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  • 2021-05-13 发布

上海市闵行区高考数学一模试卷理科含解析答案

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‎2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.‎ ‎1.(4分)(2015•闵行区一模)已知集合A={x||x﹣|>},U=R,则∁UA= [﹣1,4] .‎ ‎2.(4分)(2015•闵行区一模)若复数z满足(z+2)(1+i)=2i(i为虚数单位),则z= ﹣1+i .‎ ‎3.(4分)(2015•闵行区一模)函数f(x)=xcosx,若f(a)=,则f(﹣a)= ﹣ .‎ ‎4.(4分)(2015•闵行区一模)计算 =  .‎ ‎5.(4分)(2015•闵行区一模)设f(x)=4x﹣2x+1(x≥0),则f﹣1(0)= 1 .‎ ‎6.(4分)(2015•闵行区一模)已知θ∈(,π),sin﹣cos=,则cosθ=  .‎ ‎7.(4分)(2011•上海)若圆锥的侧面积为2π,底面面积为π,则该圆锥的体积为  .‎ ‎8.(4分)(2015•闵行区一模)已知集合M={1,3},在M中可重复的依次取出三个数a,b,c,则“以a,b,c为边长恰好构成三角形”的概率是  .‎ ‎9.(4分)(2015•闵行区一模)已知等边△ABC的边长为3,M是△ABC的外接圆上的动点,则的最大值为  .‎ ‎【解析】: 解:如图,==3||cos∠BAM,设OM是外接圆⊙O的半径为3×=,‎ 则 当且同向时,则取得最大值.‎ 所以3||cos∠BAM=3(+OM)=;‎ 故答案为:.‎ ‎10.(4分)(2015•闵行区一模)函数y=|2x|+|x|取最小值时x的取值范围是  .‎ ‎【解析】: 解:y=|2x|+|x|=|1+log2x|+|log2x|=f(x).‎ 当x≥1时,f(x)=1+2log2x≥1,当且仅当x=1时取等号;‎ 当0<x1时,f(x)=﹣1﹣2log2x≥1,当且仅当x=时取等号;‎ 当时,f(x)=1,因此时等号成立.‎ 综上可得:函数f(x)取最小值1时x的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎11.(4分)(2015•闵行区一模)已知函数f(x)=()x,g(x)=x,记函数h(x)=,则函数F(x)=h(x)+x﹣5所有零点的和为 5 .‎ ‎【解析】: 解:∵函数f(x)=()x,g(x)=x,关于直线y=x对称,‎ 记函数h(x)=,‎ ‎∴可知h(x)关于直线y=x对称.‎ ‎∵y=x与y=5﹣x,交点为A(2.5,2.5)‎ ‎∴y=5﹣x,与函数h(x)交点关于A对称,‎ x1+x2=2×=5‎ ‎∴函数F(x)=h(x)+x﹣5,的零点.‎ 设h(x)与y=5﹣x交点问题,可以解决函数F(x)=h(x)+x﹣5零点问题.‎ 故函数F(x)=h(x)+x﹣5所有零点的和为5.‎ 故答案为:5.‎ ‎12.(4分)(2015•闵行区一模)已知F1、F2是椭圆Γ1:=1和双曲线Γ2:=1的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则mn的最大值为  .‎ ‎【解析】: 解:设|PF1|=s,|PF2|=t,‎ 由题意可得公共焦点为知F1(﹣2,0),F2(2,0),‎ 即有c=2,‎ 在三角形PF‎1F2中,‎ 由余弦定理可得‎4c2=s2+t2﹣2stcos60°‎ 即s2+t2﹣st=16,‎ 由椭圆的定义可得s+t=‎2m(m>0),‎ 由双曲线的定义可得s﹣t=2n(n>0),‎ 解得s=m+n,t=m﹣n.‎ 即有16=(m+n)2+(m﹣n)2﹣(m+n)(m﹣n)=m2+3n2≥2mn,‎ 即有mn≤.‎ 当且仅当m=n,取得最大值.‎ 故答案为:.‎ ‎13.(4分)(2015•闵行区一模)在△ABC中,记角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,设S是△ABC的面积,若2SsinA<(•)sinB,则下列结论中:‎ ‎①a2<b2+c2; ②c2>a2+b2;‎ ‎③cosBcosC>sinBsinC; ④△ABC是钝角三角形.‎ 其中正确结论的序号是 ①②④ .‎ ‎14.(4分)(2015•闵行区一模)已知数列f(2x)=af(x)+b满足:对任意n∈N*均有an+1=pan+3p﹣3(p为常数,p≠0且p≠1),若a2,a3,a4,a5∈{﹣19,﹣7,﹣3,5,10,29},则a1所有可能值的集合为 {﹣1,﹣3,﹣29} .