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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:导数与函数的极值、最值

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:导数与函数的极值、最值 ‎ ‎1.函数的极值与导数 条件 f′(x0)=0‎ x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0‎ x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0‎ 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 ‎2.函数的最值 ‎(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)在[a,b]上必有最大值与最小值.‎ ‎(2)若函数f (x)在[a,b]上单调递增,则f (a)为函数的最小值,f (b)为函数的最大值;若函数f (x)在[a,b]上单调递减,则f (a)为函数的最大值,f (b)为函数的最小值.‎ 概念方法微思考 ‎1.对于可导函数f (x),“f′(x0)=0”是“函数f (x)在x=x0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)‎ 提示 必要不充分 ‎2.函数的最大值一定是函数的极大值吗?‎ 提醒 不一定,函数的最值可能在极值点或端点处取到.‎ ‎1.(2019•新课标Ⅱ)已知函数.证明:‎ ‎(1)存在唯一的极值点;‎ ‎(2)有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.‎ ‎【解析】(1)函数.‎ 的定义域为,‎ ‎,‎ 单调递增,单调递减,单调递增,‎ 又(1),(2),‎ 存在唯一的,使得.‎ 当时,,单调递减,‎ 当时,,单调递增,‎ 存在唯一的极值点.‎ ‎(2)由(1)知(1),‎ 又,‎ 在,内存在唯一的根,‎ 由,得,‎ ‎,‎ 是在的唯一根,‎ 综上,有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.‎ ‎2.(2019•江苏)设函数,,,,为的导函数.‎ ‎(1)若,(4),求的值;‎ ‎(2)若,,且和的零点均在集合,1,中,求的极小值;‎ ‎(3)若,,,且的极大值为,求证:.‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎(4),,‎ ‎,解得.‎ ‎(2),,设.‎ 令,解得,或.‎ ‎.‎ 令,解得,或.‎ 和的零点均在集合,1,中,‎ 若:,,则,舍去.‎ ‎,,则,舍去.‎ ‎,,则,舍去..‎ ‎,,则,舍去.‎ ‎,,则,舍去.‎ ‎,,则,.‎ 因此,,,‎ 可得:.‎ ‎.‎ 可得时,函数取得极小值,(1).‎ ‎(3)证明:,,,‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎△.‎ 令.‎ 解得:,.,‎ ‎,,‎ 可得时,取得极大值为,‎ ‎,令,‎ 可得:.‎ ‎,‎ ‎.‎ 令,‎ ‎,‎ 函数在上单调递减,.‎ ‎..‎ 函数在上单调递增,‎ ‎.‎ ‎3.(2018•北京)设函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点,(2)处的切线斜率为0,求;‎ ‎(Ⅱ)若在处取得极小值,求的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ)函数的导数为 ‎.‎ 曲线在点,(2)处的切线斜率为0,‎ 可得,‎ 解得;‎ ‎(Ⅱ)的导数为,‎ 若则时,,递增;,,递减.‎ 处取得极大值,不符题意;‎ 若,且,则,递增,无极值;‎ 若,则,在,递减;在,递增,‎ 可得在处取得极小值;‎ 若,则,在递减;在,,递增,‎ 可得在处取得极大值,不符题意;‎ 若,则,在,递增;在,递减,‎ 可得在处取得极大值,不符题意.‎ 综上可得,的范围是.‎ ‎4.(2018•北京)设函数.