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以高等数学为背景的高考数学试题的研究 定边四中 曹世鹏 摘要： 本文通过调查研究的方法，以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。给出了以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议，为促进学生有效地学习数学、理解地掌握数学、恰当地运用数学的数学教学提供一个可借鉴的思路和途径。‎ 关键词：中学数学问题、分析、教学、高观点 ‎ 纵观近几年的课程改革，向量、算法、概率论、导数、定积分等内容被逐一下放到中数学必修课本中，中学数学里高等数学的含量正一步步扩大。选修课程分别由若干专题组成，有些看起来很深奥，几乎都是高等数学的内容。选修2—2导数与微积分;选修系列3：选修3—1数学史选讲、选修3—3球面上的几何、选修3—4对称与群；选修系列4:选修4—4几何证明选讲、选修4—2矩阵与变换、选修4—3平面坐标系中几种常见变换、选修4—4极坐标与参数方程、选修4—5不等式、选修4—‎ ‎6初等数论初步。由此可见选修课程中所涉及的内容都是高等数学的基础内容，现在把它们引入到高中数学课程中，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的精髓把它们的基本思想介绍给高中学生。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法，它们即呈现了现代数学多个分支，又兼顾了数学史，并凸现了其中的思想方法。作为一名高中数学老师，不断地从高等数学中汲取丰厚的营养，使之服务于中学数学教学，是一项很有意义的工作。‎ 随着中学数学里高等数学的含量进一步扩大，近几年来高考试卷中以高等数学为背景的高考试题出现的频率越来越高，本文以近几年来全国各地的高考题中的高等数学背景下的中学数学问题为依据，探析了此类问题的命题背景，充分说明了高等数学背景下中学数学问题的特点。‎ 下面以近几年的各省市的高考题为例，来探究“高观点”下的中学数学问题的命题背景：‎ 一、 以高等数学的符号、概念为背景的问题 命题1:（2013年陕西理10）设表示不大于的最大整数，则对任意实数，有：‎ ‎ ‎ 命题透视：本题是一道以数学分析中取整函数为背景的性质应用题。对任意的实数，记不超过的最大整数为，通常称函数为取整函数，又称高斯函数，高斯函数有以下几个性质：高斯函数是一个不减函数，即对任意若则；若则；由这条性质可推得选项D成立；若,则。本题考查学生对取整符号的理解，以及对取整函数（高斯函数）概念的理解和性质的掌握。高等数学中涉及很多数学符号，比如表示直和、表示连乘符号、表示求和符号等。‎ 命题2：（2012年四川理3）函数在处的极限 ‎ A.不存在 B.等于‎6 C.等于3 D.等于0‎ 本题主要考查函数的左、右极限与极限的概念。‎ 解：依题意可知：‎ 因此函数在处的极限不存在。‎ 命题3：（2012年上海理3）函数的值域是：‎ 解：因为且，所以函数的值域是。‎ 本题考查了行列式的计算，要熟记行列式计算的概念。‎ 一、 以高等数学基本公式为背景的问题 ‎ 在普通高中数学课程标准实验教科书选修系列4—5不等式选讲是这样叙述柯西不等式的:设与是两组实数，则有 当向量 与向量共线时，等号成立，即当且仅当时等号成立。虽然课标对这一部分内容要求不高，但这是一个很好的高等数学与中学数学知识点的交汇。以此为背景可以设计很多题目。‎ 命题4：（2013年湖北理13）设且满足：，‎ ‎，则（ ）‎ ‎ 命题透视：本题以求解代数式的值的形式考查了柯西不等式的应用，解答的关键是如何巧妙利用柯西不等式等号成立的条件来求解的值，理解柯西不等式等号成立的条件是关键。‎ 解：由柯西不等式得：，当且仅当 时等号成立。由已知得：‎ ‎ ‎ 所以有，再结合得： ‎ 所以。‎ 例1:（2014年陕西理‎15A）设且则 的最小值为（ ）‎ 解：由柯西不等式可知 ‎ ‎ 将代入得。‎ 例2：（2013年陕西理‎15A）设均为正数，且则 的最小值为（ ）‎ 解：由柯西不等式可知 当时，取得最小值2.‎ 一、 以高等数学中矩阵知识点为背景的问题 ‎ 矩阵的相关理论是高等数学中高等代数的知识点，而在普通高中数学课程标准实验教科书选修系列4—2矩阵与变换中给出了二阶矩阵的定义，以及矩阵的特征值和特征向量的概念及性质。