎ ‎(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.‎ ‎4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)‎ ‎(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)证明:b2>3a;‎ ‎(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.‎ ‎5.设函数f(x)=(1﹣x2)ex.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.‎ ‎6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).‎ ‎(1)求f(x)的导函数;‎ ‎(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.‎ ‎7.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈‎ ‎2.17828…是自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎8.已知函数f(x)=excosx﹣x.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎9.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.‎ ‎(Ⅰ)求g(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.‎ ‎10.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,‎ ‎(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎11.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=exf(x).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,‎ ‎(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;‎ ‎(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.‎ ‎12.已知函数 f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x.‎ ‎(1)讨论 f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2017年高考真题导数专题 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.解答题(共12小题)‎ ‎1.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)ex﹣1,‎ 当a=0时,f′(x)=﹣2ex﹣1<0,‎ ‎∴当x∈R,f(x)单调递减,‎ 当a>0时,f′(x)=(2ex+1)(aex﹣1)=2a(ex+)(ex﹣),‎ 令f′(x)=0,解得:x=ln,‎ 当f′(x)>0,解得:x>ln,‎ 当f′(x)<0,解得:x<ln,‎ ‎∴x∈(﹣∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,+∞)单调递增;‎ 当a<0时,f′(x)=2a(ex+)(ex﹣)<0,恒成立,‎ ‎∴当x∈R,f(x)单调递减,‎ 综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,‎ 当a>0时,f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数;‎ ‎(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,‎ 当a>0时,f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,‎ 当x→﹣∞时,e2x→0,ex→0,‎ ‎∴当x→﹣∞时,f(x)→+∞,‎ 当x→∞,e2x→+∞,且远远大于ex和x,‎ ‎∴当x→∞,f(x)→+∞,‎ ‎∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,‎ 由f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数,‎ ‎∴f(x)min=f(ln)=a×()+(a﹣2)×﹣ln<0,‎ ‎∴1﹣﹣ln<0,即ln+﹣1>0,‎ 设t=,则g(t)=lnt+t﹣1,(t>0),‎ 求导g′(t)=+1,由g(1)=0,‎ ‎∴t=>1,解得:0<a<1,‎ ‎∴a的取值范围(0,1).‎ 方法二:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)ex﹣1,‎ 当a=0时,f′(x)=2ex﹣1<0,‎ ‎∴当x∈R,f(x)单调递减,‎ 当a>0时,f′(x)=(2ex+1)(aex﹣1)=2a(ex+)(ex﹣),‎ 令f′(x)=0,解得:x=﹣lna,‎ 当f′(x)>0,解得:x>﹣lna,‎ 当f′(x)<0,解得:x<﹣lna,‎ ‎∴x∈(﹣∞,﹣lna)时,f(x)单调递减,x∈(﹣lna,+∞)单调递增;‎ 当a<0时,f′(x)=2a(ex+)(ex﹣)<0,恒成立,‎ ‎∴当x∈R,f(x)单调递减,‎ 综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,‎ 当a>0时,f(x)在(﹣∞,﹣lna)是减函数,在(﹣lna,+∞)是增函数;‎ ‎(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,‎ ‎②当a>0时,由(1)可知:当x=﹣lna时,f(x)取得最小值,f(x)min ‎=f(﹣lna)=1﹣﹣ln,‎ 当a=1,时,f(﹣lna)=0,故f(x)只有一个零点,‎ 当a∈(1,+∞)时,由1﹣﹣ln>0,即f(﹣lna)>0,‎ 故f(x)没有零点,‎ 当a∈(0,1)时,1﹣﹣ln<0,f(﹣lna)<0,‎ 由f(﹣2)=ae﹣4+(a﹣2)e﹣2+2>﹣2e﹣2+2>0,‎ 故f(x)在(﹣∞,﹣lna)有一个零点,‎ 假设存在正整数n0,满足n0>ln(﹣1),则f(n0)=(a+a﹣2)﹣n0>﹣n0>﹣n0>0,‎ 由ln(﹣1)>﹣lna,‎ 因此在(﹣lna,+∞)有一个零点.‎ ‎∴a的取值范围(0,1).‎ ‎ ‎ ‎2.(2017•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.‎ ‎(1)求a;‎ ‎(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.‎ ‎【解答】(1)解:因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),‎ 则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知h′(x)=a﹣.‎ 则当a≤0时h′(x)<0,即y=h(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ 所以当x0>1时,h(x0)<h(1)=0,矛盾,故a>0.