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- 2021-05-13 发布
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2017年高考真题导数专题
一.解答题(共12小题)
1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
2.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
3.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(1)若 f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.
4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.
5.设函数f(x)=(1﹣x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.
7.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈
2.17828…是自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
8.已知函数f(x)=excosx﹣x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
9.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.
10.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
11.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=exf(x).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.
12.已知函数 f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
2017年高考真题导数专题
参考答案与试题解析
一.解答题(共12小题)
1.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【解答】解:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)ex﹣1,
当a=0时,f′(x)=﹣2ex﹣1<0,
∴当x∈R,f(x)单调递减,
当a>0时,f′(x)=(2ex+1)(aex﹣1)=2a(ex+)(ex﹣),
令f′(x)=0,解得:x=ln,
当f′(x)>0,解得:x>ln,
当f′(x)<0,解得:x<ln,
∴x∈(﹣∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,+∞)单调递增;
当a<0时,f′(x)=2a(ex+)(ex﹣)<0,恒成立,
∴当x∈R,f(x)单调递减,
综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,
当a>0时,f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数;
(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,
当a>0时,f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,
当x→﹣∞时,e2x→0,ex→0,
∴当x→﹣∞时,f(x)→+∞,
当x→∞,e2x→+∞,且远远大于ex和x,
∴当x→∞,f(x)→+∞,
∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,
由f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数,
∴f(x)min=f(ln)=a×()+(a﹣2)×﹣ln<0,
∴1﹣﹣ln<0,即ln+﹣1>0,
设t=,则g(t)=lnt+t﹣1,(t>0),
求导g′(t)=+1,由g(1)=0,
∴t=>1,解得:0<a<1,
∴a的取值范围(0,1).
方法二:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)ex﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)ex﹣1,
当a=0时,f′(x)=2ex﹣1<0,
∴当x∈R,f(x)单调递减,
当a>0时,f′(x)=(2ex+1)(aex﹣1)=2a(ex+)(ex﹣),
令f′(x)=0,解得:x=﹣lna,
当f′(x)>0,解得:x>﹣lna,
当f′(x)<0,解得:x<﹣lna,
∴x∈(﹣∞,﹣lna)时,f(x)单调递减,x∈(﹣lna,+∞)单调递增;
当a<0时,f′(x)=2a(ex+)(ex﹣)<0,恒成立,
∴当x∈R,f(x)单调递减,
综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,
当a>0时,f(x)在(﹣∞,﹣lna)是减函数,在(﹣lna,+∞)是增函数;
(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,
②当a>0时,由(1)可知:当x=﹣lna时,f(x)取得最小值,f(x)min
=f(﹣lna)=1﹣﹣ln,
当a=1,时,f(﹣lna)=0,故f(x)只有一个零点,
当a∈(1,+∞)时,由1﹣﹣ln>0,即f(﹣lna)>0,
故f(x)没有零点,
当a∈(0,1)时,1﹣﹣ln<0,f(﹣lna)<0,
由f(﹣2)=ae﹣4+(a﹣2)e﹣2+2>﹣2e﹣2+2>0,
故f(x)在(﹣∞,﹣lna)有一个零点,
假设存在正整数n0,满足n0>ln(﹣1),则f(n0)=(a+a﹣2)﹣n0>﹣n0>﹣n0>0,
由ln(﹣1)>﹣lna,
因此在(﹣lna,+∞)有一个零点.
∴a的取值范围(0,1).
2.(2017•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(1)求a;
(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
【解答】(1)解:因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),
则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知h′(x)=a﹣.
则当a≤0时h′(x)<0,即y=h(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以当x0>1时,h(x0)<h(1)=0,矛盾,故a>0.
因为当0<x<时h′(x)<0、当x>时h′(x)>0,
所以h(x)min=h(),
又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,
所以=1,解得a=1;
(2)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,
令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2﹣,
令t′(x)=0,解得:x=,
所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0,x2,
且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,
所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,
所以f(x0)=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣,
由x0<可知f(x0)<(x0﹣)max=﹣+=;
由f′()<0可知x0<<,
所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,
所以f(x0)>f()=;
综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.
3.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.
(1)若 f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.
【解答】解:(1)因为函数f(x)=x﹣1﹣alnx,x>0,
所以f′(x)=1﹣=,且f(1)=0.
所以当a≤0时f′(x)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞
)上单调递增,这与f(x)≥0矛盾;
当a>0时令f′(x)=0,解得x=a,
所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f(a),
又因为f(x)min=f(a)≥0,
所以a=1;
(2)由(1)可知当a=1时f(x)=x﹣1﹣lnx≥0,即lnx≤x﹣1,
所以ln(x+1)≤x当且仅当x=0时取等号,
所以ln(1+)<,k∈N*.
