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- 2021-05-13 发布
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3)
理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则中元素的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
2.设复数满足,则
A. B. C. D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.的展开式中的系数为()
A.-80 B.-40 C.40 D.80
5.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点.则的方程为()
A. B. C. D.
6.设函数,则下列结论错误的是()
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称
C.的一个零点为 D.在单调递减
7.执行右图的程序框图,为使输出的值小于91,则输入的正整数的最小值为
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A. B.
C. D.
9.等差数列的首项为1,公差不为0.若成等比数列,则前6项的和为
A.-24 B.-3 C.3 D.8
10.已知椭圆()的左、右顶点分别为,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为()
A. B. C. D.
11.已知函数有唯一零点,则()
A. B. C. D.1
12.在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为
A.3 B. C. D.2
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若满足约束条件则的最小值为________.
14.设等比数列满足,则________.
15.设函数则满足的的取值范围是________.
16.为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线与成角时,与成角;
②当直线与成角时,与成角;
③直线与所成角的最小值为;
④直线与所成角的最大值为.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
的内角的对边分别为,已知
(1)求;
(2)设为边上一点,且,求的面积.
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值?
19.(12分)如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形.,.
(1)证明:平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四面体
分成体积相等的两部分.求二面角的余弦值.
20.(12分)已知抛物线,过点(2,0)的直线交于,两点,圆是以线段为直径的圆.
(1)证明:坐标原点在圆上;
(2)设圆过点(4,),求直线与圆的方程.
21.(12分)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)设为整数,且对于任意正整数,,求的最小值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.
(1)写出的普通方程:
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:,为与的交点,求的极径.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3)
理科数学参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D
7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A
二、填空题
13. 14. 15. 16.②③
三、解答题
17.解:
(1)由已知可得,所以
在中,由余弦定理得,即
解得(舍去),
(2)由题设可得,所以
故面积与面积的比值为
又的面积为,所以的面积为
18.解:
(1)由题意知,所有可能取值为200,300,500,由表格数据知
,,.
因此的分布列为:
200
300
500
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200500
当时,
若最高气温不低于25,则;
若最高气温位于区间[20,25),则;
若最高气温低于20,则
因此
当时,
若最高气温不低于20,则;
若最高气温低于20,则
因此
所以时,的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:
(1)由题设可得,,从而
又是直角三角形,所以
取的中点,连结,
则
又由于是正三角形,故
所以为二面角的平面角
在中,
又,所以
,故
所以平面平面
(2)由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则
由题设知,四面体的体积为四面体的体积的,从而到平面的距离为到平面的距离的,即为的中点,得,故
设是平面的法向量,则同理可取
则
所以二面角的余弦值为
20.解:
(1)设
由可得,则
又,故
因此的斜率与的斜率之积为,所以
故坐标原点在圆上
(2)由(1)可得
故圆心的坐标为,圆的半径
由于圆过点,因此,
故,
即
由(1)可得
所以,解得或
当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为
当时,直线的方程为,圆心的坐标为,圆的半径为,圆的方程为
21.解:
(1)的定义域为
① 若,因为,所以不满足题意;
② 若,由知,当时,;当时,。所以在单调递减,在单调递增。故是在的唯一最小值点。
由于,所以当且仅当时,
故
(2)由(1)知当时,
令,得,从而
故
而,所以的最小值为3
22.解:
(1)消去参数得的普通方程;消去参数得的普通方程
设,由题设得消去得
所以的普通方程为
(2)的极坐标方程为
联立得
故,从而
代入得,所以交点的极径为
23.解:
(1)
当时,无解;
当时,由得,,解得;
当时,由解得
所以的解集为
(2)由得,而
且当时,
故的取值范围为