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点,(1)处的切线与轴平行,求;‎ ‎(Ⅱ)若在处取得极小值,求的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ)函数的导数为 ‎.‎ 由题意可得曲线在点,(1)处的切线斜率为0,‎ 可得,且(1),‎ 解得;‎ ‎(Ⅱ)的导数为,‎ 若则时,,递增;,,递减.‎ 处取得极大值,不符题意;‎ 若,且,则,递增,无极值;‎ 若,则,在,递减;在,递增,‎ 可得在处取得极小值;‎ 若,则,在递减;在,,递增,‎ 可得在处取得极大值,不符题意;‎ 若,则,在,递增;在,递减,‎ 可得在处取得极大值,不符题意.‎ 综上可得,的范围是,.‎ ‎5.(2018•新课标Ⅲ)已知函数.‎ ‎(1)若,证明:当时,;当时,;‎ ‎(2)若是的极大值点,求.‎ ‎【解析】(1)当时,,.‎ ‎,,‎ 可得时,,时,‎ 在递减,在递增,‎ ‎,‎ 在上单调递增,又.‎ 当时,;当时,.‎ ‎(2)解:由,得 ‎,‎ 令,‎ ‎.‎ 当,时,,单调递增,‎ ‎,即,‎ 在上单调递增,故不是的极大值点,不符合题意.‎ 当时,,‎ 显然单调递减,‎ ‎①令,解得.‎ 当时,,当时,,‎ 在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎,‎ 单调递减,又,‎ 当时,,即,‎ 当时,,即,‎ 在上单调递增,在上单调递减,‎ 是的极大值点,符合题意;‎ ‎②若,则,,‎ 在上有唯一一个零点,设为,‎ 当时,,单调递增,‎ ‎,即,‎ 在上单调递增,不符合题意;‎ ‎③若,则,,‎ 在上有唯一一个零点,设为,‎ 当时,,单调递减,‎ ‎,单调递增,‎ ‎,即,‎ 在,上单调递减,不符合题意.‎ 综上,.‎ ‎6.(2017•全国)已知函数.‎ ‎(1)当时,求的极小值;‎ ‎(Ⅱ)当时,讨论方程实根的个数.‎ ‎【解析】.‎ ‎(1)当时,令,得或;‎ ‎①当时,有,列表如下:‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 故极小值为.‎ ‎②当时,有,则,故在上单调递增,无极小值;‎ ‎③当时,有,列表如下:‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 故极小值为(2).‎ ‎(Ⅱ)解法一:①当时,令,得或,有两个根;‎ ‎②当时,令,得或,有,列表如下:‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 故极大值为(2),极小值,因此有三个根.‎ 解法二:①当时,令,得或,有两个根;‎ ‎②当时,,对于二次函数,不是该二次函数的零点,△,则该二次函数有两个不等的非零零点,‎ 此时,方程有三个根.‎ ‎7.(2017•山东)已知函数,,其中是自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点,处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)令,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【解析】.,.‎ 曲线在点,处的切线方程为:.‎ 化为:.‎ ‎.‎ 令,则,函数在上单调递增.‎ ‎,时,;时,.‎ ‎(1)时,,时,,函数在单调递增;‎ 时,,函数在单调递减.‎ 时,函数取得极小值,.‎ ‎(2)时,令.‎ 解得,.‎ ‎①时,时,,,函数单调递增;‎ 时,,,函数单调递减;‎ 时,,,函数单调递增.‎ 当时,函数取得极小值,.‎ 当时,函数取得极大值,.‎ ‎②当时,,时,,函数在上单调递增.‎ ‎③时,,时,,,函数单调递增;‎ 时,,,函数单调递减;‎ 时,,,函数单调递增.‎ 当时,函数取得极大值,.‎ 当时,函数取得极小值,.‎ 综上所述:时,函数在单调递增;时,函数在单调递减.‎ 时,函数取得极小值,.‎ 时,函数在,是单调递增;函数在上单调递减.当时,函数取得极小值,.当时,函数取得极大值,.‎ 当时,,函数在上单调递增.‎ 时,函数在,上单调递增;函数在上单调递减.当时,函数取得极大值,.当时,函数取得极小值,.‎ ‎8.(2017•江苏)已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.