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  • 2021-05-13 发布

高考数学三轮复习难点突破教学案难点03与三角变换向量等综合的三角形问题

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‎ ‎ 高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视在知识的交汇处考察,对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量、函数等的综合,它们之间互相联系、互相交叉,不仅考察三角变换,同时深化了向量的运算,体现了向量的工具作用,试题综合性较高,所以要求学生有综合处理问题的能力,纵观最近几年高考,试题难度不大,但是如果某一知识点掌握不到位,必会影响到整个解题过程 ,本文从以下几个方面阐述解题思路,以达到抛砖引玉的目的.‎ 1. 向量与三角形问题的结合 向量具有“双重身份”,既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算,,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换,同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则,这为向量和三角形问题的结合,提供了很好的几何背景.‎ ‎1.1 向量与三角形谈“心”‎ 内心(三角形内切圆圆心):三角形三条内角平分线的交点;外心(三角形外接圆的圆心):三角形各边中垂线的交点;垂心:三角形各边上高的交点;重心:三角形各边中线的交点,其向量形式为 若是内的一点,是的内心;‎ 若两点分别是的边上的中点,且 ‎ 是的外心; ‎ 若,则是的重心;‎ 若是面内的一点,且,则是的垂心.‎ 例1. 若O点是的外心, H点是的垂心,且,求实数m的值.[来源:]‎ 思路分析:在向量式两边同时减去,得,由H点是的垂心,两边同时点积,=0,又O点是的外心,,故,所以 ‎,该题也可以通过特例解题,取,则O,H分别是斜边中点,和直角顶点,很容易得到.‎ 1.2 判断三角形形状 三角形的边可以看做向量的模长,三角形的内角可以看做向量的夹角,所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算,结合平面几何知识来判断三角形的形状 例2.的三个内角A、B、C成等差数列,,则一定是    ( )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.非等边锐角三角形 D.钝角三角形 思路分析:由三内角等差可判断,由可得到三角形是等腰三角形,故三角形是等边三角形.‎ 1.3 ‎ 向量运算与三角形问题的综合运用 解答这类题,首先向量的基本概念和运算必须熟练,要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件,其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示,体现向量的工具作用.‎ 例3. 在△中,内角所对的边分别为,已知m,n,m·n.‎ ‎(1)求的大小;‎ ‎(2)若,,求△的面积.‎ 思路分析:(1)由,结合向量数量积的定义,可得关于 的三角函数关系式,然后对三角函数关系式进行适当变形处理,直到能求出的某个三角函数即可;(2)本题本质上就是一个解三角形的问题,沟通三角形中的边角关系主要是正弦定理和余弦定理,在中,已知,求其面积,可先用余弦定理求出,再用面积公式求出面积,也可先用正弦定理求出,再得,进而用三角形面积公式求出面积.‎ 1. 三角函数与三角形问题的结合 ‎ 三角函数的起源是三角形,所以经常会联系到三角形,这类型题是在三角形这个载体上的三角变换,第一:既然是三角形问题,就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论,及时边角转换,可以帮助发现问题解决思路;第二:它也是一种三角变换,只不过角的范围缩小了,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.‎ 例4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若△ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.‎ 思路分析:(1)中有正切和正弦、余弦,这样的问题一般是“切化弦”‎ ‎,统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答;(2)利用正弦定理,可化为角的三角函数,再利用,可消去一元,问题于是就转化为三角函数的值域问题. ‎ 1. 三角变换、向量、三角形问题的综合 高考会将几方面结合起来命题,三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质;向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线,体现向量的工具作用,三角变换主要考察求值、化简、变形.‎ 例5. 在中,,,分别是角,,的对边,向量,,且//. ‎ ‎(Ⅰ)求角的大小; ‎ ‎(Ⅱ)设,且的最小正周期为,求在区间上的最大值和最小值.‎ 思路分析:(Ⅰ)求角的大小,由已知//,根据共线向量的充要条件可知,‎ ‎,这样得到的关系式即含有边,又含有角,需要进行边角互化,由于求B角的值,故利用正弦定理把边化成角,得,通过三角恒等变化,从而求出;(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值,首先对进行恒等变化,把它化为一个角的一个三角函数,由它的最小正周期为,来确定的值,得的解析式,从而求出最大值和最小值.‎ 1. 实际应用中的三角形问题 ‎ 在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题,可以借助平面图形,将上述量放在一个三角形中,借助解三角形知识达到解决问题的目的.‎ 例6.如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是‎9m和‎15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角.‎ ‎(1)求BC的长度;‎ ‎ (2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的张角分别为,,问点P在何处时,最小?‎ 试题分析:(1)由题意不难想到作 于,这样能将条件很好的集中在 和 中,不妨设出一长度和角度,即设,在上述两直角三角形中,由直角三角形中正切的含义即,这样就可得到关于的一元二次方程,就可解得值; (2)先在图中含有和的两个直角三角形中,得到,再由两角和的正切公式可求出关于的表达式,通过化简得,结合基本不等式可求出它的最小值,并由基本不等式成立的条件得到此时的值,即可确定出的位置.‎ ‎ ‎ 综合上述几个方面的阐述,解三角形问题不是孤立的,而是跟其他相关知识紧密联系在一起,通过向量的工具作用,将条件集中到三角形中,然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题,是常见的解题思路,为此,熟练掌握向量的基本概念和向量的运算,熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键.‎