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- 2021-05-13 发布
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不等式选讲
A组
1．不等式x＋|2x－1|<3的解集为________．
2．不等式|x－1|＋|x＋2|<5的解集为________．
3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
4．不等式|x＋1|＋|x－2|≥4a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是________．
5．使关于x的不等式|x＋1|＋ka的解集是全体实数，则a的取值范围是______．
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
8．在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．
9．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．
10．对任意x∈R，|2－x|＋|3＋x|≥a2－4a恒成立，则a满足________．
11．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
12．已知关于x的不等式|x－1|＋|x－a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________．
13．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．
14．不等式>|a－5|＋1对于任一非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
B组
1．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
2．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
3．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
4．若对任意x>0， ≤a恒成立，求a的取值范围．
5．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
6．已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
参考答案
A组
1．解析 原不等式可化为
或
解得≤x<或－21.当x<－2时原不等式即1－x－2－x<5，
解得－31时，原不等式即x－1＋2＋x<5，解得12得x<－7，∴x<－7；
当－≤x<4时，由f(x)＝3x－3>2得x>，∴2，得x>－3，∴x≥4.
故原不等式的解集为
.
(2)画出f(x)的图象如图：
∴f(x)min＝－.
2．证明 因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，
即＋＋≥.
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2，
所以＋＋＋abc≥2.
3．证明 法一 因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，②
所以2≥9(abc)－.
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
法二 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋，②
故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③
所以原不等式成立，
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．
即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
4．解 ∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可．
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5，知0<≤，∴a≥.
5．解 (1)当a＝－1时， f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
f(x)＝
作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．
由图象可知，不等式的解集为.
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件；
若a<1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a.
若a>1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1.
∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，
∴a的取值范围是 (－∞，－1]∪[3，＋∞)．
6．解 (1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.
∴x≥或x≤.
∴不等式的解集为.
注：也可用零点分段法求解．
(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，
∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，
∴a≥4或a≤0.
又a>0，∴a≥4.
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