‎ ‎(Ⅰ)求关于的函数关系式,并写出定义域;‎ ‎(Ⅱ)证明:;‎ ‎(Ⅲ)若,这两个函数的所有极值之和不小于,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(Ⅰ)解:因为,‎ 所以,,‎ 令,解得.‎ 由于当时,单调递增;当时,单调递减;‎ 所以的极小值点为,‎ 由于导函数的极值点是原函数的零点,‎ 所以,即,‎ 所以.‎ 因为有极值,‎ 所以有实根,‎ 所以,即,解得,‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ)证明:由(1)可知(a),‎ 由于,所以(a),即;‎ ‎(Ⅲ)解:由(1)可知的极小值为,‎ 设,是的两个极值点,则,,‎ 所以 ‎,‎ 又因为,这两个函数的所有极值之和不小于,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以,‎ 由于时,‎ 所以,解得,‎ 所以的取值范围是,.‎ ‎9.(2017•新课标Ⅱ)已知函数,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:存在唯一的极大值点,且.‎ ‎【解析】(1)因为,‎ 则等价于,求导可知.‎ 则当时,即在上单调递减,‎ 所以当时,(1),矛盾,故.‎ 因为当时、当时,‎ 所以,‎ 又因为(1),‎ 所以,解得;‎ 另解:因为(1),所以等价于在时的最小值为(1),‎ 所以等价于在处是极小值,‎ 所以解得;‎ ‎(2)由(1)可知,,‎ 令,可得,记,则,‎ 令,解得,‎ 所以在区间上单调递减,在,上单调递增,‎ 所以,又,所以在上存在唯一零点,‎ 所以有解,即存在两根,,‎ 且不妨设在上为正、在,上为负、在,上为正,‎ 所以必存在唯一极大值点,且,‎ 所以,‎ 由可知;‎ 由可知,‎ 所以在上单调递增,在,上单调递减,‎ 所以;‎ 综上所述,存在唯一的极大值点,且.‎ ‎10.(2016•山东)设,.‎ ‎(1)令,求的单调区间;‎ ‎(2)已知在处取得极大值,求正实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由 ,‎ 可得 ,,‎ 所以,‎ 当,时,,函数单调递增;‎ 当,时,,函数单调递增,‎ ‎,时,,函数单调递减.‎ 所以当时,的单调增区间为;‎ 当时,的单调增区间为,单调减区间为,.(6分)‎ ‎(2)由(1)知,(1).‎ ‎①当时,,由(1)知在内单调递增,‎ 可得当时,,当时,.‎ 所以在内单调递减,在内单调递增,‎ 所以在处取得极小值,不合题意.‎ ‎②当时,,在内单调递增,在内单调递减,‎ 所以当时,,单调递减,不合题意.‎ ‎③当时,,在上单减,‎ 当,时,,单调递增,‎ 当时,,单调递减.‎ 所以在处取极大值,符合题意.‎ 综上可知,正实数的取值范围为,.(12分)‎ ‎11.(2017•北京)已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点,处的切线方程;‎ ‎(2)求函数在区间,上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】(1)函数的导数为,‎ 可得曲线在点,处的切线斜率为,‎ 切点为,即为,‎ 曲线在点,处的切线方程为;‎ ‎(2)函数的导数为,‎ 令,‎ 则的导数为,‎ 当,,可得,‎ 即有在,递减,可得,‎ 则在,递减,‎ 即有函数在区间,上的最大值为;‎ 最小值为.‎ ‎1.(2020•道里区校级一模)已知函数有两个极值点,则实数的取值范围为  ‎ A., B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,‎ 得,.‎ 要使有两个极值点,‎ 只需有两个变号根,即有两个变号根.‎ 令,,则,‎ 由得,易知当时,,此时单调递增;‎ 当时,,此时单调递减.‎ 所以,‎ 而,,‎ 作出,的图象,可知:‎ ‎,解得.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•内江三模)函数在区间,内有极小值,则的取值范围是  ‎ A. B. ‎ C.,, D.,,‎ ‎【答案】D ‎【解析】,‎ 当时,,‎ 所以在,上,,单调递减,‎ 在上,,单调递增,‎ ‎(2)为函数的极小值,符合题意,‎ 当时,令,得,,且,‎ 所以在,上,,单调递减,‎ 在上,,单调递增,‎ ‎(2)为函数的极小值,符合题意,‎ 当时,令,得,,且,‎ 若在,有极小值,‎ 只需或,‎ 解得,或,‎ 综上所述,,或,‎ 故选.