‎ 命题5：（2014年福建理21）已知矩阵的逆矩阵 （1） 求矩阵 （2） 求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 命题透视：本题是以高等代数中的矩阵为背景，考查了逆矩阵的概念，如何求解矩阵的特征值和特征向量.结合中学的向量知识，考查了学生对新情景下知识的理解、抽象概括能力以及阅读理解、对新知识的迁移能力以及综合运用数学知识解决问题的能力，体现了在高等数学与高中数学的衔接处命题。‎ 解：（1）因为矩阵是矩阵的逆矩阵，且所以 ‎（2）矩阵的特征多项式为 令得矩阵的特征值为或，‎ 所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量，是矩阵的属于特征值的一个特征向量。‎ 例3: (2014年江苏卷）已知矩阵，,向量，‎ 为实数，若求的值。‎ 解：由已知，得 因为所以 故 解得 所以 一、 以高等数学中导数思想为背景的问题 初等数学中经常用不等式、配方等方法求最值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。但这些方法往往是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；另一方面是使用面较窄，只能解一些较特殊的问题。自从导数这块内容注入到中学教材之后，利用导数作为工具已成为高中学生研究函数性质的重要手段。这使得原本就受命题者青睐的导数几乎成了数学高考中的主角，基本上是每年必考的知 识点之一。用导数方法求极值，求函数的单调性，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面广一些，机制和最值也容易分清。以及用导数方法证明不等式等是导数思想命题重难点。‎ 命题6：设函数。‎ （1） 试判断函数的零点个数；‎ （2） 若当时，函数与的图像有两个公共点，求的取值范围。‎ 解：因为 令得或 （※）‎ 显然方程（※）的根的判别式 当或时，，方程（※）有两个非零实根，此时函数有3个零点；‎ 当时，，方程（※）有两个相等的非零实根，此时函数有2个零点；‎ 当时，，方程（※）有两个相等的零实根，此时函数有1个零点；‎ 当时，，方程（※）没有实根，此时函数有1个零点；‎ 综上所述：当或时，函数有3个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有1个零点.‎ （2） 设，则因为，‎ ‎ 所以 ‎ 设，，则令解得 ‎ ‎ 列表如下：‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎+‎ 由此可知在，上是增函数，在上是减函数。‎ 当时，取得极大值当时，取得极小值,‎ 而，。如果函数与的图像有两个公共点，则函数与的图像有两个公共点，所以或。‎ 命题透视：本题考查了三次函数的零点个数问题和构造函数求解不等式问题，两个问题都用到了导数思想。即从高等数学的导数思想分析：构造辅助函数，利用导数来研究函数性质。考查了函数的单调性和极值以及函数图像等性质。‎ 例4：已知函数,。‎ （1） 求的单调区间与极值；‎ （2） 若函数的图像与函数的图像在区间上有公共点，求实数的取值范围。‎ 五、以高等数学中积分思想为背景的问题 普通高中课程标准试验教科书选修2—2（北师版）中，增加了微积分的部分知识。这即可以增强高中数学的人文价值，也使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养，还可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学质量的提高。‎ 命题7：（2014年江西理8）若，则 解：因为是常数，所以，所以可以设 所以解得：‎ ‎ 。‎ 本题考查了定积分的计算，注意若定积分的积分上限和积分下限都是常数，则它的结果是一个数值。‎ 由此可见，初等数学的解法实际上是高等数学思想的具体体现。初等数学思想是高等数学思想的简单体现，也是学习高等数学的基础。用高等数学的思想去认识、理解和解决初等数学问题，可以进一步充实初等数学的某些理论的论述深度，以及进一步熟练地掌握用初等方法解决问题的技能。‎ 六、以高等数学为背景的中学数学问题的特点及应对策略和建议 ‎（一）以高等数学为背景的中学数学问题的特点 通过对高考试卷中高等数学背景下的中学数学问题的分析，可以得出“高观点”下的中学数学问题有如下几个特点：‎ ‎1、观点高 所谓“观点高”是指这些问题的设计来源于高等数学，所编拟的新题的背景是具有普遍意义的高等数学内容。