一方面,ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+=1﹣<1,
即(1+)(1+)…(1+)<e;
另一方面,(1+)(1+)…(1+)>(1+)(1+)(1+)=>2;
从而当n≥3时,(1+)(1+)…(1+)∈(2,e),
因为m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m成立,
所以m的最小值为3.
4.(2017•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.
【解答】(1)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,
所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,
令g′(x)=0,解得x=﹣.
由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<
0,g(x)=f′(x)单调递减;
所以f′(x)的极小值点为x=﹣,
由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,
所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,
所以b=+(a>0).
因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,
所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,
所以4a2﹣12b≥0,即a2﹣+≥0,解得a≥3,
所以b=+(a≥3).
(2)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),
由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;
(3)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,
设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,
所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2
=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2
=﹣+2,
又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,
所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,
因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,
所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,
所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,
由于a>3时2a2+12a+9>0,
所以a﹣6≤0,解得a≤6,
所以a的取值范围是(3,6].
5.(2017•新课标Ⅱ)设函数f(x)=(1﹣x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
【解答】解:(1)因为f(x)=(1﹣x2)ex,x∈R,
所以f′(x)=(1﹣2x﹣x2)ex,
令f′(x)=0可知x=﹣1±,
当x<﹣1﹣或x>﹣1+时f′(x)<0,当﹣1﹣<x<﹣1+时f′(x)>0,
所以f(x)在(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1+,+∞)上单调递减,在(﹣1﹣,﹣1+)上单调递增;
(2)由题可知f(x)=(1﹣x)(1+x)ex.下面对a的范围进行讨论:
①当a≥1时,设函数h(x)=(1﹣x)ex,则h′(x)=﹣xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,
又因为h(0)=1,所以h(x)≤1,
所以f(x)=(1﹣x)h(x)≤x+1≤ax+1;
②当0<a<1时,设函数g(x)=ex﹣x﹣1,则g′(x)=ex﹣1>0(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
又g(0)=1﹣0﹣1=0,
所以ex≥x+1.
因为当0<x<1时f(x)>(1﹣x)(1+x)2,
所以(1﹣x)(1+x)2﹣ax﹣1=x(1﹣a﹣x﹣x2),
取x0=∈(0,1),则(1﹣x0)(1+x0)2﹣ax0﹣1=0,
所以f(x0)>ax0+1,矛盾;
③当a≤0时,取x0=∈(0,1),则f(x0)>(1﹣x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;
综上所述,a的取值范围是[1,+∞).
6.(2017•浙江)已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥),
导数f′(x)=(1﹣••2)e﹣x﹣(x﹣)e﹣x
=(1﹣x+)e﹣x=(1﹣x)(1﹣)e﹣x;
(2)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣)e﹣x,
可得f′(x)=0时,x=1或,
当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;
当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增;
当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,
且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0,
则f(x)≥0.
由f()=e,f(1)=0,f()=e,
即有f(x)的最大值为e,最小值为f(1)=0.
则f(x)在区间[,+∞)上的取值范围是[0,e].
7.(2017•山东)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【解答】解:(I)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,∴f′(π)=2π.
∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:y﹣(π2﹣2)=2π(x﹣π).
化为:2πx﹣y﹣π2﹣2=0.
(II)h(x)=g (x)﹣a f(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx)
h′(x)=ex(cosx﹣sinx+2x﹣2)+ex(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)
=2(x﹣sinx)(ex﹣a)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna).
令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.
∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.
(1)a≤0时,ex﹣a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;
x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.
∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.
(2)a>0时,令h′(x)=2(x﹣sinx)(ex﹣elna)=0.
解得x1=lna,x2=0.
①0<a<1时,x∈(﹣∞,lna)时,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
x∈(lna,0)时,ex﹣elna>0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.
∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.
当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h(x)在R上单调递增.
③1<a时,lna>0,x∈(﹣∞,0)时,ex﹣elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
x∈(0,lna)时,ex﹣elna<0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
x∈(lna,+∞)时,ex﹣elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.
∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.
当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
综上所述:a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.
x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.
0<a<1时,函数h(x)在x∈(﹣∞,lna)是单调递增;函数h(x)在x∈(lna,0)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.
a>1时,函数h(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
8.(2017•北京)已知函数f(x)=excosx﹣x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
【解答】解:(1)函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,
可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,
切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1),
曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;
(2)函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,
令g(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,
则g(x)的导数为g′(x)=ex(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2ex•sinx,
当x∈[0,],可得g′(x)=﹣2ex•sinx≤0,
即有g(x)在[0,]递减,可得g(x)≤g(0)=0,
则f(x)在[0,]递减,
即有函数f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1;
最小值为f()=ecos﹣=﹣.
