2015高考数学（文）（压轴 平面解析几何）一轮专题练习题 8页

压轴题目突破练——平面解析几何 A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.已知两条直线l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是 (　　)‎ A.(0,1) B. C.∪(1，) D.(1，)‎ 答案　C 解析　直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为∪，即∪，从而l2的斜率a的取值范围为∪(1，).‎ ‎2.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是 (　　)‎ A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]‎ 答案　A 解析　因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为＝5，‎ 所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，‎ 所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，40，b>0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的渐近线方程为 (　　)‎ A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　A 解析　设点P(x0，y0).依题意得，焦点F(2,0)，‎ 于是有x0＝3，y＝24；‎ 由此解得a2＝1，b2＝3，‎ 因此该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x.‎ ‎4.已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，点P是抛物线y2＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 (　　)‎ A.－＝1 B.y2－＝1‎ C.－x2＝1 D.－＝1‎ 答案　C 解析　由题意得，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，‎ 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0，‎ ‎∵抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：－＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为，∴＝，∴a＝2b.‎ ‎∵P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，‎ ‎∴|FF1|＝3，∴c2＋4＝9，∴c＝，‎ ‎∵c2＝a2＋b2，a＝2b，∴a＝2，b＝1.‎ ‎∴双曲线的方程为－x2＝1，故选C.‎ ‎5.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF‎1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF‎1F2＝2，∴ ‎＝2，又|PF1|＋|PF2|＝‎2a，∴|PF1|＝，|PF2|＝.‎ 根据勾股定理得2＋2＝(‎2c)2，‎ 所以离心率e＝＝.‎ 二、填空题 ‎6.如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是________.‎ 答案　(1，＋∞)‎ 解析　将原方程化成标准方程为－＝1.‎ 由题意知k－1>0且k－2>0，解得k>2.‎ 又a2＝k－1，b2＝k－2，所以c2＝a2＋b2＝2k－3>1，‎ 所以c>1，故半焦距c的取值范围是(1，＋∞).‎ ‎7.若点(3,1)是抛物线y2＝2px一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.‎ 答案　2‎ 解析　设弦两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，‎ 则，两式相减得，＝＝2.‎ 又∵y1＋y2＝2，∴p＝2.‎ ‎8.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________.‎ 答案　2 解析　由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB为直径的圆的半径为r，则|AB|＝2r≥4，r≥2，且圆心到x轴的距离是r－1，所以在x轴上所截得的弦长为2＝2≥2，即弦长的最小值是2.‎ 三、解答题 ‎9.已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于异于椭圆顶点的两点A，B，且＝2.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求m的取值范围.‎ 解　(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，‎ 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题意，知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的斜率存在，‎ 设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，‎ 即消去y，得 ‎(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，‎ Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，‎ 由根与系数的关系，知 又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，‎ 所以－x1＝2x2.‎ 则所以＝－22.‎ 整理，得(‎9m2‎－4)k2＝8－‎2m2‎，‎ 又‎9m2‎－4＝0时等式不成立，‎ 所以k2＝>0，得0.‎ 所以m的取值范围为∪.‎ ‎10.已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.‎ 解　(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，‎ 所以c＝3，b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1，‎ 因为x>0，所以＝×3×x＝，解得x＝1.‎ 故点M的坐标为(1,4).‎ 因为点M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，‎ 得a4－‎8a2－9＝0，‎ 解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，‎ 则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)，‎ 由消去y化简，得18x2＋8mx＋m2－18＝0.‎ 进而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ 因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，‎ 所以Δ＝(‎8m)2－4×18×(m2－18)>0，‎ 化简得m2<162，解得－9b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________.‎ 答案　 解析　由题意知A点的坐标为(－a,0)，‎ 设直线的方程为y＝x＋a，‎ ‎∴B点的坐标为(0，a)，故M点的坐标为，‎ 代入椭圆方程得a2＝3b2，∴‎2a2＝‎3c2，∴e＝.‎ ‎4.设抛物线y2＝2x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为________.‎ 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋4|BF|＝x1＋＋4＝x1＋＋4＝x1＋4x2＋，设直线AB的方程为ky＝x－，联立抛物线方程得方程组消元整理得y2－2ky－1＝0，由根与系数的关系可得y1y2＝－1，又A，B在抛物线上，代入方程得yy＝2x1·2x2＝4x1x2＝1，即x1x2＝，因此根据基本不等式|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当x1＝4x2时取得最小值.‎ ‎5.已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线l与抛物线交于M，N两点，且满足·＝－3.‎ ‎(1)求抛物线Ω的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x与抛物线Ω交于A，B两点，在抛物线Ω上是否存在异于A，B的点C，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 解　(1)依题意，设抛物线Ω的方程为x2＝2py(p>0)，‎ 则F(0，)，‎ 由直线l的斜率存在，设为k，‎ 得l的方程为y＝kx＋，‎ 联立方程消去y并整理，‎ 得x2－2pkx－p2＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－p2，‎ 又y1y2＝(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝k2x1x2＋kp(x1＋x2)＋ ‎＝k2·(－p2)＋kp·2kp＋＝.‎ 所以·＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－3， ‎ 因为p>0，解得p＝2，‎ 故所求抛物线Ω的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)联立方程可求得A(0,0)，B(4,4)，‎ 假设抛物线Ω上存在异于A，B的点C，且设C的坐标为(t，)(t≠0，t≠4)，使得经过A，B，C三点的圆和抛物线Ω在点C处有相同的切线，‎ 令圆心为E(a，b)，则由 得 即解得 ①‎ 因为抛物线Ω在点C处的切线斜率k′＝y′|x＝t＝(t≠0，t≠4)，‎ 又该切线与EC垂直，所以·＝－1，‎ 即‎2a＋bt－2t－＝0. ②‎ 将①代入②得，2(－)＋t·－2t－＝0，‎ 即t3－2t2－8t＝0，因为t≠0，t≠4，解得t＝－2.‎ 故存在点C且坐标为(－2,1).‎