‎ ‎3.(2020•德阳模拟)已知函数有两个极值点,,若不等式恒成立,那么的取值范围是  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为,‎ ‎ ,‎ 因为函数有两个极值点,,‎ 所以方程在上有两个不相等的正实数根,‎ 则,解得.‎ 因为,‎ 设(a),‎ ‎(a),易知(a)在上恒成立,‎ 故(a)在上单调递增,‎ 故(a),‎ 所以,‎ 所以的取值范围是,.‎ 故选.‎ ‎4.(2020•汕头校级三模)已知函数只有一个极值点,则实数的取值范围是  ‎ A.,, B.,, ‎ C.,, D.,,‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,‎ 只有一个极值点,只要一个变号零点.‎ ‎(1)当时,,易知是的唯一极值点;‎ ‎(2)当时,方程可化为,‎ 令,,可得两函数均为奇函数,‎ 只需判断时,两函数无交点即可.‎ ‎①当时,,,所以与有唯一交点,且当时,;当时,.‎ 是的唯一极值点;‎ ‎②当时,,即在上单调递增,且,,‎ 设过原点的切线为,切点为,,‎ 则,解得,,‎ 如图所示,当在直线下方(第一象限)或与重合时,是唯一交点,能满足的变号零点,即函数的极值点,‎ ‎.‎ 综上所述,实数的取值范围为,,.‎ 故选.‎ ‎5.(2020•山西模拟)已知函数仅有一个极值点1,则实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知函数的定义域为,,‎ 因为函数恰有一个极值点1,所以无解,‎ 令,则,‎ 所以在上单调递增,从而,‎ 所以时,无解,仅有一个极值点1,‎ 所以取值范围是.‎ 故选.‎ ‎6.(2020•南平三模)函数在内有极值,那么下列结论正确的是  ‎ A.当时, ‎ B.当时, ‎ C.当时, ‎ D.当时,‎ ‎【答案】B ‎【解析】令,则△,‎ 若在内仅有一个极值点,即在内有一个零点,‎ 则,解得;‎ 若在内仅有两个极值点,即在内有两个零点,‎ 则,无解,‎ 当时,函数在内有极值,‎ 现考查不等式,两边同时取对数可得,,即,‎ 令,‎ 则,令(a),解得,‎ 函数(a)在上单调递减,在上单调递增,‎ 又 ‎,(e),‎ 当时,(a)成立,即,选项正确.‎ 故选.‎ ‎7.(2020•龙岩模拟)已知函数在上有极值,则实数的取值范围为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,设,‎ 函数在区间上有极值,‎ 在上有变号零点,‎ 令,由可得,即,‎ 得到,‎ ‎.‎ 故选.‎ ‎8.(2020•武汉模拟)设函数在定义域内只有一个极值点,则实数的取值范围为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,定义域为,‎ ‎,‎ 设,‎ ‎①当时,,故,‎ 在上为增函数,所以无极值点.‎ ‎②当时,△,‎ 若时△,,故,‎ 故在上递增,所以无极值点.‎ 若时△,设的两个不相等的实数根为,,且,‎ 且,而,则,‎ 所以当,,,单调递增;‎ 当,,,,单调递减;‎ 当,,,,单调递增.‎ 所以此时函数有两个极值点;‎ ‎③当时△,设的两个不相等的实数根为,,且,‎ 但,所以,‎ 所以当,,,单调递増;‎ 当,,,,单调递减.‎ 所以此时函数只有一个极值点.‎ 综上得:当时有一个极值点.‎ 故选.‎ ‎9.(2020•昆明一模)已知函数,是的唯一极小值点,则实数的取值范围为  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知,,‎ 是的唯一极小值点,恒成立,即,‎ 令,则,‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增,‎ ‎,‎ ‎,即.‎ 故选.‎ ‎10.(2020•江西模拟)已知定义在上的函数,其中,为自然对数的底数.‎ ‎(1)求证:有且只有一个极小值点;‎ ‎(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1)证明:由于 ‎,‎ 则 在 上单调递增.‎ 令,则,‎ 故当时,, 单调递减 当 时,, 单调递增,‎ 则,即,‎ 由于,‎ ‎,‎ 故,使得,‎ 且当时,单调递减;‎ 当,时,,单调递增.‎ 因此 在 有且只有一个极小值点,无极大值点.