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- 2021-05-13 发布
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高考数学考点归纳之对数函数
一、基础知识
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0， ＋
∞).
y＝logax 的 3 个特征
(1)底数 a>0，且 a≠1；
(2)自变量 x>0；
(3)函数值域为 R.
2．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
底数 a>1 01 时，恒有 y>0；
当 01 时，恒有 y<0；
当 00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
注意 当对数函数的底数 a 的大小不确定时，需分 a>1 和 00，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数，它们的
图象关于直线 y＝x 对称．
二、常用结论
对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，
1
a
，－1 ，依据这三点的坐标可得到对数函数的
大致图象．
(2)函数 y＝logax 与 y＝log1
a
x(a>0，且 a≠1)的图象关于 x 轴对称．
(3)当 a>1 时，对数函数的图象呈上升趋势；当 01，
lg1－x，x<1.
当 x＝1 时，函数无意义，故排除 B、D.
又当 x＝2 或 0 时，y＝0，所以 A 项符合题意．
(2)若 x1
4
， 解得 1
160，且 a≠1)对 x∈ 0，1
2 恒成立，求实数 a
的取值范围．
解：设 f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使 x∈ 0，1
2 时，不等式 x21 时，显然不成立；
当 0log2e＝a，
所以 c＞a.
因为 b＝ln 2＝ 1
log2e
＜1＜log2e＝a，所以 a＞b.
所以 c＞a＞b.
[答案] D
考法(二) 解简单对数不等式
[典例] 已知不等式 logx(2x2＋1)3x>1
①或 x>1，
2x2＋1<3x<1
②，解不等式组①得1
30，得－1b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
解析：选 C 01，∴c>a>b.
2．若定义在区间(－1,0)内的函数 f(x)＝log2a(x＋1)满足 f(x)>0，则实数 a 的取值范围是
( )
A. 0，1
2 B. 0，1
2
C.
1
2
，＋∞
D．(0，＋∞)
解析：选 A ∵－10，∴0<2a<1，∴00，若函数 f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则 a 的取值范围是________．
解析：要使 f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，则 y＝ax2－x 在[3,4]上单调递增，且 y
＝ax2－x>0 恒成立，即
1
2a
≤3，
9a－3>0，
解得 a>1
3.
答案：
1
3
，＋∞
[课时跟踪检测]
A 级
1．函数 y＝ log32x－1＋1的定义域是( )
A．[1,2] B．[1,2)
C.
2
3
，＋∞
D.
2
3
，＋∞
解析：选 C 由 log32x－1＋1≥0，
2x－1＞0，
即
log32x－1≥log3
1
3
，
x＞1
2
，
解得 x≥2
3.
2．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝( )
A．log2x B. 1
2x
C．log 1
2
x D．2x－2
解析：选 A 由题意知 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)．
∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.
3．如果 log 1
2
xy>1.
4．(2019·海南三市联考)函数 f(x)＝|loga(x＋1)|(a>0，且 a≠1)的大致图象是( )
解析：选 C 函数 f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的 x，均有 f(x)≥0，
结合对数函数的图象可知选 C.
5．(2018·惠州调研)若 a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin2π
5
，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>a>b D．a>b>c
解析：选 D 依题意，得 a>1,01，得 c<0，故
a>b>c.
6．设函数 f(x)＝loga|x|(a>0，且 a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则 f(a＋1)与 f(2)的大小
关系是( )
A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．
7．已知 a>0，且 a≠1，函数 y＝loga(2x－3)＋ 2的图象恒过点 P.若点 P 也在幂函数 f(x)
的图象上，则 f(x)＝________.
解析：设幂函数为 f(x)＝xα，因为函数 y＝loga(2x－3)＋ 2的图象恒过点 P(2， 2)，则
2α＝ 2，所以α＝1
2
，故幂函数为 f(x)＝x
1
2 .
答案：x
1
2
8．已知函数 f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且 a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则 logba＝
________.
解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．
则 f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，
且 f(0)＝loga(0＋b)＝1，
所以 b－1＝1，
b＝a，
即 b＝2，
a＝2.
所以 logba＝1.
答案：1
9．(2019·武汉调研)函数 f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是________．
解析：由函数 f(x)＝loga(x2－4x－5)，得 x2－4x－5>0，得 x<－1 或 x>5.令 m(x)＝x2－4x
－5，则 m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由 a>1 及复合函数的单调性可
知函数 f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)．
答案：(5，＋∞)
10．设函数 f(x)＝
log2x，x＞0，
log
1
2 －x，x＜0， 若 f(a)＞f(－a)，则实数 a 的取值范围是
________________．
解析：由 f(a)＞f(－a)得
a＞0，
log2a＞log
1
2 a 或
a＜0，
log
1
2 －a＞log2－a，
即 a＞0，
log2a＞－log2a
或 a＜0，
－log2－a＞log2－a.
解得 a＞1 或－1＜a＜0.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11．求函数 f(x)＝log2 x·log 2(2x)的最小值．
解：显然 x>0，∴f(x)＝log2 x·log 2(2x)＝1
2log2x·log2(4x2)＝1
2log2x·(log24＋2log2x)＝log2x
＋(log2x)2＝ log2x＋1
2 2－1
4
≥－1
4
，当且仅当 x＝ 2
2
时，有 f(x)min＝－1
4.
12．设 f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且 a≠1)，且 f(1)＝2.
(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；
(2)求 f(x)在区间 0，3
2 上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且 a≠1)，∴a＝2.
由 1＋x＞0，
3－x＞0，
得－1＜x＜3，
∴函数 f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当 x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当 x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数 f(x)在 0，3
2 上的最大值是 f(1)＝log24＝2.
B 级
1．已知函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)满足 f
2
a >f
3
a ，则 f 1－1
x >0 的解集为( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：选 C 因为函数 f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2
a<3
a
且
f
2
a >f
3
a ，所以 f(x)＝logax 在(0，＋∞)上单调递减，即 00，得 0<1－1
x<1，所以 x>1，故选 C.
2．若函数 f(x)＝loga
x2＋3
2x (a>0，且 a≠1)在区间
1
2
，＋∞ 内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单
调递增区间为________．
解析：令 M＝x2＋3
2x，当 x∈
1
2
，＋∞ 时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以 a>1，所以函
数 y＝logaM 为增函数，
又 M＝ x＋3
4 2－ 9
16
，
因此 M 的单调递增区间为 －3
4
，＋∞
.
又 x2＋3
2x>0，所以 x>0 或 x<－3
2
，
所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
3．已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(0)＝0，当 x>0 时，f(x)＝log 1
2
x.
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)解不等式 f(x2－1)>－2.
解：(1)当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝log 1
2
(－x)．
因为函数 f(x)是偶函数，
所以 f(x)＝f(－x)＝log 1
2
(－x)，
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)＝
log1
2
x，x>0，
0，x＝0，
log
1
2
－x，x<0.
(2)因为 f(4)＝log 1
2
4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式 f(x2－1)>－2 转化为 f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－ 5
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