- 268.00 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.
1.(4分)(2015•闵行区一模)已知集合A={x||x﹣|>},U=R,则∁UA= [﹣1,4] .
2.(4分)(2015•闵行区一模)若复数z满足(z+2)(1+i)=2i(i为虚数单位),则z= ﹣1+i .
3.(4分)(2015•闵行区一模)函数f(x)=xcosx,若f(a)=,则f(﹣a)= ﹣ .
4.(4分)(2015•闵行区一模)计算 = .
5.(4分)(2015•闵行区一模)设f(x)=4x﹣2x+1(x≥0),则f﹣1(0)= 1 .
6.(4分)(2015•闵行区一模)已知θ∈(,π),sin﹣cos=,则cosθ= .
7.(4分)(2011•上海)若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为 .
8.(4分)(2015•闵行区一模)已知集合M={1,3},在M中可重复的依次取出三个数a,b,c,则“以a,b,c为边长恰好构成三角形”的概率是 .
9.(4分)(2015•闵行区一模)已知等边△ABC的边长为3,M是△ABC的外接圆上的动点,则的最大值为 .
【解析】: 解:如图,==3||cos∠BAM,设OM是外接圆⊙O的半径为3×=,
则 当且同向时,则取得最大值.
所以3||cos∠BAM=3(+OM)=;
故答案为:.
10.(4分)(2015•闵行区一模)函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是 .
【解析】: 解:y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f(x).
当x≥1时,f(x)=1+2log2x≥1,当且仅当x=1时取等号;
当0<x1时,f(x)=﹣1﹣2log2x≥1,当且仅当x=时取等号;
当时,f(x)=1,因此时等号成立.
综上可得:函数f(x)取最小值1时x的取值范围是.
故答案为:.
11.(4分)(2015•闵行区一模)已知函数f(x)=()x,g(x)=x,记函数h(x)=,则函数F(x)=h(x)+x﹣5所有零点的和为 5 .
【解析】: 解:∵函数f(x)=()x,g(x)=x,关于直线y=x对称,
记函数h(x)=,
∴可知h(x)关于直线y=x对称.
∵y=x与y=5﹣x,交点为A(2.5,2.5)
∴y=5﹣x,与函数h(x)交点关于A对称,
x1+x2=2×=5
∴函数F(x)=h(x)+x﹣5,的零点.
设h(x)与y=5﹣x交点问题,可以解决函数F(x)=h(x)+x﹣5零点问题.
故函数F(x)=h(x)+x﹣5所有零点的和为5.
故答案为:5.
12.(4分)(2015•闵行区一模)已知F1、F2是椭圆Γ1:=1和双曲线Γ2:=1的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则mn的最大值为 .
【解析】: 解:设|PF1|=s,|PF2|=t,
由题意可得公共焦点为知F1(﹣2,0),F2(2,0),
即有c=2,
在三角形PF1F2中,
由余弦定理可得4c2=s2+t2﹣2stcos60°
即s2+t2﹣st=16,
由椭圆的定义可得s+t=2m(m>0),
由双曲线的定义可得s﹣t=2n(n>0),
解得s=m+n,t=m﹣n.
即有16=(m+n)2+(m﹣n)2﹣(m+n)(m﹣n)=m2+3n2≥2mn,
即有mn≤.
当且仅当m=n,取得最大值.
故答案为:.
13.(4分)(2015•闵行区一模)在△ABC中,记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,设S是△ABC的面积,若2SsinA<(•)sinB,则下列结论中:
①a2<b2+c2; ②c2>a2+b2;
③cosBcosC>sinBsinC; ④△ABC是钝角三角形.
其中正确结论的序号是 ①②④ .
14.(4分)(2015•闵行区一模)已知数列f(2x)=af(x)+b满足:对任意n∈N*均有an+1=pan+3p﹣3(p为常数,p≠0且p≠1),若a2,a3,a4,a5∈{﹣19,﹣7,﹣3,5,10,29},则a1所有可能值的集合为 {﹣1,﹣3,﹣29} .
