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- 2021-05-13 发布
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)
本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
参考公式:
锥体的体积公式,其中为柱体的底面积,为柱体的高.
球的体积,其中为球的半径。
一组数据的标准差,其中表示这组数据的平均数。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求。
1. 设为虚数单位,则复数=( )
2.设集合;则( )
3. 若向量;则( )
4. 下列函数为偶函数的是( )
5. 已知变量满足约束条件,则的最小值为( )
6. 在中,若,则( )
7.某几何体的三视图如图1所示,它的体积为( )
8. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,则弦的长等于( )
9. 执行如下图所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值为( )
10.对任意两个非零的平面向量和,定义;若两个非零的平面向量满足,与的夹角,且都在集合中,则( )
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
(一)必做题(11-13题)
11. 函数的定义域为_________。
12. 等比数列满足,则。
13. 由正整数组成的一组数据,其平均数和中位数都是,且标准差等于,则这组数据为_________。
(从小到大排列)
(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为
(是参数,)和(是参数),它们的交点坐标为_______.
15.(几何证明选讲选做题)如图所示,直线与圆想切于点,是弦上的点,,若,则_______。
三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
(本小题满分12分)已知函数,且。
(1)求的值;(2)设,;求的值
17.(本小题满分13分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:
[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(1)求图中的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数。
18.(本小题满分13分)如下图5所示,在四棱锥中,平面,,是中点,是上的点,且,为中边上的高。
(1)证明:平面;
(2)若,求三棱锥的体积;
(3)证明:平面.
19.(本小题满分14分)设数列的前项和为,数列的前项和为,满足.
(1)求的值;(2)求数列的通项公式。
20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,
且点在上。(1)求的方程;(2)设直线同时与椭圆和抛物线相切,求直线的方程。
21.(本小题满分14分)设,集合,,
。(1)求集合(用区间表示);(2)求函数在内的极值点。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分40分。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
A
A
D
C
B
C
B
C
A
1. 【解析】选 依题意:
2.【解析】选
3. 【解析】选
4. 【解析】选 与是奇函数,,是非奇非偶函数
5. 【解析】选 约束条件对应边际及内的区域:,则
6. 【解析】选 由正弦定理得:
7.【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成,它的体积为
8. 【解析】选 圆的圆心到直线的距离,弦的长
9. 【解析】选
10. 【解析】选
都在集合中得:。
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
(一)必做题(11-13题)
9. 【解析】定义域为,中的满足:或
10. 【解析】,
11. 【解析】这组数据为,不妨设得:
①如果有一个数为或;则其余数为,不合题意;②只能取;得:这组数据为
(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)
14.【解析】它们的交点坐标为, 解得:交点坐标为
15.【解析】,得:
。
三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.解:(1)。
(2),,。
,,,
17.解:(1)。
(2)平均分为。
(3)数学成绩在内的人数为人,数学成绩在外的人数为人。
答:(1);(2)这100名学生语文成绩的平均分为;(3)数学成绩在外的人数为人。
18.(1)证明:平面,面,又平面,
平面。
(2)是中点点到面的距离,
三棱锥的体积。
(3)取的中点为,连接。
,又平面,平面平面平面,
又平面平面,平面面,
点是棱的中点,又,得:平面。
19.解:(1)在中,令。
(2),相减得:,,
相减得:,,,得,
,得:数列是以为首项,为公比的等比数列,
。
20.解:(1)由题意得:,故椭圆的方程为:。
(2)①当直线的斜率不存在时,设直线,直线与椭圆相切,直线与抛物线相切,得:不存在。
②当直线的斜率存在时,设直线,直线与椭圆相切两根相等;直线与抛物线相切两根相等
,解得:或。
21.解:(1)对于方程,判别式。
因为,所以。
当时,,此时,所以;
当时,,此时,所以;
当时,,设方程的两根为且,
则,,
,,所以,此时,
综上可知,当时,;
当时,;当时,。
(2),由,
由或,所以函数在区间和上为递增,在区间上为递减。
当时,因为,所以在内有极大值点和极小值点;
当时,,所以在内有极大值点;
当时,
,在内有极大值点。
综上可知:当时,在内有极大值点;当时,在内有极大值点和极小值点。