2013高考数学人教B版课后作业98用向量方法求角与距离理 19页

‎9-8 用向量方法求角与距离(理) ‎ ‎1.(2011·福州模拟)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) ‎ A.，－，4　　　　　 B.，－，4‎ C.，2,4 D． 4，，－15‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵⊥，∴·＝3＋5－2z＝0，∴z＝4，‎ ‎∵⊥平面ABC，∴⊥，⊥，‎ ‎∴，∴，故选B.‎ ‎2．在直三棱柱A1B‎1C1－ABC中，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1、A‎1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　建立如下图所示的坐标系，设BC＝1，则A(－1,0,0)，F1，B(0，－1,0)，D1－，－，1，‎ 即＝，＝.‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ ‎3．已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1，则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　‎ 如上图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，‎ ‎∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)，‎ 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则，∴，∴，‎ 令x＝1得，n＝(1，－ 1，－1)，‎ 设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则 sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，‎ ‎∴cosθ＝＝.‎ ‎4．在空间直角坐标O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P ‎(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　)‎ A．4　　　　 B．3　　　　‎ C．2　　　　 D．1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，O在平面OAB内，‎ ‎∵＝(－1,3,2)，‎ ‎∴点P到平面OAB的距离 d＝＝＝2.‎ ‎5.( 2011·皖南八校联考)如下图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过A，B两点分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，若AB＝12，则A′B′的长为(　　)‎ A．4　　　　 B．6　　　　[来源:高&考%资(源#网 wxc]‎ C．8　　　　 D．9‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，∠ABA′＝，∠BAB′＝，‎ ‎∴∠A′AB＝，‎ ‎∵AB＝12，∴AA′＝6，BB′＝6，‎ ‎∴||2＝(＋＋)2‎ ‎＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ‎＝36＋144＋72＋2×6×12×cos＋2×12×6×‎ cos＋0＝36，∴A′B′＝||＝6.‎ ‎6．(2011·广东省江门模拟)如下图，ABCD－A1B‎1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF.当A1、E、F、C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)，同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝.‎ ‎7．(2011·浙江丽水模拟)如下图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．‎ ‎[答案]　(1,1,1)‎ ‎[解析]　设PD＝a，则由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，ks5u.com ‎∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)，‎ ‎∵cos〈，〉＝，∴＝，∴a＝2，‎ ‎∴点E的坐标为(1,1,1)．‎ ‎8．(2011·海淀检测)若正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A‎1C1到底面ABCD的距离为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设A‎1C1到底面的距离为a(a>0)，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如下图空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，a)，‎ ‎[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]‎ ‎∴＝(0,1，a)，‎ 又平面ABCD的一个法向量n＝(0,0,1)，‎ 由条件知sin60°＝|cos〈，n〉|＝ ‎＝，∴a＝.‎ ‎9．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的正弦值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设正三角形ABC的中心为O，过O作直线l∥BC，分别以直线l、AO、PO为x轴、y轴、z轴建立如下图空间直角坐标系，则底面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，‎ 由条件知A(0，－，0)，设P(0,0，a)(a>0)，‎ 由||＝2得，a＝，‎ 设侧棱与底面所成角为θ，则 sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.