【解析】: 解:(1)取a2=﹣19,a3=﹣7时,
﹣7=﹣19p+3p﹣3,解得p=,
=﹣4,不成立;
(2)取a2=﹣19,a3=﹣3时,
﹣3=﹣19p+3p﹣3,解得p=0,
a4=﹣3,此时a1=﹣3;
(3)取a2=﹣19,a3=5时,
5=﹣19p+3p﹣3,解得p=﹣,
a4=5×=﹣7,
a5=﹣7×=﹣1,不成立;
(4)取a2=﹣19,a3=10时,
10=﹣19p+3p﹣3,解得p=﹣,
a4=10×=﹣,不成立;
(5)取a2=﹣19,a3=29时,
29=﹣19p+3p﹣3,解得p=﹣2,
a4=29×(﹣2)+3×(﹣2)﹣3=﹣67,不成立;
(6)取a2=﹣7,a3=﹣3时,
﹣3=﹣7p+3p﹣3,解得p=0,
a4=﹣3,此时a1=﹣3;
(7)取a2=﹣7,a3=5,
得5=﹣7p+3p﹣3,解得p=﹣2,
∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19,
a5=﹣19×(﹣2)﹣3×2﹣3=29,
∴﹣7=﹣2a1﹣3×2﹣3,解得a1=﹣1;
(8)取a2=﹣7,a3=10时,
10=﹣7p+3p﹣3,解得p=﹣,
=,不成立;
(9)取a2=﹣7,a3=29时,
29=﹣7p+3p﹣3,解得p=﹣8,
a4=29×(﹣8)+3×(﹣8)﹣3=﹣259,不成立;
(10)取a2=﹣7,a3=﹣19时,
﹣19=﹣7p+3p﹣3,解得p=4,
a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67,不成立;
(11)取a2=﹣3,a3=﹣19时,
﹣19=﹣3p+3p﹣3,不成立;
(12)取a2=﹣3,a3=﹣7时,
﹣7=﹣3p+3p﹣3,不成立;
(13)取a2=﹣3,a3=5时,
5=﹣3p+3p﹣3,不成立;
(14)取a2=﹣3,a3=10时,
10=﹣3p+3p﹣3,不成立;
(15)取a2=﹣5,a3=29时,
29=﹣3p+3p﹣3,不成立;
(16)取a2=5,a3=﹣19时,
﹣19=5p+3p﹣3,解得p=﹣2,
a4=﹣19×(﹣2)+3×(﹣2)﹣3=29,
a5=29×(﹣2)+3×(﹣2)﹣3=﹣67,不成立;
(17)取a2=5,a3=﹣7时,
﹣7=5p+3p﹣3,解得p=﹣,
=﹣1,不成立;
(18)取a2=5,a3=﹣3时,
﹣3=5p+3p﹣3,解得p=0,
a4=﹣3,此时a1=﹣3;
(19)取a2=5,a3=10时,
10=5p+3p﹣3,解得p=,
=,不成立;
(20)取a2=5,a3=29时,
29=5p+3p﹣3,解得p=4,
a4=29×4+3×4﹣3=125,不成立;
(21)取a2=10,a3=﹣19时,
﹣19=10p+3p﹣3,解得p=﹣,
=﹣,不成立;
(22)取a2=10,a3=﹣7时,
﹣7=10p+3p﹣3,解得p=﹣,
a4=﹣7×=﹣,不成立;
(23)取a2=10,a3=﹣3时,
﹣3=10p+3p﹣3,解得p=0,
a4=﹣3,此时a1=﹣3;
(24)取a2=10,a3=5时,
5=10p+3p﹣3,解得p=,
a4=5×﹣3=,不成立;
(25)取a2=10,a3=29时,
29=10p+3p﹣3,解得p=,
a4=29×+3×=,不成立;
(26)取a2=29,a3=﹣19时,
﹣19=29p+3p﹣3,解得p=﹣,
=5,
,
29=﹣﹣3×,解得a1=﹣67;
(27)取a2=29,a3=﹣7时,
﹣7=29p+3p﹣3,解得p=﹣,
a4=﹣7×﹣3=﹣,不成立;
(28)取a2=29,a3=5时,
5=29p+3p﹣3,解得p=,
a4==1,不成立;
(29)取a2=29,a3=10时,
10=29p+3p﹣3,解得p=,
a4=10×=,不成立;
(30)取a2=29,a3=﹣3时,
﹣3=29p+3p﹣3,解得p=0,
a4=﹣3,此时a1=﹣3.
综上所述,a的集合为{﹣1,﹣3,﹣67}.
故答案为:{﹣1,﹣3,﹣67}.
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得5分,否则一律得0分.
15.(5分)(2015•闵行区一模)已知圆O:x2+y2=1和直线l:y=kx+,则k=1是圆O与直线l相切的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
16.(5分)(2015•闵行区一模)(2﹣)8展开式中各项系数的和为( )
A. ﹣1 B. 1 C. 256 D. ﹣256
17.(5分)(2015•闵行区一模)已知y=f(x)是定义在R上的函数,下列命题正确的是( )
A. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在(a,b)内有零点,则有f(a)•f(b)<0
B. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)•f(b)>0,则其在(a,b)内没有零点
C. 若f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)•f(b)<0,则其在(a,b)内有零点
D. 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)•f(b)<0,则其在(a,b)内有零点
18.(5分)(2015•闵行区一模)数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,若记数据a1,a2,a3,…,a2015的方差为λ1,数据的方差为λ2,k=.则( )
A. k=4. B. k=2.
C. k=1. D. k的值与公差d的大小有关.
【解析】: 解:由题意,数据a1,a2,a3,…,a2015的平均数为=a1008,
所以λ1=[(a1﹣a1008)2+(a2﹣a1008)2+…+(a2015﹣a1008)2]=•(12+22+…+10072).