‎ 因为当0<x<时h′(x)<0、当x>时h′(x)>0,‎ 所以h(x)min=h(),‎ 又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,‎ 所以=1,解得a=1;‎ ‎(2)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,‎ 令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2﹣,‎ 令t′(x)=0,解得:x=,‎ 所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,‎ 所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0,x2,‎ 且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,‎ 所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,‎ 所以f(x0)=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣,‎ 由x0<可知f(x0)<(x0﹣)max=﹣+=;‎ 由f′()<0可知x0<<,‎ 所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,‎ 所以f(x0)>f()=;‎ 综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.‎ ‎ ‎ ‎3.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.‎ ‎(1)若 f(x)≥0,求a的值;‎ ‎(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)因为函数f(x)=x﹣1﹣alnx,x>0,‎ 所以f′(x)=1﹣=,且f(1)=0.‎ 所以当a≤0时f′(x)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞‎ ‎)上单调递增,这与f(x)≥0矛盾;‎ 当a>0时令f′(x)=0,解得x=a,‎ 所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(a),‎ 又因为f(x)min=f(a)≥0,‎ 所以a=1;‎ ‎(2)由(1)可知当a=1时f(x)=x﹣1﹣lnx≥0,即lnx≤x﹣1,‎ 所以ln(x+1)≤x当且仅当x=0时取等号,‎ 所以ln(1+)<,k∈N*.‎ 一方面,ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+=1﹣<1,‎ 即(1+)(1+)…(1+)<e;‎ 另一方面,(1+)(1+)…(1+)>(1+)(1+)(1+)=>2;‎ 从而当n≥3时,(1+)(1+)…(1+)∈(2,e),‎ 因为m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m成立,‎ 所以m的最小值为3.‎ ‎ ‎ ‎4.(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)‎ ‎(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(2)证明:b2>3a;‎ ‎(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.‎ ‎【解答】(1)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,‎ 所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,‎ 令g′(x)=0,解得x=﹣.‎ 由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<‎ ‎0,g(x)=f′(x)单调递减;‎ 所以f′(x)的极小值点为x=﹣,‎ 由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,‎ 所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,‎ 所以b=+(a>0).‎ 因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,‎ 所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,‎ 所以4a2﹣12b≥0,即a2﹣+≥0,解得a≥3,‎ 所以b=+(a≥3).‎ ‎(2)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),‎ 由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;‎ ‎(3)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,‎ 设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2‎ ‎=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2‎ ‎=﹣+2,‎ 又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,‎ 所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,‎ 因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,‎ 所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,‎ 所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,‎ 由于a>3时2a2+12a+9>0,‎ 所以a﹣6≤0,解得a≤6,‎ 所以a的取值范围是(3,6].‎ ‎ ‎ ‎5.(2017•新课标Ⅱ)设函数f(x)=(1﹣x2)ex.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)因为f(x)=(1﹣x2)ex,x∈R,‎ 所以f′(x)=(1﹣2x﹣x2)ex,‎ 令f′(x)=0可知x=﹣1±,‎ 当x<﹣1﹣或x>﹣1+时f′(x)<0,当﹣1﹣<x<﹣1+时f′(x)>0,‎ 所以f(x)在(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1+,+∞)上单调递减,在(﹣1﹣,﹣1+)上单调递增;‎ ‎(2)由题可知f(x)=(1﹣x)(1+x)ex.下面对a的范围进行讨论:‎ ‎①当a≥1时,设函数h(x)=(1﹣x)ex,则h′(x)=﹣xex<0(x>0),‎ 因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,‎ 又因为h(0)=1,所以h(x)≤1,‎ 所以f(x)=(1﹣x)h(x)≤x+1≤ax+1;‎ ‎②当0<a<1时,设函数g(x)=ex﹣x﹣1,则g′(x)=ex﹣1>0(x>0),‎ 所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ 又g(0)=1﹣0﹣1=0,‎ 所以ex≥x+1.‎ 因为当0<x<1时f(x)>(1﹣x)(1+x)2,‎ 所以(1﹣x)(1+x)2﹣ax﹣1=x(1﹣a﹣x﹣x2),‎ 取x0=∈(0,1),则(1﹣x0)(1+x0)2﹣ax0﹣1=0,‎ 所以f(x0)>ax0+1,矛盾;‎ ‎③当a≤0时,取x0=∈(0,1),则f(x0)>(1﹣x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;‎ 综上所述,a的取值范围是[1,+∞).‎ ‎ ‎ ‎6.(2017•浙江)已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).‎ ‎(1)求f(x)的导函数;‎ ‎(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥),‎ 导数f′(x)=(1﹣••2)e﹣x﹣(x﹣)e﹣x ‎=(1﹣x+)e﹣x=(1﹣x)(1﹣)e﹣x;‎ ‎(2)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣)e﹣x,‎ 可得f′(x)=0时,x=1或,‎ 当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;‎ 当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增;‎ 当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,‎ 且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0,‎ 则f(x)≥0.