9.(2017•天津)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.
【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,
进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,﹣1)
(﹣1,)
(,+∞)
g′(x)
+
﹣
+
g(x)
↗
↘
↗
所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).
(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),
h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).
令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).
由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,
故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;
当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.
因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,
令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.
所以,h(m)h(x0)<0.
(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,
令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).
由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;
当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.
所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.
由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),
于是|﹣x0|=≥=.
因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,
所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.
又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.
所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.
10.(2017•山东)已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=x3﹣x2,
∴f′(x)=x2﹣2x,
∴k=f′(3)=9﹣6=3,f(3)=×27﹣9=0,
∴曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0
(2)函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx=x3﹣ax2+(x﹣a)cosx﹣sinx,
∴g′(x)=(x﹣a)(x﹣sinx),
令g′(x)=0,解得x=a,或x=0,
①若a>0时,当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
当x>a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(a,+∞)上单调递增,
当0<x<a时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(0,a)上单调递减,
∴当x=a时,函数有极小值,极小值为g(a)=﹣a3﹣sina
当x=0时,有极大值,极大值为g(0)=﹣a,
②若a<0时,当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
当x<a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,a)上单调递增,
当a<x<0时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(a,0)上单调递减,
∴当x=a时,函数有极大值,极大值为g(a)=﹣a3﹣sina
当x=0时,有极小值,极小值为g(0)=﹣a
③当a=0时,g′(x)=x(x+sinx),
当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
∴g(x)在R上单调递增,无极值.
11.(2017•天津)设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=exf(x).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0﹣1,x0+1]
上恒成立,求b的取值范围.
【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,可得f'(x)=3x2﹣12x﹣3a(a﹣4)=3(x﹣a)(x﹣(4﹣a)),
令f'(x)=0,解得x=a,或x=4﹣a.由|a|≤1,得a<4﹣a.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(﹣∞,a)
(a,4﹣a)
(4﹣a,+∞)
f'(x)
+
﹣
+
f(x)
↗
↘
↗
∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,a),(4﹣a,+∞),单调递减区间为(a,4﹣a);
(Ⅱ)(i)证明:∵g'(x)=ex(f(x)+f'(x)),由题意知,
∴,解得.
∴f(x)在x=x0处的导数等于0;
(ii)解:∵g(x)≤ex,x∈[x0﹣1,x0+1],由ex>0,可得f(x)≤1.
又∵f(x0)=1,f'(x0)=0,
故x0为f(x)的极大值点,由(I)知x0=a.
另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4﹣a,
由(Ⅰ)知f(x)在(a﹣1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,
故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a﹣1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤ex在[x0﹣1,x0+1]上恒成立.
由f(a)=a3﹣6a2﹣3a(a﹣4)a+b=1,得b=2a3﹣6a2+1,﹣1≤a≤1.
令t(x)=2x3﹣6x2+1,x∈[﹣1,1],
∴t'(x)=6x2﹣12x,
令t'(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.
∵t(﹣1)=﹣7,t(1)=﹣3,t(0)=1,故t(x)的值域为[﹣7,1].
∴b的取值范围是[﹣7,1].
12.(2017•新课标Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
【解答】解:(1)f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x,
∴f′(x)=2e2x﹣aex﹣a2=(2ex+a)(ex﹣a),
①当a=0时,f′(x)>0恒成立,
∴f(x)在R上单调递增,
②当a>0时,2ex+a>0,令f′(x)=0,解得x=lna,
当x<lna时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>lna时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
③当a<0时,ex﹣a>0,令f′(x)=0,解得x=ln(﹣),
当x<ln(﹣)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>ln(﹣)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,
综上所述,当a=0时,f(x)在R上单调递增,
当a>0时,f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
当a<0时,f(x)在(﹣∞,ln(﹣))上单调递减,在(ln(﹣),+∞)上单调递增,
(2)①当a=0时,f(x)=e2x>0恒成立,
②当a>0时,由(1)可得f(x)min=f(lna)=﹣a2lna≥0,
∴lna≤0,
∴0<a≤1,
③当a<0时,由(1)可得f(x)min=f(ln(﹣))=﹣a2ln(﹣)≥0,
∴ln(﹣)≤,
∴﹣2≤a<0,
综上所述a的取值范围为[﹣2,1]
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