‎ ‎【解析】: 解:(1)取a2=﹣19,a3=﹣7时,‎ ‎﹣7=﹣19p+3p﹣3,解得p=,‎ ‎=﹣4,不成立;‎ ‎(2)取a2=﹣19,a3=﹣3时,‎ ‎﹣3=﹣19p+3p﹣3,解得p=0,‎ a4=﹣3,此时a1=﹣3;‎ ‎(3)取a2=﹣19,a3=5时,‎ ‎5=﹣19p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ a4=5×=﹣7,‎ a5=﹣7×=﹣1,不成立;‎ ‎(4)取a2=﹣19,a3=10时,‎ ‎10=﹣19p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ a4=10×=﹣,不成立;‎ ‎(5)取a2=﹣19,a3=29时,‎ ‎29=﹣19p+3p﹣3,解得p=﹣2,‎ a4=29×(﹣2)+3×(﹣2)﹣3=﹣67,不成立;‎ ‎(6)取a2=﹣7,a3=﹣3时,‎ ‎﹣3=﹣7p+3p﹣3,解得p=0,‎ a4=﹣3,此时a1=﹣3;‎ ‎(7)取a2=﹣7,a3=5,‎ 得5=﹣7p+3p﹣3,解得p=﹣2,‎ ‎∴a4=﹣2×5﹣3×2﹣3=﹣19,‎ a5=﹣19×(﹣2)﹣3×2﹣3=29,‎ ‎∴﹣7=﹣‎2a1﹣3×2﹣3,解得a1=﹣1;‎ ‎(8)取a2=﹣7,a3=10时,‎ ‎10=﹣7p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ ‎=,不成立;‎ ‎(9)取a2=﹣7,a3=29时,‎ ‎29=﹣7p+3p﹣3,解得p=﹣8,‎ a4=29×(﹣8)+3×(﹣8)﹣3=﹣259,不成立;‎ ‎(10)取a2=﹣7,a3=﹣19时,‎ ‎﹣19=﹣7p+3p﹣3,解得p=4,‎ a4=﹣19×4+3×4﹣3=﹣67,不成立;‎ ‎(11)取a2=﹣3,a3=﹣19时,‎ ‎﹣19=﹣3p+3p﹣3,不成立;‎ ‎(12)取a2=﹣3,a3=﹣7时,‎ ‎﹣7=﹣3p+3p﹣3,不成立;‎ ‎(13)取a2=﹣3,a3=5时,‎ ‎5=﹣3p+3p﹣3,不成立;‎ ‎(14)取a2=﹣3,a3=10时,‎ ‎10=﹣3p+3p﹣3,不成立;‎ ‎(15)取a2=﹣5,a3=29时,‎ ‎29=﹣3p+3p﹣3,不成立;‎ ‎(16)取a2=5,a3=﹣19时,‎ ‎﹣19=5p+3p﹣3,解得p=﹣2,‎ a4=﹣19×(﹣2)+3×(﹣2)﹣3=29,‎ a5=29×(﹣2)+3×(﹣2)﹣3=﹣67,不成立;‎ ‎(17)取a2=5,a3=﹣7时,‎ ‎﹣7=5p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ ‎=﹣1,不成立;‎ ‎(18)取a2=5,a3=﹣3时,‎ ‎﹣3=5p+3p﹣3,解得p=0,‎ a4=﹣3,此时a1=﹣3;‎ ‎(19)取a2=5,a3=10时,‎ ‎10=5p+3p﹣3,解得p=,‎ ‎=,不成立;‎ ‎(20)取a2=5,a3=29时,‎ ‎29=5p+3p﹣3,解得p=4,‎ a4=29×4+3×4﹣3=125,不成立;‎ ‎(21)取a2=10,a3=﹣19时,‎ ‎﹣19=10p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ ‎=﹣,不成立;‎ ‎(22)取a2=10,a3=﹣7时,‎ ‎﹣7=10p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ a4=﹣7×=﹣,不成立;‎ ‎(23)取a2=10,a3=﹣3时,‎ ‎﹣3=10p+3p﹣3,解得p=0,‎ a4=﹣3,此时a1=﹣3;‎ ‎(24)取a2=10,a3=5时,‎ ‎5=10p+3p﹣3,解得p=,‎ a4=5×﹣3=,不成立;‎ ‎(25)取a2=10,a3=29时,‎ ‎29=10p+3p﹣3,解得p=,‎ a4=29×+3×=,不成立;‎ ‎(26)取a2=29,a3=﹣19时,‎ ‎﹣19=29p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ ‎=5,‎ ‎,‎ ‎29=﹣﹣3×,解得a1=﹣67;‎ ‎(27)取a2=29,a3=﹣7时,‎ ‎﹣7=29p+3p﹣3,解得p=﹣,‎ a4=﹣7×﹣3=﹣,不成立;‎ ‎(28)取a2=29,a3=5时,‎ ‎5=29p+3p﹣3,解得p=,‎ a4==1,不成立;‎ ‎(29)取a2=29,a3=10时,‎ ‎10=29p+3p﹣3,解得p=,‎ a4=10×=,不成立;‎ ‎(30)取a2=29,a3=﹣3时,‎ ‎﹣3=29p+3p﹣3,解得p=0,‎ a4=﹣3,此时a1=﹣3.‎ 综上所述,a的集合为{﹣1,﹣3,﹣67}.‎ 故答案为:{﹣1,﹣3,﹣67}.