‎ 由f()=e,f(1)=0,f()=e,‎ 即有f(x)的最大值为e,最小值为f(1)=0.‎ 则f(x)在区间[,+∞)上的取值范围是[0,e].‎ ‎ ‎ ‎7.(2017•山东)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【解答】解:(I)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,∴f′(π)=2π.‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:y﹣(π2﹣2)=2π(x﹣π).‎ 化为:2πx﹣y﹣π2﹣2=0.‎ ‎(II)h(x)=g (x)﹣a f(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx)‎ h′(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)+ex(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)‎ ‎=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna).‎ 令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.‎ ‎∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.‎ ‎(1)a≤0时,ex﹣a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;‎ x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.‎ ‎∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.‎ ‎(2)a>0时,令h′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna)=0.‎ 解得x1=lna,x2=0.‎ ‎①0<a<1时,x∈(﹣∞,lna)时,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;‎ x∈(lna,0)时,ex﹣elna>0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;‎ x∈(0,+∞)时,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.‎ ‎∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.‎ 当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].‎ ‎②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h(x)在R上单调递增.‎ ‎③1<a时,lna>0,x∈(﹣∞,0)时,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;‎ x∈(0,lna)时,ex﹣elna<0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;‎ x∈(lna,+∞)时,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.‎ ‎∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.‎ 当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].‎ 综上所述:a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.‎ x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.‎ ‎0<a<1时,函数h(x)在x∈(﹣∞,lna)是单调递增;函数h(x)在x∈(lna,0)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].‎ 当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.‎ a>1时,函数h(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].‎ ‎ ‎ ‎8.(2017•北京)已知函数f(x)=excosx﹣x.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.‎ ‎【解答】解:(1)函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,‎ 可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,‎ 切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1),‎ 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;‎ ‎(2)函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,‎ 令g(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,‎ 则g(x)的导数为g′(x)=ex(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2ex•sinx,‎ 当x∈[0,],可得g′(x)=﹣2ex•sinx≤0,‎ 即有g(x)在[0,]递减,可得g(x)≤g(0)=0,‎ 则f(x)在[0,]递减,‎ 即有函数f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1;‎ 最小值为f()=ecos﹣=﹣.‎ ‎ ‎ ‎9.(2017•天津)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.‎ ‎(Ⅰ)求g(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,‎ 进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.‎ 当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(﹣∞,﹣1)‎ ‎(﹣1,)‎ ‎(,+∞)‎ g′(x)‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ g(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).‎ ‎(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),‎ h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).‎ 令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).‎ 由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,‎ 故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;‎ 当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.‎ 因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,‎ 令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.‎ 所以,h(m)h(x0)<0.