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- 2021-05-13 发布
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平面向量
1.代数法
例1:已知向量,满足,,且,则在方向上的投影为( )
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】考虑在上的投影为,所以只需求出,即可.
由可得:,
所以.进而.故选C.
2.几何法
例2:设,是两个非零向量,且,则_______.
【答案】
【解析】可知,,为平行四边形的一组邻边和一条对角线,
由可知满足条件的只能是底角为,边长的菱形,
从而可求出另一条对角线的长度为.
3.建立直角坐标系
例3:在边长为1的正三角形中,设,,则__________.
【答案】
【解析】
上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个角度解题,
观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题,
如图建系:,,,
下面求坐标:令,∴,,
由可得:,∴,
∴,,∴.
对点增分集训
一、单选题
1.已知向量,满足,,且向量,的夹角为,若与垂直,则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,故选D.
2.已知向量,满足,,,则( )
A.1 B. C. D.2
【答案】A
【解析】由题意可得:,则.故选A.
3.如图,平行四边形中,,,,点在边上,且,
则( )
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以,,
则
.故选B.
4.如图,在中,是边的中线,是边的中点,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意,在中,是边的中线,所以,
又因为是边的中点,所以,
所以,故选B.
5.在梯形中,,,,,动点和分别在线段和上,且,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,,,,
所以是直角梯形,且,,
以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系:
因为,,动点和分别在线段和上,
则,,,,
所以,
令且,
由基本不等式可知,当时可取得最大值,
则.故选D.
6.已知中,,,,为线段上任意一点,则的范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意,中,,,,
则根据余弦定理可得,即.∴
为直角三角形
以为原点,为轴,为轴建立坐标系,则,,
则线段的方程为,.
设,则.
∵,∴.故选C.
7.已知非零向量,,满足且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】非零向量,,满足且,则,
∴,∴,
∴,
∴,,∴与的夹角为,故选A.
8.在中斜边,以为中点的线段,则的最大值为( )
A. B.0 C.2 D.
【答案】B
【解析】∵在中斜边,∴,
∵为线段中点,且,
∴原式,
当时,有最大值,.故选B.
9.设向量,,,满足,,,则的最大值等于
( )
A.1 B. C. D.2
【答案】D
【解析】设,,,因为,,
所以,,所以,,,四点共圆,
因为,,所以,
由正弦定理知,即过,,,四点的圆的直径为2,
所以的最大值等于直径2,故选D.
10.已知与为单位向量,且,向量满足,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由,是单位向量,,可设,,,
由向量满足,∴,
∴,即,其圆心,半径,
∴,∴.故选B.
11.平行四边形中,,在上投影的数量分别为,,则在上的投影的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】建立如图所示的直角坐标系:设,
则,,则,解得.
所以,.在上的摄影,
当时,,得到:,当时,,,故选A.
12.如图,在等腰直角三角形中,,,是线段上的点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示,以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,
则,,,设,则,.
据此有,,
则.
据此可知,当时,取得最小值;
当或时,取得最大值;
的取值范围是.故选A.
二、填空题
13.已知向量,,,若,则________.
【答案】.
【解析】因为,,所以,
又,且,则,即.
14.若向量,满足,,且,则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】由得,,即,
据此可得,∴,
又与的夹角的取值范围为,故与的夹角为.
15.已知正方形的边长为2,是上的一个动点,则求的最大值为________.
【答案】4
【解析】设,则,
又,
∴,
∵,∴当时,取得最大值4,故答案为4.
16.在中,,,,为线段上一点,则的取值范围为____.
【答案】
【解析】以为坐标原点,,所在直线为,轴建立直角坐标系,
可得,,,则直线的方程为,
设,则,,,,
则|
,
由,可得的最小值为 ,时,则的最大值为
即的取值范围为.故答案为.