‎ ‎(2)由于不等式 在 上恒成立,‎ 必要性:当 时,不等式成立,即 令,‎ 由于,则(a) 在 ‎ 上单调递增,‎ 又由于(1),则(a) 的解为.‎ 充分性:下面证明当 时,‎ ‎ 在 上恒成立 令,‎ 由于,,,,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 则 令,则 ‎,,‎ ‎ 在 上单调递增,‎ 由于(1),则 当时,, 单调递减,‎ 当 时,, 单调递增,‎ 故(1),即 恒成立,‎ 因此,当 时, 在 上恒成立.‎ 故的取值范围为,.‎ ‎11.(2020•红河州三模)已知函数.‎ ‎(1)求曲线在点,(1)处的切线方程;‎ ‎(2)若函数存在两个极值点,,求实数的取值范围,并证明:,(1),成等差数列.‎ ‎【解析】(1)由得,‎ 故切线斜率(1),‎ 又(1),故切线方程为:,‎ 即;‎ ‎(2),‎ 由题意知:,是方程在内的两个不同实数解,‎ 令,‎ 注意到,其对称轴为直线,‎ 故只需,解得:,‎ 即实数的取值范围是,‎ 由,是方程的两根,得:,,‎ 故 ‎,‎ 又(1),即(1),‎ 故,(1),成等差数列.‎ ‎12.(2020•启东市校级模拟)已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若函数有两个极值点,,且,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)根据题意,函数与 可知,,‎ 两图象在点处有相同的切线,所以两个函数切线的斜率相等,‎ 即,化简得①,‎ 将代入两个函数可得②,‎ 综合上述两式①②可解得,所以.‎ ‎(2)函数,定义域为,‎ ‎,‎ 因为,为函数的两个极值点,‎ 所以,是方程的两个不等实根,‎ 由根与系数的关系知,,,‎ 又已知,所以,,‎ 将式代入得,‎ 令,,,‎ ‎,令,解得:,‎ 当,时,,在,单调递减;‎ 当,时,,在,单调递增;‎ 所以,‎ ‎,(1),(1),‎ 即的取值范围是,.‎ ‎13.(2020•河南模拟)设函数,.‎ ‎(1)若曲线在处的切线也与曲线相切,求的值.‎ ‎(2)若函数存在两个极值点.‎ ‎①求的取值范围;‎ ‎②当时,证明:.‎ ‎【解析】(1),,,‎ ‎(1),(1),‎ 故曲线在处的切线方程是;‎ 设直线与相切于点,,‎ ‎,,‎ 由,得;‎ ‎(2),‎ ‎①在上存在两个极值点 等价于在上有2个不同的根,‎ 由,可得,令,‎ 则,令,可得,‎ 故在递减,且(1),‎ 当时,,,递增,‎ 当时,,,递减,‎ 故(1)是极大值也是最大值,‎ 又当时,,当时,且趋向于0,‎ 要使在有2个根,只需,‎ 故的取值范围是;‎ ‎②证明:设,‎ ‎,‎ 当时,,,则在递增,‎ ‎(1),‎ 当时,,‎ 令,则,‎ ‎,(2),‎ 取,且使,即,‎ 则,‎ ‎(2),‎ 故存在唯一零点,‎ 故有唯一的极大值点,‎ 由,可得,故,,‎ ‎,故为上的增函数,‎ ‎(2),‎ 综上,当时,总有,即.‎ ‎14.(2020•河南模拟)已知函数,.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若有两个极值点,,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)的定义域是,‎ ‎,令,‎ 当△即时,,此时在递增,‎ 当时,有2个负根,此时在递增,‎ 当时,有2个正根,分别是,,‎ 此时在递增,在,递减,在,递增,‎ 综上,时,在递增,‎ 时,在递增,在,递减,在,递增;‎ ‎(2)由(1)得:,,,,,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 令,则,,‎ 则,‎ 当时,,当时,,‎ 故在递增,在递减,(2),‎ 的取值范围是,.‎ ‎15.(2020•运城模拟)设函数.‎ ‎(1)求曲线在点,(1)处的切线方程;‎ ‎(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围;‎ ‎(3)当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】(1),在点,(1)处的切线斜率(1),则切线方程为,‎ ‎(2).有两个极值点.‎ 即有两个零点,即有两个不等实根,,‎ 令,‎ 在上,在上单调递增.‎ 在上单调递减,(1).时,.‎ 即.‎ ‎(3)可化为.‎ 设,又.‎ 在上单调递减,在上恒成立,即.