‎ ‎[点评]　由上述解答过程可见，本题不如用综合几何方法简便，事实上图中∠PAO为直线PA与底面ABC所成的角，cos∠PAO＝＝，∴sin∠PAO＝，故在解题中，要注意依据所给条件灵活选取解法．‎ ‎10．(2010·河北邯郸市模考)如下图所示，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A‎1C1的中点．‎ ‎(1)求证：BC1∥平面AB1D；‎ ‎(2)求二面角A1－AB1－D的大小；‎ ‎(3)求点C1到平面AB1D的距离．‎ ‎[解析]　(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，∵D为A‎1C1的中点，∴DE为△A1BC1的中位线，‎ ‎∴BC1∥DE.‎ 又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，‎ ‎∴BC1∥平面AB1D.‎ ‎(2)解法1：过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面ABB‎1A1，连结EF，DE，在正△A1B‎1C1中，∴B1D＝A1B1＝a，‎ 由直角三角形AA1D中，AD＝＝a，‎ ‎∴AD＝B1D，∴DE⊥AB1，‎ 由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1.‎ 则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角，‎ 又DF＝a，∵△B1FE∽△B1AA1，‎ ‎∴＝⇒EF＝a，∴∠DEF＝.[来源:高&考%资(源#网 wxc]‎ 故所求二面角A1－AB1－D的大小为.‎ 解法2：(向量法)‎ 建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－a,0)，B1(0，a，a)，C1(－a,0，a)，A1(0，－a，a)，D(－a，－a，a)．‎ ‎∴＝(0，a，a)，＝(－a，－a,0)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得 ，所以，‎ 即，‎ 取y＝1可得n＝(－，1，－)．‎ 又平面ABB‎1A1的一个法向量n1＝＝(－a,0,0)，设n与n1的夹角是θ，则cosθ＝＝.‎ 又知二面角A1－AB1－D是锐角，‎ 所以二面角A1－AB1－D的大小是.‎ ‎(3)解法1：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2＋DB＝AB，所以AD⊥DB1，故S△ADB1＝2＝a2，而S△C1B1D＝S△A1B‎1C1＝a2，‎ 由VC1－AB1D＝VA－C1B1D⇒S△AB1D·h ‎＝S△C1B1D·AA1⇒h＝a.‎ 解法2：由(2)知平面AB1D的一个法向量n＝(－，1，－)，＝(－a，a，a)，‎ ‎∴d＝＝＝a.‎ 即C1到平面AB1D的距离为a.‎ ‎11.(2010·新乡市模考)如下图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，O是底面A1B‎1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABCD的法向量n＝(x，y,1)，则 ，∴，∴，∴n＝(1,0,1)，‎ 又＝，‎ ‎∴O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.‎ ‎[点评]　1.建立坐标系可以有不同的方案，如 以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系，则O，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，‎ 设平面ABC1D1的法向量n＝(x，y,1)，则 ，∴，∴n＝(0，－1,1)，‎ ‎∴O到平面ABC1D1的距离h＝＝.‎ ‎2．也可以不用空间向量求解．‎ 取B‎1C1的中点M，连结B‎1C交BC1于O′，取O′C1的中点N，连结MN，则MN⊥BC1，又在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，OM平行于平面ABC1D1，则O到平面ABC1D1的距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN＝，故选B.‎ ‎12．(2011·咸阳模拟)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．‎ ‎[答案]　30°‎ ‎[解析]　由条件知AC⊥BD，AC与BD交点为O，以O为原点，射线OC，射线OD，射线OS分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设SO＝OD＝，则BC＝2，‎ ‎∴A(－，0,0)，C(，0,0)，D(0，，0)，S(0,0，)，B(0，－，0)，∴P(0，，)，‎ ‎∴＝(，，0)，＝(2，0,0)，＝(，，)．‎ 设平面PAC的一个法向量n＝(x，y，z)，则 ，∴，‎ ‎∴，取n＝(0,1，－1)，‎ 设直线BC与平面PAC成的角为φ，则 sinφ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，‎ ‎∴φ＝30°.‎ ‎13．(2011·洛阳联考)如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA＝AD＝3，CD＝.‎ ‎(1)求证：AF∥平面PCE；‎ ‎(2)求点F到平面PCE的距离；‎ ‎(3)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎[解析]　‎ 如上图所示建立空间直角坐标系A－xyz，A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E(，0,0)，F(0，，)，C(，3,0)．‎ ‎(1)取PC的中点G，连接EG，则G(，，)．‎ ‎∵＝(0，，)，＝(0，，)，∴∥，[来源:Ks5u.com]‎ 即AF∥EG.‎ 又AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，‎ ‎∴AF∥平面PCE.‎ ‎(2)设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－，0,3)， ＝(，3,0)．‎ 即 取y＝－1，得n＝(，－1,1)．‎ 又＝(0，，－)，‎ 故点F到平面PCE的距离为 d＝＝＝.