‎ 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得5分,否则一律得0分.‎ ‎15.(5分)(2015•闵行区一模)已知圆O:x2+y2=1和直线l:y=kx+,则k=1是圆O与直线l相切的(  )‎ ‎  A. 充要条件 B. 充分不必要条件 ‎  C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎16.(5分)(2015•闵行区一模)(2﹣)8展开式中各项系数的和为(  )‎ ‎  A. ﹣1 B. ‎1 C. 256 D. ﹣256‎ ‎ ‎ ‎17.(5分)(2015•闵行区一模)已知y=f(x)是定义在R上的函数,下列命题正确的是(  )‎ ‎  A. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且在(a,b)内有零点,则有f(a)•f(b)<0‎ ‎  B. 若f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)•f(b)>0,则其在(a,b)内没有零点 ‎  C. 若f(x)在区间(a,b)上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)•f(b)<0,则其在(a,b)内有零点 ‎  D. 如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)•f(b)<0,则其在(a,b)内有零点 ‎18.(5分)(2015•闵行区一模)数列{an}是公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn,若记数据a1,a2,a3,…,a2015的方差为λ1,数据的方差为λ2,k=.则(  )‎ ‎  A. k=4. B. k=2.‎ ‎  C. k=1. D. k的值与公差d的大小有关.‎ ‎【解析】: 解:由题意,数据a1,a2,a3,…,a2015的平均数为=a1008,‎ 所以λ1=[(a1﹣a1008)2+(a2﹣a1008)2+…+(a2015﹣a1008)2]=•(12+22+…+10072).‎ 数据,,,…,的平均数为a1+d,‎ 所以λ2=[(a1﹣a1﹣d)2+(a2﹣a1﹣d)2+…+(a2015﹣a1﹣d)2]=•(12+22+…+10072).‎ 所以k==2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(12分)(2015•闵行区一模)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=2,直线A1B与平面BB‎1C1C所成角的大小为arctan.求三棱锥C1﹣A1BC的体积.‎ ‎【解析】: 解法一:∵A‎1C1⊥B‎1C1,A‎1C1⊥CC1,B‎1C1∩C‎1C=C1,‎ ‎∴A‎1C1⊥平面BB‎1C1C,‎ ‎∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB‎1C1C所成的角.‎ 设CC1=y,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 法二:如图,建立空间直角坐标系,设CC1=y. 得点B(0,2,0),C1(0,0,y),A1(2,0,y).‎ ‎ 则,‎ 平面BB‎1C1C的法向量为.‎ 设直线A1B与平面BB‎1C1C所成的角为θ,‎ 则,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2015•闵行区一模)某公司生产电饭煲,每年需投入固定成本40万元,每生产1万件还需另投入16万元的变动成本,设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部售完,每一万件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=﹣,10<x<100,该公司在电饭煲的生产中所获年利润W(万元).(注:利润=销售收入﹣成本)‎ ‎(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;‎ ‎(2)为了让年利润W不低于2760万元,求年产量x的取值范围.‎ ‎【解析】: 解:(1)当10<x<100时,W=xR(x)﹣(40+16x)=4360﹣﹣16x.‎ ‎(2)4360﹣﹣16x≥2760,‎ 所以x2﹣100x+2500≤0(x≠0),‎ 所以(x﹣50)2≤0,‎ 所以x=50.‎ ‎21.