‎ 又在上单调递增,在上单调递减.‎ 在处取得最大值.(1).‎ ‎.‎ ‎16.(2020•鹿城区校级模拟)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在,(1)处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若存在两个极值点,.‎ ‎①求的取值范围;‎ ‎②当取得最小时,求的值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,,‎ ‎,‎ ‎(1),‎ ‎(1),‎ 曲线在,(1)处的切线方程为,即;‎ ‎(Ⅱ)①,‎ 存在两个极值点,,‎ 有两个解,‎ 设,,‎ ‎,‎ 当时,恒成立,函数在上单调递减,此时至多只有一个解,不合题意;‎ 当时,令,解得,‎ 当时,,函数单调递增,‎ 当时,,函数单调递减,‎ ‎,‎ 当时,,当,,‎ 令(a),,‎ ‎(a),‎ 令(a),解得,‎ 当时,(a),函数(a)单调递减,‎ 当时,(a),函数(a)单调递增,‎ ‎(a)(2),‎ 当时,有两个解,‎ 综上所述.‎ ‎②,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ 设,且 ‎,‎ ‎,‎ 令,‎ 则恒成立,‎ 在上单调递增,‎ ‎(1),‎ 恒成立,‎ 在上单调递增,‎ 最小值时,取最小值为,,‎ ‎,‎ 再设,‎ 则恒成立,‎ 在单调递增,‎ 又(1)且,,‎ 在内存在唯一的根,‎ ‎,即,‎ 在单调递减,,单调递增,‎ ‎,‎ 取最小值时,即取最小值时,.‎ ‎17.(2020•沙坪坝区校级模拟)已知函数,其中.‎ ‎(1)证明:函数有两个极值点,,并求的取值范围;‎ ‎(2)若曲线在点处的切线与该曲线有且仅有一个公共点,求的所有可能值.‎ ‎【解析】(1)的定义域为,‎ 所以,‎ 设,‎ 因为△且,,‎ 所以在上有两个不等实根,,‎ 且当,,时,,;‎ 当,时,,.‎ 所以在,,上单调递增,在,上单调递减,‎ 故,是的两个极值点,且,.‎ 从而,‎ 又因为,,所以,‎ 故.‎ ‎(2)由(1)知曲线在处切线方程为,‎ 原问题等价于方程只有一个实根,‎ 设,‎ 则.‎ ‎①当时,,在上单增,而(1),‎ 所以只有一个零点,符合题意.‎ ‎②当时,令得或1,‎ 所以,当,时,;当时,.‎ 从而在,上单调递增,在上单调递减,‎ 所以在上有一个零点,‎ 在上,因为,‎ 设,‎ 则,(a)在单调递增,‎ 所以(a),即,从而,‎ 取,则.‎ 则存在,使得,此时有两个零点,不符题意.‎ 综上,可取得的所有值为1.‎ ‎18.(2020•聊城三模)已知函数,,.‎ ‎(1)设,讨论极值点的个数;‎ ‎(2)判断方程的实数根的个数,并证明:.‎ ‎【解析】(1),,‎ ‎,‎ ‎①当时,,在内单调递增,没有极值点.‎ ‎②当时,令,‎ 当,时,,‎ 在,上单调递增.‎ 又,(a),‎ ‎,使,且当时,,当,时,,‎ 从而,当时,,单调递减,当,时,,单调递增,‎ 是函数的极小值点.‎ 综上,当时,无极值点,‎ 当时,有一个极值点.‎ ‎(2)方程可化为.‎ 设,则原方程又可化为.‎ 设,则.‎ ‎,当时,,在上单调递减,‎ 当时,,在上单调递增;‎ ‎,所以当时,,所以方程只有一个实数根,‎ 方程只有一个实数根.‎ 对于任意的,.‎ ‎ ,‎ 即,‎ ‎.‎ ‎19.(2020•运城模拟)函数,,其中常数.‎ ‎(1)若函数与有相同的极值点,求的值;‎ ‎(2)若,判断函数与图象的交点个数.‎ ‎【解析】(1),的定义域都为.,‎ 令,得;令,得;令,得,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增.‎ 所以函数在处取得极小值;‎ 又.‎ 所以,解得,‎ 经检验,满足题意,故.‎ ‎(2)函数与的图象的交点个数等价于函数的零点个数,‎ 设,‎ 则.‎ ‎①当时,令,‎ 则.‎ 令,得;令,得,‎ 故函数在上单调递减,在上单调递增.‎ 故.‎ 则.‎ 故在上是增函数,此时由,可得函数有唯一的零点.‎ 即函数与的图象有1个交点;‎ ‎②当时,,‎ 并且对于负数,有 ‎.‎ 又因为,‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以在区间,上存在负数,使得,则在上,,是增函数;‎ 在区间上,,是减函数.‎ 则,.