‎ ‎(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,‎ 令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).‎ 由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;‎ 当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.‎ 所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.‎ 由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),‎ 于是|﹣x0|=≥=.‎ 因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,‎ 所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.‎ 又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,‎ 从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.‎ 所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.‎ ‎ ‎ ‎10.(2017•山东)已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,‎ ‎(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=x3﹣x2,‎ ‎∴f′(x)=x2﹣2x,‎ ‎∴k=f′(3)=9﹣6=3,f(3)=×27﹣9=0,‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0‎ ‎(2)函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx=x3﹣ax2+(x﹣a)cosx﹣sinx,‎ ‎∴g′(x)=(x﹣a)(x﹣sinx),‎ 令g′(x)=0,解得x=a,或x=0,‎ ‎①若a>0时,当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,‎ 当x>a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(a,+∞)上单调递增,‎ 当0<x<a时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(0,a)上单调递减,‎ ‎∴当x=a时,函数有极小值,极小值为g(a)=﹣a3﹣sina 当x=0时,有极大值,极大值为g(0)=﹣a,‎ ‎②若a<0时,当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,‎ 当x<a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,a)上单调递增,‎ 当a<x<0时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(a,0)上单调递减,‎ ‎∴当x=a时,函数有极大值,极大值为g(a)=﹣a3﹣sina 当x=0时,有极小值,极小值为g(0)=﹣a ‎③当a=0时,g′(x)=x(x+sinx),‎ 当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,‎ ‎∴g(x)在R上单调递增,无极值.‎ ‎ ‎ ‎11.(2017•天津)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=exf(x).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,‎ ‎(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;‎ ‎(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0﹣1,x0+1]‎ 上恒成立,求b的取值范围.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,可得f'(x)=3x2﹣12x﹣3a(a﹣4)=3(x﹣a)(x﹣(4﹣a)),‎ 令f'(x)=0,解得x=a,或x=4﹣a.由|a|≤1,得a<4﹣a.‎ 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(﹣∞,a)‎ ‎(a,4﹣a)‎ ‎(4﹣a,+∞)‎ f'(x)‎ ‎+‎ ‎﹣‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,a),(4﹣a,+∞),单调递减区间为(a,4﹣a);‎ ‎(Ⅱ)(i)证明:∵g'(x)=ex(f(x)+f'(x)),由题意知,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴f(x)在x=x0处的导数等于0;‎ ‎(ii)解:∵g(x)≤ex,x∈[x0﹣1,x0+1],由ex>0,可得f(x)≤1.‎ 又∵f(x0)=1,f'(x0)=0,‎ 故x0为f(x)的极大值点,由(I)知x0=a.‎ 另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4﹣a,‎ 由(Ⅰ)知f(x)在(a﹣1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,‎ 故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a﹣1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤ex在[x0﹣1,x0+1]上恒成立.‎ 由f(a)=a3﹣6a2﹣3a(a﹣4)a+b=1,得b=2a3﹣6a2+1,﹣1≤a≤1.‎ 令t(x)=2x3﹣6x2+1,x∈[﹣1,1],‎ ‎∴t'(x)=6x2﹣12x,‎ 令t'(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.‎ ‎∵t(﹣1)=﹣7,t(1)=﹣3,t(0)=1,故t(x)的值域为[﹣7,1].‎ ‎∴b的取值范围是[﹣7,1].‎ ‎ ‎ ‎12.(2017•新课标Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x.‎ ‎(1)讨论 f(x)的单调性;‎ ‎(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x,‎ ‎∴f′(x)=2e2x﹣aex﹣a2=(2ex+a)(ex﹣a),‎ ‎①当a=0时,f′(x)>0恒成立,‎ ‎∴f(x)在R上单调递增,‎ ‎②当a>0时,2ex+a>0,令f′(x)=0,解得x=lna,‎ 当x<lna时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,‎ 当x>lna时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,‎ ‎③当a<0时,ex﹣a>0,令f′(x)=0,解得x=ln(﹣),‎ 当x<ln(﹣)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,‎ 当x>ln(﹣)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,‎ 综上所述,当a=0时,f(x)在R上单调递增,‎ 当a>0时,f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,‎ 当a<0时,f(x)在(﹣∞,ln(﹣))上单调递减,在(ln(﹣),+∞)上单调递增,‎ ‎(2)①当a=0时,f(x)=e2x>0恒成立,‎ ‎②当a>0时,由(1)可得f(x)min=f(lna)=﹣a2lna≥0,‎ ‎∴lna≤0,‎ ‎∴0<a≤1,‎ ‎③当a<0时,由(1)可得f(x)min=f(ln(﹣))=﹣a2ln(﹣)≥0,‎ ‎∴ln(﹣)≤,‎ ‎∴﹣2≤a<0,‎ 综上所述a的取值范围为[﹣2,1]‎ ‎ ‎