‎ ‎(3)＝(，，－)，‎ 设FC与平面PCE所成角为θ，‎ sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.‎ ‎∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.‎ ‎14．(2011·北京西城二模)如下图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝3，得到三棱锥B－ACD.‎ ‎(1)若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；‎ ‎(2)求二面角A－BD－O的余弦值；‎ ‎(3)设点N是线段BD上一个动点，试确定点N的位置，使得CN＝4，并证明你的结论．‎ ‎[解析]　(1)证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB.‎ 因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，‎ 所以OM∥平面ABD.‎ ‎(2)由题意知，OB＝OD＝3，‎ 因为BD＝3，‎ 所以∠BOD＝90°，OB⊥OD.‎ 又因为四边形ABCD是菱形，所以OB⊥AC，OD⊥AC.‎ 建立空间直角坐标系O－xyz，如下图所示．‎ 则A(3，0, 0)，D(0,3,0)，B(0,0,3)．‎ 所以＝(－3，0,3)，＝(－3，3,0)，‎ 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则有即 令x＝1，则y＝，z＝，所以n＝(1，，)．‎ 因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD.‎ 平面BOD的法向量与AC平行，‎ 所以可得平面BOD的一个法向量为n0＝(1,0,0)．‎ cos〈n0，n〉＝＝＝.‎ 因为二面角A－BD－O是锐角，‎ 所以二面角A－BD－O的余弦值为.‎ ‎(3)因为N是线段BD上一个动点，设N(x1，y1，z1)，‎ ＝λ，则(x1，y1，z1－3)＝λ(0,3，－3)，‎ 所以x1＝0，y1＝3λ，z1＝3－3λ，‎ 则N(0,3λ，3－3λ)，＝(3，3λ，3－3λ)，‎ 由CN＝4得＝4，‎ 即9λ2－9λ＋2＝0，‎ 解得λ＝或λ＝，‎ 所以N点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2)．‎ ‎(也可以答N是线段BD的三等分点，＝2或2＝)‎ ‎15．(2011·北京理，16)如下图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.‎ ‎(1)求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；‎ ‎(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．‎ ‎[解析]　(1)因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.‎ 又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.‎ 因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.‎ ‎(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，‎ 所以BO＝1，AO＝CO＝.‎ 如上图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则P(0，－，2)，‎ A(0，－，0)，B(1,0,0)，‎ C(0，，0)．‎ 所以＝(1，，－2)，‎ ＝(0,2，0)，‎ 设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝＝＝.‎ ‎(3)由(2)知＝(－1，，0)．‎ 设P(0，－，t)，(t>0)，则＝(－1，－，t)．‎ 设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，则 ·m＝0，·m＝0，‎ 所以 令y＝，则x＝3，z＝.所以m＝(3，，)．‎ 同理，平面PDC的法向量n＝(－3，，)．‎ 因为平面PBC⊥平面PDC.‎ 所以m·n＝0，即－6＋＝0.解得t＝.‎ 所以PA＝.‎ ‎1．已知正三棱柱ABC－A1B‎1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC‎1A1所成角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　解法1：取A‎1C1中点E，连结AE、B1E.‎ 由题易知B1E⊥平面ACC‎1A1，‎ 则∠B1AE为AB1与侧面ACC‎1A1所成的角．‎ 令正三棱柱侧棱长与底面边长为1.‎ 则sin∠B1AE＝＝＝.‎ 故选A.‎ 解法2：以A‎1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则 A，B1，令AB1与面ACC‎1A1所成角为θ.‎ ‎∴sinθ＝|cos〈，〉|‎ ‎＝＝.‎ ‎2．如下图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.‎ ‎(1)求证：AF∥平面BDE；‎ ‎(2)求证：CF⊥平面BDE；‎ ‎(3)求二面角A－BE－D的大小．‎ ‎[解析]　‎ ‎(1)设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.‎ ‎(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.如图以C为原点，建立空间直角坐标系C—xyz.则C(0,0,0)，A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，，1)．所以＝(，，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE.‎ ‎(3)由(2)知，＝(，，1)，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n＝(x，y，z)，则n·＝0，‎ n·＝0.‎ 即 所以x＝0，z＝y.令y＝1，则z＝.‎ 所以n＝(0,1，)，从而cos〈n，〉＝＝ 因为二面角A—BE—D为锐角，所以二面角A—BE—D的大小为.‎ ‎ ‎