(14分)(2015•闵行区一模)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,已知椭圆Γ过点P(,),且•=0.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程;‎ ‎(2)若椭圆上两点C、D关于点M(1,)对称,求|CD|.‎ ‎【解析】: 解:(1)由于椭圆Γ过点,‎ 即有,解得a2=2,‎ 又•=0,‎ 则以AP为直径的圆恰好过右焦点F2,‎ 又,‎ 得,,‎ 即有,‎ 而b2=a2﹣c2=2﹣c2,所以c2﹣‎2c+1=0得c=1,‎ 故椭圆Γ的方程是. ‎ ‎(2)法一:设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),‎ 则,且x1+x2=2,y1+y2=1,‎ 由,‎ 得:(x1+x2)(x1﹣x2)+2(y1+y2)(y1﹣y2)=0,‎ 即,‎ 所以CD所在直线的方程为,‎ 将,代入x2+2y2=2得,‎ 即有x1+x2=2,x1x2=.‎ ‎.‎ 法二:设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(2﹣x1,1﹣y1),‎ 则,‎ 两等式相减得,‎ 将,代入x2+2y2=2得,‎ 则有. ‎ ‎22.(16分)(2015•闵行区一模)已知函数f(x)=cos(2x﹣)+sin2x﹣cos2x+.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2﹣‎2f(t)﹣m>0,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)对任意的x1∈[﹣,],是否存在唯一的x2∈[﹣,],使f(x1)•f(x2)=1成立,请说明理由.‎ ‎【解析】: 解:(1)‎ ‎=,‎ 函数f(x)的最小正周期T=π,‎ ‎(2)当时,‎ ‎,‎ ‎,‎ 存在,‎ 满足F(t)﹣m>0的实数m的取值范围为(﹣∞,﹣1).‎ ‎(3)存在唯一的,使f(x1)•f(x2)=1成立.‎ 当时,,,‎ 设,则a∈[﹣1,1],由,‎ 得.‎ 所以x2的集合为,‎ ‎∵,‎ ‎∴x2在上存在唯一的值使f(x1)•f(x2)=1成立.‎ ‎23.(18分)(2015•闵行区一模)已知数列{an}为等差数列,a1=2,其前n和为Sn,数列{bn}为等比数列,且a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)•2n+2+4对任意的n∈N*恒成立.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)是否存在p,q∈N*,使得(a2p+2)2﹣bq=2020成立,若存在,求出所有满足条件的p,q;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)是否存在非零整数λ,使不等式λ(1﹣)(1﹣)…(1﹣)cos<对一切n∈N*都成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】: 解(1)法1:设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q.‎ ‎∵a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n﹣1)•2n+2+4,‎ 令n=1,2,3分别得a1b1=4,a1b1+a2b2=20,a1b1+a2b2+a3b3=68,‎ 又a1=2,‎ ‎∴,即,‎ 解得:或.‎ 经检验d=2,q=2符合题意,不合题意,舍去.‎ ‎∴.‎ 法2:∵ ①‎ 则(n≥2)②‎ ‎①﹣②得,,‎ 又a1b1=4,也符合上式,‎ ‎∴,‎ 由于{an}为等差数列,令an=kn+b,则,‎ ‎∵{bn}为等比数列,则(为常数),‎ 即(qk﹣2k)n2+(bq﹣kq﹣2b+2k)n﹣qb=0恒成立,‎ ‎∴q=2,b=0,‎ 又a1=2,∴k=2,‎ 故;‎ ‎(2)假设存在p,q∈N*满足条件,则(4p+4)2﹣2q=2020,‎ 化简得4p2+8p﹣501=2q﹣2,‎ 由p∈N*得,4p2+8p﹣501为奇数,‎ ‎∴2q﹣2为奇数,故q=2.‎ 得4p2+8p﹣501=1,即2p2+4p﹣251=0,‎ 故,这与p∈N*矛盾,‎ ‎∴不存在满足题设的正整数p,q;‎ ‎(3)由an=2n,得,‎ 设,则不等式等价于(﹣1)n+1λ<bn.,‎ ‎∵bn>0,‎ ‎∴bn+1>bn,数列{bn}单调递增.‎ 假设存在这样的实数λ,使得不等式(﹣1)n+1λ<bn对一切n∈N*都成立,则 ‎①当n为奇数时,得; ‎ ‎②当n为偶数时,得,即.‎ 综上,,由λ是非零整数,知存在λ=±1满足条件.‎