新高考全案2009高考数学Ι轮精品教案及其练习精析合情推理和演绎推理 10页

第十七章 推理与证明 ‎★知识网络★‎ 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 归纳 类比 直接证明 间接证明 数学归纳法 综合法 分析法 反证法 第1讲 合情推理和演绎推理 ‎ ‎★知识梳理★‎ ‎1.推理 ‎ 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.‎ 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.‎ ‎2、合情推理:‎ 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。‎ 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：‎ ‎（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 ‎（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。‎ ‎3.演绎推理:‎ 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。‎ ‎★重难点突破★‎ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 ‎1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1：观察：；； ；….对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____.‎ 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故 ‎2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当与抛物线的对称轴垂直时，的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．‎ 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于、两点，则当与椭圆的长轴垂直时，的长度最短（）‎ ‎3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x的最大整数，则[-2.1]= ‎ 点拨：“大前提”是在找最大整数，所以[-2.1]=-3‎ ‎★热点考点题型探析★‎ 考点1 合情推理 ‎ 题型1 用归纳推理发现规律 ‎[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。‎ ‎；；；‎ ‎【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”‎ ‎ [解析]猜想：‎ 证明：左边=‎ ‎==右边 ‎【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 ‎（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）‎ ‎ [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以 表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________. ‎ ‎【解题思路】找出的关系式 ‎[解析] ‎ ‎【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 ‎【新题导练】‎ ‎1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为___ .‎ ‎[解析]的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，，…，‎ 由得 ‎2. (2010惠州调研二理)函数由下表定义：‎ 若，，，则 4 ．‎ ‎[解析] ，，，，，，‎ 点评：本题为循环型 ‎3. (2010深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　；　　　　　　　　．（答案用数字或的解析式表示）‎ ‎[解析]‎ ‎4. (2008揭阳一模)‎ 设,‎ ‎ 则=（ ）‎ A. 　　　B. 　　C. 　　D. ‎ ‎[解析]，，，，，，=‎ 题型2 用类比推理猜想新的命题 ‎[例1 ] (2010韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.‎ ‎【解题思路】从方法的类比入手 ‎[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高 ‎【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 ‎（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 ‎ [例2 ] 在中,若,则,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想 ‎【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间 ‎ ‎ [解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则”‎ 证明：设在平面的射影为，延长交于，记 由得，从而，又 ‎，，‎ 即 ‎【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 ‎【新题导练】‎ ‎5. (2010‎ 深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为　　　．‎ ‎[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为 ‎6. (2010梅州一模)已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 ‎ ‎[解析] ‎ ‎7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)‎ 在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在的球的一般方程为_______________________.‎ ‎[解析] ；‎ ‎8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数和都是非零实数，方程和在复数集上的解集分别是和，则“”是“”的充分必要条件．‎ 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．‎ 解：（3）如果系数和都是非零实数，不等式和的解集分别是和，则“”是“”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．‎ ‎9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．‎ 类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；‎ ‎ 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项和的计算公式为_____________________________________．‎ ‎[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；；‎ 考点2 演绎推理 ‎ 题型:利用“三段论”进行推理 ‎[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）‎ ‎【解题思路】从分式的性质中寻找S值的变化规律 ‎ ‎[解析] 因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多 ‎【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到 ‎[例2 ] （03上海）已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.‎ ‎（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；‎ ‎（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；‎ ‎（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.‎ ‎【解题思路】函数f(x)是否属于集合M，要看f(x)是否满足集合M的“定义”，‎ ‎[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，所以f(x)=‎ ‎（2）因为函数f(x)=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，‎ 所以方程组：有解，消去y得ax=x,‎ 显然x=0不是方程ax=x的解，所以存在非零常数T，使aT=T. ‎ 于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.‎ ‎（3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.‎ 当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有 f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .‎ 因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，‎ 于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，‎ 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，‎ 只有T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z . ‎ 当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，‎ 即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，‎ 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .‎ 实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}‎ ‎【名师指引】学会紧扣“定义”解题 ‎【新题导练】‎ ‎10. (2010珠海质检理)定义是向量a和b的“向量积”，它的长度为向量a和b的夹角，若= .‎ ‎[解析]‎ ‎11. (2010深圳二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、、、、、、、、各点，最后又回到（如图所示），其中：，‎ ‎，．‎ 欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度，‎ 则（　B　）‎ A． B． C． D．‎ ‎[解析]只需测量3条线段的长 ‎12. (2010惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文，例如，明文对应密文．当接受方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．‎ ‎ A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7‎ ‎[解析] 由得，选C ‎13.对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则………（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：由题意，，解得，所以正确答案为（B）．‎ 点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该题还原为：已知复数满足，则_____________．‎ ‎★抢分频道★‎ 基础巩固训练 ‎1、对于集合A,B,定义运算，则=（ ）‎ A.B B.A C. D. ‎ ‎[解析]D [用图示法]‎ ‎2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 ‎ C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 ‎[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C ‎3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））‎ 给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：‎ ‎ ①“若”类比推出“”‎ ‎ ②“若”类比推出 ‎“”‎ ‎③“若”类比推出“若”‎ ‎ ④“若”类比推出“若”‎ ‎ 其中类比结论正确的个数有 （ ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎[解析] 类比结论正确的只有①‎ ‎4、如图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2‎ 个图形中共有　　　　　　　　　个顶点。‎ ‎[解析] 设第n个图中有个顶点，则，，，‎ ‎5、如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，‎ 都有.若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是________________.‎ ‎[解析] ‎ ‎6、类比平面向量基本定理:“如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量，有且只有一对实数，使得”，写出空间向量基本定理是： ‎ ‎ [解析] 如果是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量，有且只有一对实数，使得 综合提高训练 ‎7、(2009汕头一模)设P是内一点，三边上的高分别为、、，P到三边的距离依次为、、，则有______________；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是、、、，P到这四个面的距离依次是、、、，则有_________________。‎ ‎[解析]用等面积法可得，1，类比到空间有 ‎8、(2009惠州一模)设 ，又记 则（ ）‎ ‎ A．； B．； C．； D．；‎ ‎[解析] C ，，，，‎ ‎9、（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；‎ ‎（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．‎ ‎[解析]（1），，‎ 为等差数列为常数，所以仍为等差数列；‎ ‎（2）类比命题：若为等比数列，（），，则为等比数列 证明：，为常数，为等比数列 ‎10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。‎ ‎（1）若定义在(0，＋∞)上的函数∈M，试比较与大小.‎ ‎（2）设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.‎ ‎ [解析] (1)对于，令得<‎ ‎(2) ,所以g(x)∈M