‎ 所以在上,有且仅有1个零点;‎ 在区间上,,(1)且是增函数 所以存在正数,使得在上,,是减函数;在上,,是增函数.‎ 于是有,(2).‎ 所以在上,恰有唯一的零点 所以当时,在上恰有三个不同的零点.‎ 即函数与的图象有3个交点.‎ 综上所述,当时,函数与的图象有1个交点;当时,函数与的图象有3个交点.‎ ‎20.(2020•香坊区校级三模)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若为的极大值点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)当时,判断与轴交点个数,并给出证明.‎ ‎【解析】(Ⅰ),,‎ 设,,在递增,‎ 故存在使得,‎ 当时,恒成立,故单调递增无极值,‎ 时,易得时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,‎ 当,,函数单调递增,‎ 当时,函数取得极小值,不满足题意;‎ 时,易得时,,函数单调递增,,时,,函数单调递减,‎ 当,,函数单调递增,‎ 为极大值点 综上:,‎ ‎(2)由(1)知:‎ ‎①时,在单调递增,(2),(3),有唯一零点;‎ ‎②时,满足,,在递增,在,递减,在递增,‎ 当时,恒成立,当时,(1),,‎ 所以,有唯一零点;‎ ‎③,在上单调递增,单调递减,,单调递增,‎ ‎(1)在上无零点,在,上有唯一零点;‎ 综上:,有唯一零点.‎ ‎21.(2020•安庆模拟)已知函数为奇函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若有极小值,且恒成立,求实数的最小值.‎ ‎【解析】(1)因为,为奇函数,‎ 所以,即,解得,‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,(当且仅当,即时,取等号)‎ 当时,,所以在上单调递增,‎ 当时,令,则方程为有两个不等的正根,,‎ 故可知函数,‎ 在,,上单调递增,在,上单调递减.‎ ‎(2)因为有极小值,‎ 所以是极小值点,‎ 即,‎ 所以,即,‎ 所以 ‎,‎ 构造函数,‎ 则,‎ 当时,,故当时,恒成立,‎ 故函数在上单调递减,其中(1),‎ 则,可转化为(1),故,‎ 由,,‎ 设,‎ 在上递增,故,‎ 综上,实数的取值范围为,.‎ ‎22.(2020•呼和浩特模拟)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若函数的极小值为1,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)若函数在时,其图象全部都在第一象限,求实数的取值范围.‎ ‎【解析】,‎ ‎①若,则在上恒成立,‎ 在单调递增,所以无极值.‎ ‎②若,当时,,当时,,‎ 即在单调递减,在单调递增,‎ 所以的极小值为,由,解得.‎ ‎,函数图象全部在第一象限,等价于时,恒成立,‎ 令,,‎ 令,,‎ 令,‎ 显然在,单调递增,‎ ‎.‎ 当时,,所以,‎ 在单调递增,‎ ‎,即,‎ 在单调递增,‎ 所以,此时符合题意;‎ 当时,,‎ ‎,使.‎ 故在恒为负值,在单调递减,此时,‎ 所以在单调递减,所以,此时不符合题意.‎ 故所求的取值范围为,.‎ ‎23.(2020•东阳市模拟)已知函数.‎ ‎(1)若函数有极大值点,求出极大值的取值范围;‎ ‎(2)若,求证:在区间,内有且仅有一个实数,使得.‎ ‎【解析】(1),‎ ‎,‎ 所以,△,‎ ‎,.‎ 所以,.‎ 令,,‎ 所以在递增,.‎ 所以,.‎ ‎(2)证明:‎ 令,,,‎ ‎,‎ 令,‎ 所以,‎ 因为,,所以在递减.‎ 所以,.‎ 又 令,,‎ ‎,‎ 所以,.同理,.‎ 又因为在,递增,所以,存在唯一的,使,‎ 即在区间,内有且仅有一个实数,‎ 使得.‎ ‎24.(2020•葫芦岛模拟)已知函数,.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若,为函数两个不同的极值点.证明:.‎ ‎【解析】(1)函数的定义域为,‎ ‎,‎ 当时,,‎ 当时,,函数在上单调递减,‎ 当时,,函数在上单调递增,‎ 是函数的极小值点,无最大值点,‎ 极小值为(1),无极大值.‎ ‎(2)证明:函数的定义域为,‎ ‎,‎ 由题意可得,为函数两个不同的极值点,‎ 则,为方程的两个不相等的正根,‎ ‎△,即,‎ ‎,,‎ ‎(a),‎ 由(1)可知函数在区间上单调递减,‎ ‎(a),‎ ‎.‎