数据,,,…,的平均数为a1+d,
所以λ2=[(a1﹣a1﹣d)2+(a2﹣a1﹣d)2+…+(a2015﹣a1﹣d)2]=•(12+22+…+10072).
所以k==2,
故选:B.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(12分)(2015•闵行区一模)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan.求三棱锥C1﹣A1BC的体积.
【解析】: 解法一:∵A1C1⊥B1C1,A1C1⊥CC1,B1C1∩C1C=C1,
∴A1C1⊥平面BB1C1C,
∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.
设CC1=y,,
∴,
∴.
法二:如图,建立空间直角坐标系,设CC1=y. 得点B(0,2,0),C1(0,0,y),A1(2,0,y).
则,
平面BB1C1C的法向量为.
设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ,
则,
∴.
20.(14分)(2015•闵行区一模)某公司生产电饭煲,每年需投入固定成本40万元,每生产1万件还需另投入16万元的变动成本,设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完,每一万件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=﹣,10<x<100,该公司在电饭煲的生产中所获年利润W(万元).(注:利润=销售收入﹣成本)
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;
(2)为了让年利润W不低于2760万元,求年产量x的取值范围.
【解析】: 解:(1)当10<x<100时,W=xR(x)﹣(40+16x)=4360﹣﹣16x.
(2)4360﹣﹣16x≥2760,
所以x2﹣100x+2500≤0(x≠0),
所以(x﹣50)2≤0,
所以x=50.
21.(14分)(2015•闵行区一模)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,已知椭圆Γ过点P(,),且•=0.
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)若椭圆上两点C、D关于点M(1,)对称,求|CD|.
【解析】: 解:(1)由于椭圆Γ过点,
即有,解得a2=2,
又•=0,
则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2,
又,
得,,
即有,
而b2=a2﹣c2=2﹣c2,所以c2﹣2c+1=0得c=1,
故椭圆Γ的方程是.
(2)法一:设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则,且x1+x2=2,y1+y2=1,
由,
得:(x1+x2)(x1﹣x2)+2(y1+y2)(y1﹣y2)=0,
即,
所以CD所在直线的方程为,
将,代入x2+2y2=2得,
即有x1+x2=2,x1x2=.
.
法二:设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(2﹣x1,1﹣y1),
则,
两等式相减得,
将,代入x2+2y2=2得,
则有.
22.(16分)(2015•闵行区一模)已知函数f(x)=cos(2x﹣)+sin2x﹣cos2x+.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2﹣2f(t)﹣m>0,求实数m的取值范围;
(3)对任意的x1∈[﹣,],是否存在唯一的x2∈[﹣,],使f(x1)•f(x2)=1成立,请说明理由.
【解析】: 解:(1)
=,
函数f(x)的最小正周期T=π,
(2)当时,
,
,
存在,
满足F(t)﹣m>0的实数m的取值范围为(﹣∞,﹣1).
(3)存在唯一的,使f(x1)•f(x2)=1成立.
当时,,,
设,则a∈[﹣1,1],由,
得.
所以x2的集合为,
∵,
∴x2在上存在唯一的值使f(x1)•f(x2)=1成立.
23.(18分)(2015•闵行区一模)已知数列{an}为等差数列,a1=2,其前n和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)是否存在p,q∈N*,使得(a2p+2)2﹣bq=2020成立,若存在,求出所有满足条件的p,q;若不存在,说明理由.
(3)是否存在非零整数λ,使不等式λ(1﹣)(1﹣)…(1﹣)cos<对一切n∈N*都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
【解析】: 解(1)法1:设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q.
∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)•2n+2+4,
令n=1,2,3分别得a1b1=4,a1b1+a2b2=20,a1b1+a2b2+a3b3=68,
又a1=2,
∴,即,
解得:或.
经检验d=2,q=2符合题意,不合题意,舍去.
∴.
法2:∵ ①
则(n≥2)②
①﹣②得,,
又a1b1=4,也符合上式,
∴,
由于{an}为等差数列,令an=kn+b,则,
∵{bn}为等比数列,则(为常数),
即(qk﹣2k)n2+(bq﹣kq﹣2b+2k)n﹣qb=0恒成立,
∴q=2,b=0,
又a1=2,∴k=2,
故;
(2)假设存在p,q∈N*满足条件,则(4p+4)2﹣2q=2020,
化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2,
由p∈N*得,4p2+8p﹣501为奇数,
∴2q﹣2为奇数,故q=2.
得4p2+8p﹣501=1,即2p2+4p﹣251=0,
故,这与p∈N*矛盾,
∴不存在满足题设的正整数p,q;
(3)由an=2n,得,
设,则不等式等价于(﹣1)n+1λ<bn.,
∵bn>0,
∴bn+1>bn,数列{bn}单调递增.
假设存在这样的实数λ,使得不等式(﹣1)n+1λ<bn对一切n∈N*都成立,则
①当n为奇数时,得;
②当n为偶数时,得,即.
综上,,由λ是非零整数,知存在λ=±1满足条件.