“高观点”下中学数学问题从不同的角度抓住了初、高等数学的衔接点，立意新、背景深。这类问题或以高等数学符号、概念直接出现；或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中，能够借助实例和直观为中学生所接受的，强调学生的理解和应用的，不追求严格的证明和逻辑推理；或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。‎ 2、 落点低 ‎“落点低”‎ 是指这类问题的设计虽来源于高等数学，但解决的方法却是中学所学的初等数学知识，对学生思维的抽象性、逻辑性以及学生的理解力和自学能力提出了更高的要求，为进入高校学习高等数学做好准备，从而有利于高校选拔人才。‎ 2、 突出能力的考查 这种联系高等数学背景的“高观点”数学问题，在考查知识的基础上，侧重考查各种能力，高考考查各种能力的同时，以考查思维能力为核心，不追求知识的覆盖面，而追求知识网络的交汇点。这种以能力立意的“高观点”试题选拔的不再是对数学知识死记硬背、生搬硬套的学生，而是对数学概念、定理和公式有深刻的理解和牢固的掌握，具有运用数学知识和方法解决问题能力的学生。它能宽角度、多观点地考查数学素养，有层次地深入考查数学的理性思维，它既能实现高等数学与初等数学的接轨，又能有效地考查学生的思维能力和继续学习数学的潜能。‎ ‎（二）以高等数学为背景的中学数学问题的应对策略 对于以能力为立意的“高观点”下的中学数学问题，学生要转变学习态度，对数学概念、定理和公式能有深刻的理解和牢固掌握，并且能灵活运用数学知识和方法解决实际问题的能力；老师要改变课堂教学重结论轻过程的做法，要引导学生自己构建知识网络，对知识形成的来龙去脉要搞清楚，引导学生进行探究性学习，逐渐培养学生独立分析问题、判断问题、解决问题的能力。只有这样，才能不断发展学生的数学能力，才能达到以不变应万变。题海战术已不能在高考中取胜，纯粹的接受性学习在面对“高观点”下的中学数学问题时已是无能为力了。‎ 比如在概念课中，数学概念的教学是在老师指导下，调动学生认知结构中的已有感性经验和知识，去感知材料，经过思维加工产生认识飞跃，最后组织成完整的概念图式的过程。中学有些数学问题如果不在高等数学的知识背景下来解释，仍将含糊不清，甚至疑问重重。教师如果应用“高观点”解释中学数学难点，将会受到意想不到的教学效果。‎ 在不脱离中学数学的课程标准和教材的前提下，教师可以对重要的概念和知识联系上作必要的拓宽。教师如果能站在高等数学的角度，沟通初等数学与高等数学的联系，居高临下地去解释，将会更有利于学生深刻领悟数学概念的精髓及其后续发展。‎ （三） 建议 对于我们从事高中数学教学的老师，要加强教育教学理论学习和对高等数学知识的在学习。我们大多数一线教师经过多年的任教，将在大学学过的高等数学知识几乎都忘记了，这样就存在数学教师自身数学水平简化，缺少从高等数学的高观点审视和处理中学数学知识的能力的问题。‎ 总之，作为一名高中数学教师要用新课程标准审视常规教学，随时对自己的工作及专业能力的发展进行评估，树立终身学习的意识，在实践中不断学习，不断对自己的教育教学进行研究、反思，对自己的知识与经验进行重组，使自己的知识结构具有前瞻性，在反复的思考中使自身的专业素质、教学能力和科研水平都得到提高，从而实现中学数学老师的自我发展、终生发展。从而适应新课改的发展。‎ 参考文献：‎ ‎［1］《普通高中数学课程标准解读》江苏教育出版社，2013年 ‎［2］梁红《2012全国高考真题详解（理科数学）》陕西科学技术出版社，2012‎ ‎［3］梁红《2013全国高考真题详解（理科数学）》陕西科学技术出版社，2013‎ ‎［4］梁红《2014全国高考真题详解（理科数学）》陕西科学技术出版社，2014［5］任念兵、郁晓《浅谈高观点素材的教学功能》 数学教学研究。2006.11‎ ‎［6］ 郭丽云《“高观点”下的中学数学问题分析及教学探索》华东师范大学2010.9‎ ‎［7］严士健，王尚志，《普通高中课程标准试验教科书选修2—2》 北京师范大学出版社2012‎ ‎［8］严士健，王尚志，《普通高中课程标准试验教科书选修4—2矩阵变换》 北京师范大学出版社2009‎ ‎［9］严士健，王尚志，《普通高中课程标准试验教科书选修4—5 不等式选讲》 北京师范大学出版社2012‎