高考复习中抛物线几个常见结论及其应用 3页

抛物线的几个常见结论 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。‎ 结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。‎ 证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： ，‎ 由得: ∴，。‎ 当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：。‎ 例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。‎ 结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。‎ 证明：（1）设，，设直线AB:‎ 由得:, ∴，，‎ ‎∴。‎ 易验证，结论对斜率不存在时也成立。‎ ‎（2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小。‎ 例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。‎ 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。‎ ‎ （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。‎ 已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。‎ B A M N Q P y x O F ‎(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。‎ 证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，‎ 垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。‎ 由抛物线定义：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴以AB为直径为圆与准线l相切 O A M N P y x F ‎（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，‎ ‎∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，‎ ‎∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，‎ ‎∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，‎ B ‎∴，‎ ‎∴∠PFM=∠FMP ‎∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB ‎∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。‎ 结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。‎ 证明：设直线AB方程为:，由 得， △>0，，‎ ‎∵AO⊥BO，∴⊥∴‎ 将，代入得，。∴直线AB恒过定点（0，1）。‎ ‎∴当且仅当k=0时，取最小值1。‎ 结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．‎ 例　直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值．‎ 解析：设点分别为，则，．‎ 的坐标分别为．．．‎ 练习：‎ 1. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=‎ ‎ 　　‎ ‎　【解析：化为标准方程，得，从而．取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】‎ ‎2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点．点在抛物线的准线上，且轴．证明直线经过原点．‎ ‎【证明：抛物线焦点为．设直线的方程为，代入抛物线方程，得．若设，则．　　轴，且点在准线；‎ ‎　　又由，得，　　故，即直线经过原点．】‎ ‎3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．‎ ‎【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得．‎ ‎　　整理，得，此即为所求抛物线的方程．‎ ‎　　抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程．‎ ‎　设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标是】‎