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  • 2021-05-13 发布

2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编

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‎2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 ‎(2008年第16题)‎ 在四面体ABCD中, CB=CD ,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点,‎ 求证:(1)直线EF∥平面ACD ‎(2)平面EFC⊥平面BCD A B C D E F 证明:(1) ⇒直线EF∥平面ACD ‎(2)⇒直线BD⊥平面EFC 又BD⊂平面BCD,‎ 所以平面EFC⊥平面BCD ‎(2009年第16题)‎ 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,‎ A1D⊥B1C .‎ 求证:(1)EF∥平面ABC A B C D E F C₁‎ B₁‎ A₁‎ ‎(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC,‎ ‎ 因为EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC ‎(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1,‎ 又A1D⊂平面A1B1C1,故CC1⊥A1D,‎ ‎ 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C, CC1、B1C⊂平面BB1C1C ‎ 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D⊂平面A1FD,‎ ‎ 故平面A1FD⊥平面BB1C1C ‎(2010年第16题)‎ 如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,‎ P A B C D ‎∠BCD=90°.‎ ‎(1)求证:PC⊥BC;‎ ‎(2)求点A到平面PBC的距离.‎ D P A B C F E 证明:(1)因为PD⊥平面ABCD,‎ BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC.‎ 由∠BCD=90°,得CD⊥BC,‎ 又PD∩DC=D,PD、DC⊂平面PCD,‎ 所以BC⊥平面PCD.‎ 因为PC⊂平面PCD,故PC⊥BC.‎ 解:(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:‎ 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等.‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍.‎ 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,‎ 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F.‎ 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于.‎ ‎(方法二)等体积法:连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.‎ 因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.‎ 从而AB=2,BC=1,得△ABC的面积S△ABC=1.‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P—ABC的体积V=S△ABC×PD=.‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PD⊥DC.‎ 又PD=DC=1,所以PC==.‎ 由PC⊥BC,BC=1,得△PBC的面积S△PBC=.‎ 由VA——PBC=VP——ABC,S△PBC×h=V=,得h=,‎ 故点A到平面PBC的距离等于.‎ ‎(2011年第16题)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,‎ E、F分别是AP、AD的中点 求证:(1)直线EF∥平面PCD;‎ ‎(2)平面BEF⊥平面PAD 证明:(1)在△PAD中,∵E,F分别为AP,AD的中点,∴BC∥AB,‎ 又∵EF ⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,∴直线EF∥平面PCD ‎(2)连接BD. ∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△PAD为正三角形 ‎∵F是AD的中点,∴BF⊥AD,‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ ‎∴BF⊥平面PAD 又∵BF⊂平面BEF,‎ ‎∴平面BEF⊥平面PAD ‎(2012年第16题)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点. ‎ 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1 ;‎ ‎(2)直线A1F∥平面ADE.‎ 证明:(1)∵是ABC-A1B1C1直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC ‎ 又∵AD⊂平面ABC,∴CC1⊥AD ‎ 又∵AD⊥DE,CC1,DE⊂平面ADE,CC1∩DE=E ‎∴平面ADE⊥平面BCC1B1‎ ‎(2)∵A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,∴A1F⊥B1C1‎ ‎ ∵CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1‎ ‎∴CC1⊥A1F 又∵CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1‎ ‎∴A1F⊥平面BCC1B1,‎ 由(1)知AD⊥平面BCC1B1,∴A1F∥AD ‎ 又∵AD⊂平面ADE,A1F ⊄平面ADE,‎ ‎∴A1F∥平面ADE ‎(2013年第16题)‎ 如图,在三棱锥S-ABC中,平面平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AB=AS,过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.