2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 11页

‎2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 ‎（2008年第16题）‎ 在四面体ABCD中， CB＝CD ，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点，‎ 求证：（1）直线EF∥平面ACD ‎（2）平面EFC⊥平面BCD A B C D E F 证明：（1） ⇒直线EF∥平面ACD ‎（2）⇒直线BD⊥平面EFC 又BD⊂平面BCD，‎ 所以平面EFC⊥平面BCD ‎（2009年第16题）‎ 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，‎ A1D⊥B1C .‎ 求证：（1）EF∥平面ABC A B C D E F C₁‎ B₁‎ A₁‎ ‎（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，‎ ‎ 因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC ‎（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，‎ 又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，‎ ‎ 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C， CC1、B1C⊂平面BB1C1C ‎ 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，‎ ‎ 故平面A1FD⊥平面BB1C1C ‎（2010年第16题）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，‎ P A B C D ‎∠BCD＝90°．‎ ‎（1）求证：PC⊥BC；‎ ‎（2）求点A到平面PBC的距离．‎ D P A B C F E 证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，‎ BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．‎ 由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，‎ 又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，‎ 所以BC⊥平面PCD．‎ 因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．‎ 解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：‎ 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．‎ 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，‎ 因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．‎ 易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．‎ ‎（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．‎ 因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．‎ 从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．‎ 由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝S△ABC×PD＝．‎ 因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．‎ 又PD＝DC＝1，所以PC＝＝．‎ 由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．‎ 由VA——PBC＝VP——ABC，S△PBC×h＝V＝，得h＝，‎ 故点A到平面PBC的距离等于．‎ ‎（2011年第16题）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，‎ E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF∥平面PCD；‎ ‎（2）平面BEF⊥平面PAD 证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，‎ 又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD ‎（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形 ‎∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴BF⊥平面PAD 又∵BF⊂平面BEF，‎ ‎∴平面BEF⊥平面PAD ‎（2012年第16题）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点． ‎ 求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1 ；‎ ‎（2）直线A1F∥平面ADE．‎ 证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC ‎ 又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD ‎ 又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E ‎∴平面ADE⊥平面BCC1B1‎ ‎（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1‎ ‎ ∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1‎ ‎∴CC1⊥A1F 又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1‎ ‎∴A1F⊥平面BCC1B1，‎ 由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD ‎ 又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，‎ ‎∴A1F∥平面ADE ‎（2013年第16题）‎ 如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．‎ 求证：（1）平面EFG∥平面ABC ；‎ ‎（2）BC⊥SA．‎ S G A B C E F 证：（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，‎ ‎∴F为SB的中点．‎ 又∵E，G分别为SA，SC的中点，‎ ‎∴EF∥AB，EG∥AC．‎ 又∵AB∩AC＝A，AB面SBC，AC⊂面ABC，‎ ‎∴平面EFG∥平面ABC．‎ ‎（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，‎ AF⊂平面ASB，AF⊥SB．‎ ‎∴AF⊥平面SBC．‎ 又∵BC⊂平面SBC，‎ ‎∴AF⊥BC．‎ 又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，‎ ‎∴BC⊥平面SAB．‎ 又∵SA⊂平面SAB，‎ ‎∴BC⊥SA．‎ ‎（2014年第16题）‎ 如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．‎ 已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．‎ 求证：（1）直线PA∥平面DEF；‎ ‎（2）平面BDE⊥平面ABC．‎ 证明：‎ ‎（1）∵D,E为PC,AC中点 ‎ ‎∴DE∥PA ‎∵PA ⊄平面DEF，DE⊂平面DEF ‎ ‎∴PA∥平面DEF ‎（2）∵D,E为PC,AC中点 ‎ ‎∴ DE＝＝3‎ ‎∵E,F为AC,AB中点 ‎ ‎∴EF＝＝4‎ ‎∴DE2＋EF2＝DF2 ∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF ‎∵DE∥PA ，PA⊥AC ‎ ‎∴DE⊥AC ‎∵AC∩EF＝E ‎ ‎∴DE⊥平面ABC ‎∵DE⊂平面BDE， ‎ ‎∴平面BDE⊥平面ABC．‎ ‎（2015年第16题）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，‎ B1C∩BC1＝E 求证：（1）DE∥平面A A1CC1‎ ‎(2) BC1⊥AB1‎ A B C1‎ D E A1‎ B1‎ C 证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ ‎ 又因为DE ⊄平面A A1C1C，AC⊂平面A A1C1C，所以DE∥平面A A1C1C ‎（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC ‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，‎ ‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1，‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC ‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C ‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，‎ 又因为AB1 ⊂平面B1AC，所以BC1⊥A B1‎ ‎（2016年第16题）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．‎ 求证：‎ ‎（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ C1‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ B1‎ A1‎ F C E B A D 证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC ‎ 在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，‎ ‎ ∴DE∥AC，于是DE∥A1C1‎ ‎ 又∵DE ⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎ ∴直线DE∥平面A1C1F ‎（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，‎ ‎ ∵A1C1⊂平面A1B1C1，‎ ‎ ∴A1A⊥A1C1‎ 又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，‎ ‎ ∴A1C1⊥平面ABB1A1‎ ‎ ∵B1D⊂平面ABB1A1，‎ ‎ ∴A1C1⊥B1D 又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F ‎∵B1D⊂平面B1DE ‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F ‎（2017年第15题）‎ 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD .‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC A B C D E F 证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD ‎ ‎∴EF∥AB 又∵EF ⊄ 平面ABC，AB⊂平面ABC ‎ ‎∴EF∥平面ABC ‎（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD BC⊂平面BCD，BC⊥BD ‎∴BC⊥平面ABD ‎ ∵AD⊂平面ABD ‎ ∴BC⊥AD 又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B ，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC ‎∴AD⊥平面ABC ‎ 又∵AC⊂平面ABC，‎ ‎∴AD⊥AC ‎（2018年第15题）‎ 在平行六面体ABCD－A1B1C1 D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.‎ 求证：（1）AB∥平面A1B1C；‎ ‎（2）平面ABB1 A1⊥平面A1BC 证明：（1）平行六面体ABCD－A1B1C1 D1中，AB∥A1B1‎ ⇒ AB∥平面A1B1C ‎（2） ⇒四边形A1B1BA为菱形⇒AB1⊥A1B ‎ ⇒ AB1⊥BC ‎ ⇒ AB1⊥平面A1BC ‎ ⇒平面ABB1 A1⊥平面A1BC ‎