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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
Y
1. 已知集合A={},,则 .
2. 已知复数(i为虚数单位),则的实部为 .
3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 .
4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .
5. 已知函数与(0≤),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 .
6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm.
7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 .
8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为,,体积分别为,,若它们的侧面积相等,且,则的值是 .
9. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为 .
10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 .
11. 在平面直角坐标系中,若曲线(a,b为常数) 过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是 .
(第12题)
12. 如图,在平行四边形中,已知,,,,则的值是 .
13. 已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .
14. 若△的内角满足,则的最小值是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知,.
(1)求的值;(2)求的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,,E,F分别为棱的中点.已知,
求证: (1)直线平面;
(2)平面平面.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.
(第17题)
(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;
(2)若求椭圆离心率e的值.
18.(本小题满分16分)
如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量,点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
19.(本小题满分16分)
已知函数,其中e是自然对数的底数.
(1)证明:是R上的偶函数;
(2)若关于的不等式≤在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)已知正数满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.
20.(本小题满分16分)
设数列的前项和为.若对任意正整数,总存在正整数,使得,则称是“H数列”.
(1)若数列的前n项和(N),证明: 是“H数列”;
(2)设 是等差数列,其首项,公差.若 是“H数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得
(N)成立.
数学Ⅱ(附加题)
21.选作题 本题包括A、B、C、D,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
A.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点。
证明:∠OCB=∠D
B.[选修4-2矩阵与变换]:(本小题满分10分)
已知矩阵A=,B=,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bβ,求x+y的值。
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为,直线l与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长。
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知,证明:
【必做题】第22题、23题,每题10分,共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.(本小题满分10分)
盒中共有9个球 ,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球的除颜色外完全相同。
⑴从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
⑵从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为,随机变量X表示中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X)
23.(本小题满分10分)
已知函数
c
数学Ⅱ(附加题)
21.选作题 本题包括A、B、C、D,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
A.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点。
证明:∠OCB=∠D
第21-A题 1
B.[选修4-2矩阵与变换]:(本小题满分10分)
已知矩阵A=,B=,向量α=,x,y为实数,若Aα=Bβ,求x+y的值。
解析:
Aα== Bβ==
所以由Aα=Bβ得:
解得
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为
,直线l与抛物线相交于A、B两点,
求线段AB的长。
解
把直线方程代入到中,
得,解得
所以,
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
已知,证明:
提示
很简单就能得出结论。
【必做题】第22题、23题,每题10分,共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.(本小题满分10分)
盒中共有9个球 ,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球的除颜色外完全相同。
⑴从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
⑵从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为,随机变量X表示中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X)
解
⑴
⑵
,
所以随机变量X的概率分布如下表:
X
2
3
4
P
因此随机变量X的数学期望:
E(X)=2×+3×+4×=
23.(本小题满分10分)
已知函数
c
解:⑴=-1
⑵由已知得:两边分别对x求导,得
继续对上边两边求导过程,得
……
利用数学归纳法,不难得出
所以,当得,