‎ 求证:(1)平面EFG∥平面ABC ;‎ ‎(2)BC⊥SA.‎ S G A B C E F 证:(1)∵SA=AB且AF⊥SB,‎ ‎∴F为SB的中点.‎ 又∵E,G分别为SA,SC的中点,‎ ‎∴EF∥AB,EG∥AC.‎ 又∵AB∩AC=A,AB面SBC,AC⊂面ABC,‎ ‎∴平面EFG∥平面ABC.‎ ‎(2)∵平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,‎ AF⊂平面ASB,AF⊥SB.‎ ‎∴AF⊥平面SBC.‎ 又∵BC⊂平面SBC,‎ ‎∴AF⊥BC.‎ 又∵AB⊥BC,AF∩AB=A,‎ ‎∴BC⊥平面SAB.‎ 又∵SA⊂平面SAB,‎ ‎∴BC⊥SA.‎ ‎(2014年第16题)‎ 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.‎ 已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.‎ 求证:(1)直线PA∥平面DEF;‎ ‎(2)平面BDE⊥平面ABC.‎ 证明:‎ ‎(1)∵D,E为PC,AC中点 ‎ ‎∴DE∥PA ‎∵PA ⊄平面DEF,DE⊂平面DEF ‎ ‎∴PA∥平面DEF ‎(2)∵D,E为PC,AC中点 ‎ ‎∴ DE==3‎ ‎∵E,F为AC,AB中点 ‎ ‎∴EF==4‎ ‎∴DE2+EF2=DF2 ∴∠DEF=90°,∴DE⊥EF ‎∵DE∥PA ,PA⊥AC ‎ ‎∴DE⊥AC ‎∵AC∩EF=E ‎ ‎∴DE⊥平面ABC ‎∵DE⊂平面BDE, ‎ ‎∴平面BDE⊥平面ABC.‎ ‎(2015年第16题)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,‎ B1C∩BC1=E 求证:(1)DE∥平面A A1CC1‎ ‎(2) BC1⊥AB1‎ A B C1‎ D E A1‎ B1‎ C 证明:(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DE∥AC.‎ ‎ 又因为DE ⊄平面A A1C1C,AC⊂平面A A1C1C,所以DE∥平面A A1C1C ‎(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC ‎ 因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1,‎ ‎ 又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,‎ 所以AC⊥平面BCC1B1,‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC ‎ 因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C ‎ 因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC,‎ 又因为AB1 ⊂平面B1AC,所以BC1⊥A B1‎ ‎(2016年第16题)‎ 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别为AB、BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.‎ 求证:‎ ‎(1)直线DE∥平面A1C1F;‎ C1‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ B1‎ A1‎ F C E B A D 证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC ‎ 在△ABC中,因为D、E分别为AB,BC的中点,‎ ‎ ∴DE∥AC,于是DE∥A1C1‎ ‎ 又∵DE ⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,‎ ‎ ∴直线DE∥平面A1C1F ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1,‎ ‎ ∵A1C1⊂平面A1B1C1,‎ ‎ ∴A1A⊥A1C1‎ 又∵A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,‎ ‎ ∴A1C1⊥平面ABB1A1‎ ‎ ∵B1D⊂平面ABB1A1,‎ ‎ ∴A1C1⊥B1D 又∵B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F ‎∵B1D⊂平面B1DE ‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F ‎(2017年第15题)‎ 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD .‎ 求证:(1)EF∥平面ABC;‎ ‎(2)AD⊥AC A B C D E F 证明:(1)在平面内,∵AB⊥AD,EF⊥AD ‎ ‎∴EF∥AB 又∵EF ⊄ 平面ABC,AB⊂平面ABC ‎ ‎∴EF∥平面ABC ‎(2)∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD BC⊂平面BCD,BC⊥BD ‎∴BC⊥平面ABD ‎ ∵AD⊂平面ABD ‎ ∴BC⊥AD 又∵AB⊥AD,BC∩AB=B ,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC ‎∴AD⊥平面ABC ‎ 又∵AC⊂平面ABC,‎ ‎∴AD⊥AC ‎(2018年第15题)‎ 在平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.‎ 求证:(1)AB∥平面A1B1C;‎ ‎(2)平面ABB1 A1⊥平面A1BC 证明:(1)平行六面体ABCD-A1B1C1 D1中,AB∥A1B1‎ ⇒ AB∥平面A1B1C ‎(2) ⇒四边形A1B1BA为菱形⇒AB1⊥A1B ‎ ⇒ AB1⊥BC ‎ ⇒ AB1⊥平面A1BC ‎ ⇒平面ABB1 A1⊥平面A1BC ‎